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河南郑州外国语学校等高中2025-2026学年高一下学期月考1数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数z满足（1-i）z=2i，则z的虚部为（　　）
A. -1 B. 1 C. i D. -i
2.设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果-=ac,且b=2,那么ABC外接圆的半径为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
3.已知A（1，2），B（3，4），点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（　　）
A. （-5，6） B. （-5，-4）
C. （7，8） D. （-5，-4）或（7，8）
4.若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z-1|的最大值是( )
A. 1 B. C. 2 D.
5.如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
6.在ABC中,内角A,B,C所对应边分别为a,b,c,则下列说法不正确的是( )
A. 点G为ABC的重心,若=+,则+2=0
B. 若满足a=t,b=2,A=的ABC有两解,则t的取值范围为(1,2)
C. 若点O为ABC内一点,且+2+3=,则:=1:6
D. 若+2=3,则C的最大值为
7.已知+x+=是关于x的一元二次方程,其中,,是非零向量,且向量和不共线,则该方程( )
A. 至少有一根 B. 至多有一根
C. 有两个不等的根 D. 有无数个互不相同的根
8.已知向量,满足||=2,||=1,且对一切实数x,|+x ||+|恒成立,则,的夹角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论在复数集中成立的有（ ）
A. B. 或
C. 对于非零复数， D. 对于虚数，若，则
10.(多选)如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点,若=x+y,则x+y的可能取值有( )
A. B. 2 C. D. 1
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则该三角形周长的最大值为
C. 若的面积为，则有最小值
D. 设，且，则 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，i-1是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则p+q= .
13.中，，D在上，，，则 .
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(＋)·＝||2，则＝ .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求向量与的夹角．
16.(本小题15分)
已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
17.(本小题15分)
如图所示，在 ABCD中，=，=，BM=BC，AN=AB.
（1）试用向量来表示；
（2）AM交DN于O点，求AO：OM的值.
18.(本小题17分)
在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值．
19.(本小题17分)
“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：（Ⅰ）当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；（Ⅱ）当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)已知，点M为的费马点.
①若，记，求；
②求的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】CD
11.【答案】BCD
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】解：（1）因为向量=（3，2），=（-8，-1），
所以=3×（-8）+2×（-1）=-26；
（2）因为=（3，2），=（x,-1），=（-8，-1），
所以=（3+x,1），=（1，5），
因为（）⊥（3），
所以（） （3）=3+x+5=0，
解得x=-8；
（3）因为=（3，2），=（x,-1），=（-8，-1），
所以=（x-8，-2），
因为（），
所以3×（-2）=2（x-8），
解得x=5，
所以=（5，-1），
所以cosθ===，
又因为0≤θ≤π，
所以θ=．
16.【答案】解：因为z＝m－i，所以＝m＋i，
所以 （1+3i）＝(m＋i)(1＋3i)＝m－3＋(1＋3m)i，
又因为 （1+3i）为纯虚数，
所以，则m＝3，即z＝3－i，
(1)z1＝＝＝
＝＝＋i，
所以|z1|＝＝；
(2)i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以i2025＝i，
所以z2＝＝
＝×＝，
因为z2在复平面对应的点在第一象限，
所以，解得a＞3，
所以a的取值范围为(3，＋∞).
17.【答案】解：（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以．
（2）因为A，O，M三点共线，所以，
设，则．
因为D，O，N三点共线，所以，
存在实数μ使，，
由于向量不共线，则，解得，
所以，
所以AO：OM=3：14．
18.【答案】【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，整理得，
又由余弦定理，可得，
又因为，所以.
（2）由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，且，可得，
则，可得，则，
所以，即，
所以的取值范围.
（3）设长度为，
由，可得，
因为，可得，
所以，可得，
又由余弦定理得，所以，
则，
设
，
由，可得，
所以长度的最大值为．

19.【答案】【详解】（1）由正弦定理及，
得，
整理得，即.
因为，所以.
（2）因为是锐角三角形，M为费马点，所以.
①在中，由正弦定理得，即，得.
在中，由正弦定理得，<1>
在中，，
由正弦定理得，<2>
<1>，<2>两式相除得，化简得，
所以.
②由，
得，
整理得.
因为，
所以
.
因为是锐角三角形，所以，即
所以，所以，则，
所以，所以的取值范围是.

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