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2025-2026学年苏州市工业园区金鸡湖学校初三数学零模试卷
初三年级 数学学科 2026. 03
注意事项：
1．本试卷满分130分，考试时间120分钟；
2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效；
3．字体工整，笔迹清楚，保持答题卷卷面清洁。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．）
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣2025 B．|﹣2025| C． D．﹣（﹣2025）
2．为了节能出行，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，下列新能源车标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
4．下列运算正确的是（　　）
A．x5+x5＝x10 B．x5÷x5＝x C．x5 x5＝x10 D．（x5）5＝x
5．将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠α＝44°，则∠β的度数为（　　）
A．44° B．45° C．46° D．54°
6．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
7．甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（　　）元．
A．10 B．11 C．12 D．13
8．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E为正方形所在平面内一点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长最大时，tan∠COF的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应位置上．）
9．因式分解：2x2﹣8＝　 ；
10．从英文单词“success”中随机选择一个字母，选中字母“s”的概率是　 ．
11．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为　 　 ．
12．如图，小球由地面沿坡度i＝1：5的坡面向上前进26m，则小球离地面的高度是 　 m．
13．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是 　 　 ．
14．已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为　 　 ．
15．莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形ABCDE的边长为4，分别以A和E为圆心，4为半径作和交于点P，此时阴影部分的周长为 　 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝DF＝2CF＝2，BC＝5，BF交AE于点M．若∠AEB＝∠BFE，且AB2＝AM AE，则AB的长为　 　 ．
三、解答题（本大题共11小题，共82分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤成文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．小明和小红准备用人工智能软件给苏州文旅创作一条宣传标语，打算采用抽签的方式，各自从①Deepseek②豆包③Kimi④ChatGPT这四个软件中选取一个进行创作，四支签分别标有①②③④．
（1）若小明先抽签，抽到“①Deepseek”的概率为　 　 ；
（2）若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，求小明、小红恰好抽到同一个人工智能软件的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
21．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，，求BF和AD的长．
22．校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
第1次测试 第2次测试 第3次测试
甲 × 4.82 5.36 5.56 6.15 × 5.81 × 5.78
乙 4.65 5.76 5.53 5.67 × 5.90 5.30 6.05 5.86
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，5.75m以下为“一般成绩”，5.75m及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
（1）补全条形统计图．
（2）你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
23．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（1）若反比例函数与线段AB有交点，则k的最大值是 　 　 ；
（2）若反比例函数的图象交线段AB于点C，D，且BC＝CD，求k的值；
（3）在（2）的条件下△OCD的面积是　 　 ．（直接写出结果）
24．图1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图2是其侧面示意图，线段AB表示路灯的灯支架，PM为路灯灯杆，线段CD为太阳能光伏板，可绕点P旋转，CD＝1m，AB＝2m，∠BAM＝120°．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：，结果精确到0.1m）
（1）当C、D，B三点共线时，∠DPM＝45°，求PA的长度；
（2）若某一时刻太阳光线与地面l的夹角为60°时，恰好太阳能光伏板CD与PM所成夹角∠DPM＝60°，求太阳能光伏板CD落在地面l上的影子EF的长．
25．如图，以线段AC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，连接CD，作∠ADC平分线交AC于点F，交⊙O于点E，连接CE，作AM⊥DE于点M，连接MO，∠BCD＝∠E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：MO⊥AD；
（3）若tanE，△OFM的面积为2，求△CDF的面积．
26．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点A，星港街上的点B与点A的距离AB为1200m．
（1）若甲从点B出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发x分钟后，甲、乙两人与点A的距离分别为y1（m）、y2（m）．当x＝3.75和x＝7.5时，都有y1＝y2．
①则甲的速度是 　 　 m/min，乙的速度是 　 　 m/min；
②求y1与x的函数关系式；
（2）若甲从点B先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点A时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点A的距离相等？
27．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若2b2+ac＝0，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线T1：y＝x2﹣x+k是准黄金抛物线，交x轴于A、B两点．
（1）求抛物线T1的函数表达式及点A、B的坐标；
（2）将抛物线T1沿x轴翻折，得到抛物线T2；
①抛物线T2　 　 准黄金抛物线（填“是”或“不是”）；
②当y≥0时，记抛物线T1、T2组成的新图象为“图象W”，图象W交y轴于点C．P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣2025 B．|﹣2025| C． D．﹣（﹣2025）
【答案】A．
【解答】解：∵|﹣2025|＝2025，﹣（﹣2025）＝2025，
∴﹣20252025，
∴﹣2025|﹣2025|＝﹣（﹣2025），
∴最小的数是：﹣2025．
故选：A．
2．为了节能出行，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，下列新能源车标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断如下：
A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【答案】B．
【解答】解：10.6万亿＝10600000000000＝1.06×1013．
故选：B．
4．选：C．
5．将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠α＝44°，则∠β的度数为（　　）
A．44° B．45° C．46° D．54°
【答案】C
【解答】解：如图所示，
因为直尺的对边平行，
所以∠ACB＝∠α＝44°．
又因为∠β＝∠ABC，且∠ABC+∠ACB＝90°，
所以∠β＝90°﹣44°＝46°．
故选：C．
6．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
【答案】B
【解答】解：∵甲种类和乙种类开花时间最短，
∴从甲种类和乙种类进行选，
∵甲的方差大于乙的方差，
∴开花时间最短的并且最平稳的是乙种类．
故选：B．
7．甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（　　）元．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解答】解：当x≥120时，设y甲＝kx+b（k，b均为常数，且k≠0），
将（120，30），（170，50）代入y甲＝kx+b得：，
解得：，
∴y甲＝0.4x﹣18；
当x≥200时，设y乙＝mx+n（m，n均为常数，且m≠0），
将（200，50），（250，70）代入y乙＝mx+n得：，
解得：，
∴y乙＝0.4x﹣30．
当x＞200时，y乙﹣y甲＝0.4x﹣30﹣（0.4x﹣18）＝﹣12，
∴若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜12元．
故选：C．
8．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E为正方形所在平面内一点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长最大时，tan∠COF的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接FM，OM，如图，
由旋转得DE＝DF，∠EDF＝90°，∠ODM＝90°，DO＝DM，
∴∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
在△EDO与△FDM中，
，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，，O是BC边的中点，
∴，，
∵OF≤MF+OM，
∴当点O，F，M三点共线，且F在OM延长线上时，OF取得最大值，
过点M作MV⊥BC交BC延长线于点V，过点M作MX⊥CD于点X，如图：
∴∠V＝∠MXC＝∠XCV＝90°，
∴四边形MXCV是矩形，
∴MV＝XC，MX＝CV，
∵∠ODM＝∠MXD＝90°，
∴∠ODC＝∠DMX＝90°﹣∠XDM，
∵∠OCD＝∠DXM，DO＝DM，
∴△OCD≌△DXM（AAS），
∴，MX＝CD＝CV＝2，
∴CX＝MV＝2，
∴∠COF，
故选：B．
9．（1）因式分解：2x2﹣8＝　2（x﹣2）（x+2）　 ；
（2）因式分解：3a2+a＝a（3a+1）　 ；
（3）分解因式：ab﹣b2＝b（a﹣b）　 ；
（4）分解因式：m2+2m＝m（m+2）　 ；
（5）分解因式：2x2﹣8xy+8y2＝　2（x﹣2y）2 ．
【答案】（1）2（x﹣2）（x+2）；（2）a（3a+1）；（3）b（a﹣b）；（4）m（m+2）；（5）2（x﹣2y）2．
【解答】解：（1）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）；
（2）3a2+a＝a（3a+1）；
（3）ab﹣b2＝b（a﹣b）；
（4）m2+2m＝m（m+2）；
（5）2x2﹣8xy+8y2＝2（x2﹣4xy+4y2）＝2（x﹣2y）2．
故答案为：（1）2（x﹣2）（x+2）；（2）a（3a+1）；（3）b（a﹣b）；（4）m（m+2）；（5）2（x﹣2y）2．
10．从英文单词“success”中随机选择一个字母，选中字母“s”的概率是　　 ．
【答案】．
【解答】解：在“success”中，共有7个字母，字母“s”有3个，
∴任选一个字母，选取的字母为“s”的结果共有3种，
∴选中字母“s”的概率为，
故答案为：．
11．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：∵a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b
＝1×（a﹣b）+2b
＝a﹣b+2b
＝a+b
＝1，
故答案为：1．
12．如图，小球由地面沿坡度i＝1：5的坡面向上前进26m，则小球离地面的高度是 　　 m．
【答案】．
【解答】解：小球沿着坡面向上前进了26m假设到C处，过C作CB⊥AB，
∵i＝1：5，
∴，
设BC＝xcm，AB＝5xcm，
AB2+BC2＝AC2，AC＝26m，
∴x2+（5x）2＝262，
∴或（舍去），
即，
故答案为：．
13．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是 　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），
∴y1，y2，
∴y1+y2＝0．
故答案为：0．
14．已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为　3≤y＜11　 ．
【答案】3≤y＜11．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值3，
当x＝﹣1时，y＝11，
∴当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为3≤y＜11．
故答案为：3≤y＜11．
15．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝DF＝2CF＝2，BC＝5，BF交AE于点M．若∠AEB＝∠BFE，且AB2＝AM AE，则AB的长为　　 ．
【答案】．
【解答】解：延长AF，BC交于点G，
由条件可知△ADF∽△GCF，
∴，
∴，
∴BG＝6，
∵AB2＝AM AE，
∴，
又∵∠BAM＝∠EAB，
∴△BAM∽△EAB，
∴∠1＝∠2，
由条件可知∠1＝∠3，
∴AB∥EF，
∴△GFE∽△GAB，
∴，
∴GE＝2，
∴BE＝6﹣2＝4，
设EF＝a，则AB＝3a，
由平行线可知△MAB∽△MEF，
∴，
设AM＝3c，则ME＝c，AE＝4c，
∵AB2＝AM AE，
∴（3a）2＝3c 4c，
∴，
则，
∵△ABM∽△AEB，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点F作FN⊥EC，
设CN＝m，则BN＝5﹣m，
由条件可知，
解得：，即，
∴，
∴a2＝EF2＝EN2+FN2
＝EN2+FC2﹣CN2
，
∴，
∴AB＝3a，
故答案为：．
17．计算：．
【答案】3．
【解答】解：
＝1+22
＝3．
18．（1）因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）3（x+y）（x﹣y）；
（2）﹣3≤x＜1．
【解答】解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）2
＝[（2x+y）+（x+2y）][（2x+y）﹣（x+2y）]
＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝（3x+3y）（x﹣y）
＝3（x+y）（x﹣y）；
（2），
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜1．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解答】解：原式

，
当a1时，原式．
20．小明和小红准备用人工智能软件给苏州文旅创作一条宣传标语，打算采用抽签的方式，各自从①Deepseek②豆包③Kimi④ChatGPT这四个软件中选取一个进行创作，四支签分别标有①②③④．
（1）若小明先抽签，抽到“①Deepseek”的概率为　　 ；
（2）若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，求小明、小红恰好抽到同一个人工智能软件的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“①Deepseek”的结果有1种，
∴抽到“①Deepseek”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
① ② ③ ④
① （①，①） （①，②） （①，③） （①，④）
② （②，①） （②，②） （②，③） （②，④）
③ （③，①） （③，②） （③，③） （③，④）
④ （④，①） （④，②） （④，③） （④，④）
共有16种等可能的结果，其中小明、小红恰好抽到同一个人工智能软件的结果有4种，
∴小明、小红恰好抽到同一个人工智能软件的概率为．
21．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，，求BF和AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵BE＝5，cosB，
∴BF＝4，
∴EF3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
∴BC＝BE+EC＝8，
在Rt△ABC中，cosB，
∴AB＝810，
∴AF＝AB﹣BF＝6，
在Rt△AEF和Rt△AEC中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEC（HL），
∴AC＝AF＝6．
22．某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
第1次测试 第2次测试 第3次测试
甲 × 4.82 5.36 5.56 6.15 × 5.81 × 5.78
乙 4.65 5.76 5.53 5.67 × 5.90 5.30 6.05 5.86
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，5.75m以下为“一般成绩”，5.75m及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
（1）补全条形统计图．
（2）你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
【答案】（1）
（2）乙参加跳远比赛较为合适，
理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，所以乙参加跳远比赛较为合适．
【解答】解：（1）补全条形统计图如下：
（2）乙参加跳远比赛较为合适，
理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，所以乙参加跳远比赛较为合适．
23．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（1）若反比例函数与线段AB有交点，则k的最大值是 　4　 ；
（2）若反比例函数的图象交线段AB于点C，D，且BC＝CD，求k的值；
（3）在（2）的条件下△OCD的面积是　　 ．（直接写出结果）
【答案】（1）4；
（2）k；
（3）．
【解答】解：（1）联立得：，
整理得：x2﹣4x+k＝0，
∵反比例函数y（x＞0）与线段AB有交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k≥0，
∴k≤4，
∴k的最大值是4，
故答案为：4；
（2）如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
设点C的坐标为（t，﹣t+4），则CE＝t，OE＝﹣t+4，
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣（﹣t+4）＝t，
∵BC＝CD，
∴BD＝BC+CD＝2BC，
∵∠CBE＝∠DBF，
∴△CBE∽△DBF，
∴，
∴DF＝2CE＝2t，BF＝2BE＝2t，
∴OF＝OB﹣BF＝4﹣2t，
∴点D的坐标为（2t，4﹣2t），
∴t（﹣t+4）＝2t（4﹣2t），
解得t1，t2＝0（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为（，），
∴k；
（3）如图，过点C、D分别作CG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H，
由（2）得：C（，），D（，），
则CG，DH，GH＝OH﹣OG，
S△OCG＝S△ODHk，
∴S△OCD＝S△OCG+S梯形CDHG﹣S△ODH＝S梯形CDHG（），
故答案为：．
24．图1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图2是其侧面示意图，线段AB表示路灯的灯支架，PM为路灯灯杆，线段CD为太阳能光伏板，可绕点P旋转，CD＝1m，AB＝2m，∠BAM＝120°．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：，结果精确到0.1m）
（1）当C、D，B三点共线时，∠DPM＝45°，求PA的长度；
（2）若某一时刻太阳光线与地面l的夹角为60°时，恰好太阳能光伏板CD与PM所成夹角∠DPM＝60°，求太阳能光伏板CD落在地面l上的影子EF的长．
【答案】（1）2.7m；
（2）1.3m．
【解答】解：（1）连接BD，过点B作BE⊥PM于点E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠BAM＝60°，
∴AE＝AB cos∠BAEAB＝1m，BE＝AB sin∠BAE2（m），
当C，D，B三点共线时，在Rt△PBE中，∠BPE＝∠DPM＝45°，
∴PE（m），
∴PA＝PE+AE1≈2.7m；
（2）如图，
连接DF，CE，过点F作FH⊥CE于点H，设PM，DF交于点G，
∵∠GFM＝60°，∠GMF＝90°，
∴∠DPG＝∠MGF＝30°，
又∠DPM＝60°，
∴∠PDG＝90°，
由题意可得：FH⊥DF
∴CD∥FH，
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴FH＝CD＝1，
∵∠HEF＝∠DFM＝60°，
∴EF1.3（m），
答：EF的长为1.3m．
25．如图，以线段AC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，连接CD，作∠ADC平分线交AC于点F，交⊙O于点E，连接CE，作AM⊥DE于点M，连接MO，∠BCD＝∠E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：MO⊥AD；
（3）若tanE，△OFM的面积为2，求△CDF的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）72．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，D点在⊙O上，
∴∠CDA＝90°
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∵∠DAC＝∠E，
∵∠BCD＝∠E
∴∠BCD＝∠DAC，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴BC⊥AC，
∵AC是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：连接DO，过点M作MG⊥AB交于G，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADM＝∠CDE∠ADC＝45°，
∵AM⊥DE，
∴∠DAM＝45°，
∴DM＝AM，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∵MG⊥AD，
∴DG＝AG，
∴M、O、G三点共线，
∴MO⊥AD；
（3）解：∵∠E＝∠DAC，
∵tanE，
∴，
设CD＝3x，则AD＝4x，
∴AC＝5x，
由（2）知，OA＝OD＝OCx，
∵AG＝DG＝MG＝2x，
∴OGx，
∴OM＝MG﹣OGx，
∵CD⊥AD，MG⊥AD，
∴CD∥MG，
∴∠CDF＝∠FMO，∠DCF＝∠FOM，
∴△CDF∽△OMF，
∴（）2＝（）2＝36，
∴S△CDF＝36S△OFM＝72．
26．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点A，星港街上的点B与点A的距离AB为1200m．
（1）若甲从点B出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发x分钟后，甲、乙两人与点A的距离分别为y1（m）、y2（m）．当x＝3.75和x＝7.5时，都有y1＝y2．
①则甲的速度是 　240　 m/min，乙的速度是 　80　 m/min；
②求y1与x的函数关系式；
（2）若甲从点B先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点A时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点A的距离相等？
【答案】（1）①240；80；②；
（2）甲出发4分钟或8.5分钟后，两人与点A的距离相等．
【解答】解：（1）①设甲的速度是am/min，乙的速度是bm/min，
当x＝3.75时，y1＝|1200﹣3.75a|，y2＝3.75b，
当x＝7.5时，y1＝|1200﹣7.5a|，y2＝7.5b，
∴，
∴，
故答案为：240；80；
②由题意可得：甲到达的时间为1200÷240＝5（min），
当0≤x≤5时，y1＝1200﹣240x；
当x＞5时，y1＝240x﹣1200；
∴．
（2）设甲出发x分钟后，甲、乙两人与点A的距离分别为y1（m）、y2（m），
①当0≤x≤1时，y1＝1200﹣240x，y2＝0，
令y1＝y2，则1200﹣240x＝0，
解得x＝5（不符合题意，舍去）；
②当1＜x≤5时，y1＝1200﹣240x，y2＝80（x﹣1）＝80x﹣80，
令y1＝y2，则1200﹣240x＝80x﹣80，
解得x＝4；
③当5＜x≤6，y1＝0，y2＝80x﹣80，
令y1＝y2，则0＝80x﹣80，
解得x＝1（不符合题意，舍去）；
④当x＞6，y1＝240（x﹣6）＝240x﹣1440，y2＝80x﹣80，
令y1＝y2，则240x﹣1440＝80x﹣80，
解得x＝8.5；
答：甲出发4分钟或8.5分钟后，两人与点A的距离相等．
27．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若2b2+ac＝0，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线T1：y＝x2﹣x+k是准黄金抛物线，交x轴于A、B两点．
（1）求抛物线T1的函数表达式及点A、B的坐标；
（2）将抛物线T1沿x轴翻折，得到抛物线T2；
①抛物线T2　是　 准黄金抛物线（填“是”或“不是”）；
②当y≥0时，记抛物线T1、T2组成的新图象为“图象W”，图象W交y轴于点C．P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线T1的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2，A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）①是；
②P的坐标为（1，0）或（，0）或（1，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线T1：y＝x2﹣x+k是准黄金抛物线，且2b2+ac＝0，
即2+k＝0，解得k＝﹣2，
故抛物线T1的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，
即x2﹣x﹣2＝0，解得x＝2或﹣1，
故A（﹣1，0），B（2，0）．
（2）①由翻折可知抛物线T2的表达式为y＝﹣x2+x+2，
∵2+（﹣1）×2＝0，
∴抛物线T2是准黄金抛物线，
故答案为：是．
②根据题意，“图象W”的图象如图所示，
由待定系数法可知直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
△OBC为等腰直角三角形．
设P（p，0），当P点在B点右侧时，则N（p，p2﹣p﹣2），M（p，﹣p+2），
当∠NCM＝90°时，满足题意，
此时NM＝2p，即p2﹣4＝2p，解得p＝1（负值舍去）；
当∠CN'M'＝90°时，满足题意，
此时CN'＝N'M'，即p2﹣4＝p，解得p（负值舍去）；
当P点在B点左侧时，则N''（p，﹣p2+p+2），M''（p，﹣p+2），
当∠CN''M''＝90°时，满足题意，
此时CN''＝N''M''，即﹣p2+2p＝p，解得p＝1或0（舍去），
综上，所有符合条件的点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1，0）．

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