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2025-2026学年广东省深圳市福田区石厦学校九年级（下）第一次质检数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）
A. -1 B. C. D. 1
2.据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.2215×107 B. 2.215×106 C. 22.15×106 D. 2.215×107
3.如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘.在此过程中，下列叙述正确的是（　　）
A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变
4.下列运算正确的是（　　）
A. B. 2x2+3x3=5x5 C. （xy3）2=x2y5 D. （x-y）2=x2-y2
5.如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行.这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A. 垂线段最短
B. 内错角相等，两直线平行
C. 两点确定一条直线
D. 平行于同一条直线的两条直线平行
6.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答.经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答.则被墨水污染部分的文字为（　　）
A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
8.如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，若∠EAF=45°，AB=4，BC=3，则的值为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.一元二次方程x2+2x=m有两个相等的实数根，则m= .
10.如图，为了方便行人横穿马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1：2，计算斜坡AB的长度 .
11.编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步.
12.如图，已知函数y=2x与反比例函数图象交于点A，将y=2x的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则k= .
13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为△ABC内一点，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE，CE，点F为CE的中点，连接DF，AD，若，则AD= .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：.
15.(本小题6分)
先化简，再从-2，0，2中选一个合适的数代入求值.
16.(本小题6分)
“冰雪为卷，和谐为轴”2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图：
组别 分组（分） 频数
A 50≤x＜60 5
B 60≤x＜70 a
C 70≤x＜80 12
D 80≤x＜90 15
E 90≤x≤100 8
②C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了______名七年级学生，其中a的值为______.
（2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是______分.
（3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2：8，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数.
17.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点D，AD的垂直平分线交AC于E，交AB于点F
（1）利用圆规和无刻度直尺，作出线段AD的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由）；
（2）连接DE，求证：DE是⊙O的切线；
（3）当四边形OCED为矩形时，若，求弧BD的长度？
18.(本小题10分)
【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml～1700ml,如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃～40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100oC，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失.
小贴士
接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有______ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s,得到一杯350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40oC的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？
19.(本小题12分)
用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1：y=ax2+bx+c,石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且C2：y=-+mx+n.（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当a=-，b=时，若点F坐标为（2，0），求抛物线C1的表达式；
（2）在（1）的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0），判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在（3，0）和（4，0）之间（包括这两点），其中M（，1），N（1，1），Q（，），求a的取值范围.（在抛掷过程中正方形与抛物线C1在同一平面内）
20.(本小题12分)
邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°，AB=AD，那么四边形ABCD称为“邻等对补四边形”.
【概念辨析】
（1）用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有______（填序号）.
【性质探究】
（2）如图3，四边形ABCD是邻等对补四边形，其中AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°.
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若AD=4，∠ABC=60°，∠BCD=45°，求BC的长？
【拓展应用】
（3）如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，请直接写出tan∠NBM的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】-1
10.【答案】
11.【答案】24n
12.【答案】8
13.【答案】
14.【答案】-4．
15.【答案】a-2；-2．
16.【答案】50;10 36°;77 96人
17.【答案】如图，EF为线段AD的垂直平分线； 证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵EF为线段AD的垂直平分线，
∴ED=EA，
∴∠EDA=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODB+∠EDA=90°，
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线 2π
18.【答案】300 ①这杯水混合后的水温为50℃；②小康接开水的时间至少是2.5秒
19.【答案】；
此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物，理由见解析；
．
20.【答案】②④ ①∠ACD=∠ACB；理由如下：
如图3.1，四边形ABCD是邻等对补四边形，延长CB至点E，使BE=DC，连接AE，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠E=∠ACD，AE=AC，
∴∠E=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB；② tan∠NBM的值为或或1
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