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2025-2026学年广东省东莞市石竹实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列事件属于必然事件的是（　　）
A. 四边形的内角和是360°
B. 校园排球比赛，九年级1 班获得冠军
C. 任意三条线段可以组成三角形
D. 打开电视，正在播放神舟十八号载人飞船发射实况
3.已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 不能确定
4.对于二次函数y=3（x-1）2+2的性质，下列描述正确的是（　　）
A. 开口向下
B. 对称轴是直线x=-1
C. 顶点坐标是（2，1）
D. 抛物线可由y=3x2+2向右平移1个单位得到
5.根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数的图象与性质，类比反比例函数进行探究.下列选项正确的是（　　）
A. 当x＞0时，y随x的增大而增大 B. 该函数的图象与y轴有交点
C. 该函数图象经过点（-2，1） D. 当0＜x≤1时，y的取值范围是y≥6
6.假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在0.02左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有（　　）尾鲢鱼.
A. 7350 B. 7500 C. 7650 D. 7800
7.如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB=8，则图中圆环的面积为（　　）
A. 4π
B. 8π
C. 16π
D. 24π
8.某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率.设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为（　　）
A. 2500（1+x）2=9100
B. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100
C. 2500（1+3x）=9100
D. 2500+2500（1+x）+2500（1+2x）=9100
9.如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°.若四边形APBC面积为，且PA：PB=1：2，则⊙O的半径为（　　）
A. 2
B.
C.
D.
10.如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是 .
12.如图，把△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠B′BA的度数为______°.
13.已知方程3x2+kx-2=0的一个根为2，则另一个根为 .
14.乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为100m的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库，若挤奶棚和仓库的形状均为正方形，养殖区的面积为4800m2，则挤奶棚的边长为 m.
15.如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点P，A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，-1），则PA2+PB2的最大值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解方程：x2-3x-6=0.
17.(本小题7分)
如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数-1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，则当作指向右边的扇形）.
（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率.
（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”.用列表法（或树状图法）求两人“英雄所见略同”的概率.
18.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）.以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△DEF（A、B、C点的对应点分别是点D、E、F），使它与△ABC位似，且△DEF与△ABC的相似比为2：1，并写出点E的坐标.
19.(本小题9分)
如图，直线y1=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y2=的图象交于点C（-2，m），D，连接OD，OC.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，y1＞y2.
20.(本小题9分)
如图，在⊙O中，BC为非直径弦，以BC为边作△ABC，边AB交⊙O于点D，且点D是劣弧BC的中点，CD是△ABC的角平分线.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当∠BCD=30°，时，求阴影部分的面积.
21.(本小题9分)
某校数学综合实践小组运用所学知识测量物体的高度.
（1）如图1，小明将镜子放在距离旗杆AB底部15m的点C处（即AC=15m），然后看着镜子沿直线AC前后移动，直到看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明同学站在点D处，测得CD=1.4m,若小明的眼睛离地面的高度DE为1.68m,求旗杆AB的高度.（温馨提示：测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线l⊥AD，∠1=∠2）
（2）已知在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米.如图2，小东发现树PQ的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长MN为3.5米，落在地面上的影长QN为6米，求树PQ的高度.
22.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m（m＞0），连接AP，AQ.
（1）求此抛物线的解析式.
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值.
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差.
23.(本小题14分)
如图1，在△ABC 中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，连接FP，PG.
（1）图1中，求证：PF=PG；
（2）当△ADE绕点A旋转到如图2所示的位置时，
①PF=PG是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；
②若AD：AB=1：n（n＞1），△PDF和△PGC的面积分别是S1，S2，△ABC的面积为S3，求的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】6
12.【答案】70
13.【答案】
14.【答案】60
15.【答案】34
16.【答案】，．
17.【答案】解：（1）得到负数的概率=；
（2）列表如下：
小静小宇 -1 1 2
-1 （-1，-1） （-1，1） （-1，2）
1 （1，-1） （1，1） （1，2）
2 （2，-1） （2，1） （2，2）
由表可知共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，两人得到的数相同的结果有3种，故两人“英雄所见略同”的概率=．
18.【答案】如图，△DEF即为所求，点E的坐标为（-4，-6）．
点E的坐标为（-4，-6），
19.【答案】解：（1）∵C（-2，m）在y1=-x+2上，
∴m=-（-2）+2=4，
∴C（-2，4），
∵C（-2，4）在上，
∴k=（-2）×4=-8，
∴；
（2）过D作DN⊥OB于N，过C作CM⊥OB于M，
设D（a,b），
∴b=-a+2，，
∴，
∴a2-2a-8=0，
∴a1=-2，a2=4，
∴b1=4，b2=-2，
∴C（-2，4），D（4，-2），
∴CM=4，DN=2，
∵y1=-x+2，
∴A（0，2），B（2，0），
∴OB=2，
∵S△COD=S△COB+S△BOD，
∴，
∴．
答：△COD的面积为6．
（3）由图象可得，
当x＜-2或0＜x＜4时，y1＞y2．
20.【答案】（1）证明：如图，连接OC，OD，OB，

∵点D是劣弧BC的中点，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，
∴∠ODC+∠BCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠OCD+∠ACD=90°，
即OC⊥AC，
∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知，OD⊥BC，
在Rt△OBE中，，
∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠OBE=30°，
设OB=x,则，
在Rt△OBE中，OB2=BE2+OE2，
∴，
解得：x1=1，x2=-1（舍去），
∴OB=1，
∴S阴影部分=S扇形OBD-S△OBD
=
=．
21.【答案】解：（1）∵法线l⊥AD，∠1=∠2，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠BAC=∠EDC=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∴，
解得：AB=18m.
（2）设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有，x=3，
解得PQ=3m+3.5m=6.5m,
∴树PQ的高度为6.5m.
22.【答案】解：（1）把A（0，1）代入y=-x2+2x+c得：c=1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+1；
（2）∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
∴抛物线y=-x2+2x+1的顶点为（1，2），
∵Q在抛物线上，其横坐标为2m,
∴2m=1，
解得m=；
∴m的值为；
（3）当AQ∥x轴时，如图：
由y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2知，抛物线对称轴为直线x=1，
∵AQ∥x轴，
∴A，Q关于直线x=1对称，
∵A（0，1），
∴Q（2，1），
∴2m=2，
解得m=1，
∴P的横坐标为1，
把x=1代入y=-x2+2x+1得y=2，
∴P（1，2），
∴点P与点Q的纵坐标的差为2-1=1；
当AP∥x轴时，如图：
∵AP∥x轴，
∴A，P关于直线x=1对称，
∵A（0，1），
∴P（2，1），
∴m=2，
∴Q的横坐标为4，
把x=4代入y=-x2+2x+1得y=-7，
∴Q（4，-7），
∴点P与点Q的纵坐标的差为1-（-7）=8；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8．
23.【答案】解：（1）如图1，∵在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
即DB=CE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF=CE，PG=BD，
∴PF=PG，
（2）①PF=PG仍然成立，
如图2，连接BD，CE，由题意知AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF，PG分别是△CDE和△CDB的中位线，
∴PG=BD，PF=CE，
∴PG=PE；
②如图2中，∵AD：AB=1：n,
∵△ADE∽△ABC，
∴=（）2=，
∴S△ADE=S3，
∵CP=PD，CG=GB，
∴PG∥BD，BD=2PG，
∴△CPG∽△CDB，
∴=（）2=，
∴S△BCD=4S2，同法可得S△DEC=4S1，
∵△ABD≌△ACE，
∴S△ABD=S△ACE，
∴S△ADE+S△BDC+S△DEC=S△ABC，
∴S3+4S1+4S2=S3，
∴=．
故答案为：．
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