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2025-2026学年河北省唐山市丰南区银丰中学九年级（下）段考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2024相反数的绝对值是（　　）
A. B. - C. 2024 D. -2024
2.下列运算正确的是（　　）
A. a2+a2=2a4 B. a6÷a2=a3 C. （a-b）2=a2-b2 D. （-a3）4=a12
3.下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4.花期有约，共赴“玫”好，2024玫瑰产品博览会于4月26日盛大开幕，美丽经济如花绽放，平阴玫瑰品牌价值达到31.75亿元，将31.75亿用科学记数法表示应为（　　）
A. 3.175×108 B. 3.175×109 C. 3.175×1010 D. 0.3175×1010
5.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，且交CD于D点，∠CDE=150°，则∠C的度数是（　　）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
6.如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB=30°，则∠ADC的度数是（　　）
A. 65°
B. 55°
C. 60°
D. 70°
7.若一元二次方程x2+x-2=0的两个根分别为x1，x2，则的值为（　　）
A. - B. C. -2 D. 2
8.如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=和y=的图象上，若∠BCD=60°，则的值是（　　）
A. -
B. -
C. -
D. -
9.如图，在正方形ABCD中，AB=3，G为边AD上一点，且，连CG交对角线BD于点E，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF交BC于点N，则EF的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.如图1，在矩形ABCD中，BC=4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE=x,CF=y,图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12.将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起.若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 .
13.我国古代数学家梅毂成在其数学著作《增删算法统宗》中有题如下：“群羊一百四十，剪毛不惮勤劳，群中有母有羊羔，先剪二羊比较：大羊剪毛斤二，一十二两羔毛，百五十斤是根苗，子母各该多少？”其大意是：“今有一群羊140只，大羊与羊羔都可以剪毛.首先剪两只羊的毛后知道：每只大羊可剪毛18两，每只羊羔可剪毛12两.现在总共剪得羊毛150斤（注：1斤=16两）.试问大羊与羊羔各有多少？”若设大羊x只，羊羔y只，则依题意可列方程组为 .
14.如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=30m,然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，则建筑物BC的高为 m（结果用含有根号的式子表示）
15.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；……；按此规律，则S2024的值为 .
16.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=4，∠BCA=75°，D，E分别为边AC，AB上两个动点，且AE=CD，连接BD，CE，当BD+CE最小时，的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
（1）计算：.
（2）解不等式组请按以下步骤完成解答：
解：解不等式①，得______；
解不等式②，得______；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
所以，原不等式组的解集为______.
18.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形.
19.(本小题9分)
为了解某校八年级全体男生体能情况，随机抽取了部分男生进行测试，将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，并把成绩绘制成如图所示的两个统计图表，其中“75≤x＜90”这组的数据如下：
76，78，80，82，82，84，85，85，85，86，86，89.
测试成绩统计表
成绩x（分） 等级 人数
x≥90 A 21
75≤x＜90 B 12
60≤x＜75 C m
x＜60 D n
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）填空：m= ______，n= ______；
（2）B等级成绩中的众数是______，中位数是______；
（3）求扇形统计图中C级的圆心角度数；
（4）若该校八年级共有男生360人，根据抽样结果，估计体育测试成绩达到B级及以上（包括B级）的男生人数.
20.(本小题9分)
如图，一次函数y=mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（3，a）.
（1）求点B的坐标；
（2）用m的代数式表示n；
（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y=mx+n的表达式.
21.(本小题9分)
某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.菜苗可以在市场上或菜苗基地购买.据了解，市场上甲种菜苗的价格是菜苗基地甲种菜苗的价格的倍.
（1）学校在市场上买了40捆甲种菜苗和在菜苗基地买了50捆甲种共用了1600元，求菜苗基地甲种菜苗的价格；
（2）据了解，菜苗基地有甲、乙两种菜苗出售，菜苗基地为了支持学校的农耕种植活动，决定对甲种菜苗降价出售给学校，乙种菜苗是甲种菜苗降价后的倍，用900元购买的降价后的甲种菜苗比购买乙种菜苗的多25捆.求菜苗基地乙种菜苗的价格.
22.(本小题9分)
如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E.
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切.
23.(本小题9分)
如图，长方形纸片ABCD，AB=3，BC=5.点E是AB边上一点，将△BEF沿EF翻折得到△GEF.
【问题解决】（1）如图1，点B落在边AD上的点G处，若AE=1，求AG和FG的长；
【类比探究】（2）如图2，当点E和点A重合时，点B落在边AD上的点G处，折痕为AF.判定四边形ABFG的形状，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，当点E和点A重合时，点B落在长方形ABCD内部的点G处，折痕为AF，FM平分∠CFG交CD于点M，连接GM，当GM的长度最短时，求GM的长.
24.(本小题9分)
综合与探究
如图，抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A，B两点，点A在点B点的左侧，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点.
（1）求点A，B和C的坐标；
（2）如图，当点P在直线BC下方的抛物线上时，过点P作PE⊥x轴于点E交直线BC于点G，作PF⊥BC于点F，当△PFG的周长最大，求点P的坐标；
（3）作直线OP交直线BC于点H，当点H关于y轴的对称点落在抛物线上时，在备用图中进行探究，并直接写出点P的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】（3，-2）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】22020π
16.【答案】
17.【答案】1 ;x＜2;
18.【答案】（1）解：如图，∠ECM即为所求；
（2）证明：由（1），得∠ECF=∠A，
∴CF∥AB．
∵BE∥DC，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴ CDBF是菱形．
19.【答案】解：（1）18；9；
（2）85；84.5；
（3）360°×=108°．
即扇形统计图中C级的圆心角度数为108°；
（4）360×=198（人）．
即可估计体育测试成绩达到B级及以上（包括B级）的男生人数为198人．
20.【答案】解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过点B（3，a），
∴a==2，
∴点B的坐标为（3，2）；
（2）∵一次函数y=mx+n的图象过点B，
∴2=3m+n,
∴n=2-3m；
（3）∵△OAB的面积为9，
∴，
∴OA=6，
∴A（0，-6），
∴n=-6，
∴-6=2-3m,
∴m=，
∴一次函数的表达式是y=x-6．

21.【答案】解：（1）设菜苗基地甲种菜苗的价格为x元，则市场上甲种菜苗的价格为x元，
由题意得：40×x+50x=1600，
解得：x=16，
答：菜苗基地甲种菜苗的价格为16元；
（2）设菜苗基地甲种菜苗降价后的价格为y元，则菜苗基地乙种菜苗的价格为y元，
由题意得：-=25，
解得：y=12，
经检验，y=12是原方程的解，且符合题意，
∴y=×12=18，
答：菜苗基地乙种菜苗的价格为18元．
22.【答案】证明：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC=2，
∴AB=2BC，
∴设BC=a、则AC=2a,
∴AD=AB===a,
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a,AE=CE=AC=a,
在△AED中，DE===2a,
在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OE+DE）2=（a+2a）2=a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则DA与⊙O相切．
23.【答案】解：（1）如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=BC=5，∠B=∠A=90°，
由折叠得：∠EGF=∠B=90°，EG=EB，
∴GE=BE=AB-AE=3-1=2．
∴AG===，
过点F作FH⊥AD于点H，FH=AB=3，
∵tan∠AGE===，
∴∠AGE=30°，
∵∠EGF=90°，
∴∠HGF=90°-∠AGE=90°-30°=60°，
在△FGH中，FH=AB=3，
∴FG===2，
∴AG=，FG=2；
（2）四边形ABFG是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAG=∠B=90°．
∵长方形纸片ABCD折叠，使边AB落在边AD，
∴∠B=∠AGF=90°，AB=AG，
∴∠BAG=∠B=∠AGF=90°，
∴四边形ABFG是矩形，
∵AB=AG，
∴四边形ABFG是正方形；
（3）如图3，连接AM．
∵AG+GM≥AM（两点之间线段最短），
AG=AB=3，
∴当A，G，M三点共线时，GM最短，
如图4，∵∠FGM=180°-∠AGF=90°，
∴∠FGM=∠C=90°，
∵FM平分∠CFG．GM⊥FG，MC⊥FC，
∴GM=CM，
由（2）得，AG=AB=3，
设GM=CM=x,DM=CD-CM=3-x,
AM=AG+GM=3+x,
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AD2+DM2=AM2，
∴52+（3-x）2=（3+x）2，
解得，
即当GM最短时，．

24.【答案】解：（1）把y=0代入y=x2-3x-4中，得x2-3x-4=0．
解得x1=-1，x1=4，
∴点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（4，0），
把x=0代入y=x2-3x-4中，得y=-4．
∴点C的坐标是（0，-4）；
（2）设直线BC的函数表达式为y=kx+b.
∵点B（4，0），点C（0，-4），
∴，解得：，
∴直线BC的函数表达式为y=x-4，
∵∠BOC=90°，点B（4，0），点C（0，-4），
∴OB=OC=4．
∴；
设点P的坐标为（m,m2-3m-4）．
∵PE⊥x轴于点E交直线BC于点G，
∴PG∥y轴，点G的坐标为（m,m-4）．
∴∠PGF=∠OCB=45°．
∵PF⊥BC于点F，
∴∠PFG=90°．
∴△PFG是等腰直角三角形；
∴当△PFG的周长最大时，斜边PG最大．
∵PG=m-4-（m2-3m-4）=-m2+4m=-（m-2）2+4．
∵-1＜0，
∴当m=2时，PG取得最大值，
当m=2时，PE=m2-3m-4=22-3×2-4=-6．
∴点P的坐标是（2，-6）；
（3）当点P和点C重合时，满足题设的要求，即点P（0，-4）；
当点P和点C不重合时，设点H（m,m-4），设点H关于y轴的对称点为G（-m,m-4），
将点G的坐标代入抛物线表达式得：m-4=m2-3（-m）-4，
解得：m=3，
即点P的坐标为：或．
符合条件的点P的坐标为（0，-4），或．
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