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2025-2026学年湖南长沙市开福区立信中学八年级（下）第一次核心素养数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次根式中，字母a的取值范围是（　　）
A. a≥-3 B. a＞-3 C. a＞3 D. a≥3
2.下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A. B. 5x2-6y-3=0 C. ax2+bx+c=0 D. x2-3x=0
3.下列计算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4.下列不能表示y是x的函数的是（　　）
A. B. C. D.
5.小明的父亲饭后出去散步，从家走20分钟到一个离家900米的报亭，看10分钟报纸后，用15分钟返回家里、下面四个图象中，表示小明父亲的离家距离与时间之间关系的是（　　）
A. B.
C. D.
6.方程（x+1）2=9的解为（　　）
A. x1=2，x2=-4 B. x1=-2，x2=4 C. x1=4，x2=2 D. x1=-2，x2=-4
7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，O为AC的中点，若BC=10，则点O与点B的距离是（　　）
A. 20 B. 10 C. D. 5
8.顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
9.关于一次函数y=-2x+3，下列结论正确的是（　　）
A. 图象过点（1，-1）
B. 其图象可由y=-2x的图象向上平移3个单位长度得到
C. y随x的增大而增大
D. 图象经过一、二、三象限
10.如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE.如图2所示的图象中，是该图象的最低点.下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（　　）
A. 点P与B的距离为x,点P与C的距离为y B. 点P与B的距离为x,点D与E的距离为y
C. 点P与D的距离为x,点P与E的距离为y D. 点P与D的距离为x,点D与E的距离为y
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若函数y=kx+b的图象如图所示，那么当y＞0时，x的取值范围是______．
12.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.5元，每件另加手续费2元，则总邮资y（元）与包裹重量x（千克）之间的函数关系式是： .
13.如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为______．
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，AC=4，则菱形ABCD的面积是 .
15.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则CF的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.先化简，再求值：（+）÷，其中a=+1．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：.
19.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，CD=13，CB=12.
①求BD的长度；
②求四边形ABCD的面积.
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE=5，BF=4，求AD和AC的长.
21.(本小题8分)
小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为______m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
22.(本小题9分)
据悉，望城区第四届“雷小锋”超炫科创展将于2026年3月正式启动，某学校在积极筹备科创展时，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料.已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍.
（1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？
（2）若该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对乙品牌材料的售价进行调整：乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？
23.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积．
24.(本小题10分)
约定：如果函数的图象经过点（m,n），我们就把此函数称作“（m,n）族函数”，例如：正比例函数y=3x的图象经过点（1，3），所以正比例函数y=3x就是“（1，3）族函数”.
（1）已知一次函数y=ax+4是（3，-1）族函数，则a=______.
（2）一次函数y=2x+4和y=-x+1都是“（m,n）族函数”，当m≤x≤1时，一次函数y=kx+b的函数值y恰好有-m≤y≤2n+1，求该一次函数的解析式.
（3）一次函数y=kx+b（k≠0，k,b为常数）为（2，1）族函数，且9b+7=-2k,设点A在该直线上运动，点B（2，4），C（0，1），点D在x轴上，是否存在以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出A，D两点的坐标；若不存在，请说明理由.
25.(本小题10分)
如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B（a,b），其中a、b满足|8-a|+（a-2b）2=0.D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE.
（1）则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______；
（2）如图1，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若AE=GF，求∠CEG的度数；
（3）如图2，当点F在OA上时，过点F作FT⊥CB于点T，交DE于点H，设H（x,y），探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x＜2
12.【答案】y=0.5x+2
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】（-，1）
16.【答案】6-2
17.【答案】解：
原式=×
=×
=
当a=+1时，
原式=
=2
18.【答案】解：原式=
=．
19.【答案】5 36
20.【答案】见解答；
AD=3，AC=6．
21.【答案】解：（1）80;
（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是=120（m/min），
所以出发后需要=12（min）两人相遇，
所以相遇时小丽所走的路程为12×80=960（m），
即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．
22.【答案】购买一个甲品牌材料需要80元，一个乙品牌材料需要130元.该学校此次最少购买10个甲品牌材料
23.【答案】（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，
∴AC=4，∠DAC=30°，
∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2，
∵四边形ADCE为矩形，
∴OC=OA=2，
∵CF=CO，
∴CF=2，
过O作OH⊥CE于H，
∴OH=OC=1，
∴S四边形AOFE=S△AEC-S△COF=×2×2-×2×1=2-1．
24.【答案】- y=2x+3或y=-2x+3 存在以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；A（4，3），D（2，0）或A（6，5），D（-4，0）或A（-2，-3），D（0，0）
25.【答案】（8，0）;（8，4）;（0，4） ∠ CEG=45°
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