资源简介

2025-2026 学年度高二年级下学期开学检测
数 学
全卷满分 150分，考试时间 120分钟.
注意事项：
A． B．
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置. C． D．
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 5．函数 的图象上的点到直线 的距离的最小值为（ ）
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
A． B． C． D．
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效. 6．若圆 上到直线 的距离为 2的点有且仅有 2个，则 的取值范围为（ ）
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. A． B． C． D．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
7．抛物线 的焦点为 F， 点 在抛物线 C上， 且 ， 则 a+b=（ ）
一项是符合题目要求的.
A．12 B．14 C．16 D．18
1．2 和 18的等比中项为（ ）
A．- 6 B．6 C．12 D．- 6或 6 8．已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值
2．已知函数 在 处可导，若 ，则 （ ） 范围为（ ）
A．4 B．6 C． D． A． B． C． D．
3．已知抛物线方程 ，则该抛物线的焦点坐标是（ ） 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的焦距为 4，则下列条件能使 的方程为 的是（ ）
4．如图，在四面体 中，M是棱 OA上靠近 A的三等分点，N，P分别是 BC，MN的中点，
A． 的离心率为 B． 的渐近线方程为
设 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则（ ）
C． 的实轴长为 D． 是 上的点
10．定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数.若方程 有实数解 ，则
称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就 ， ， ， .
是三次函数图像的对称中心，已知函数 的对称中心为 ，则下列说法
中正确的有（ ）
A． ， B．函数 有三个零点
C．过 可以作两条直线与 图像相切 (1)求证： 平面 ；
D．若函数 在区间 上有最大值，则 (2)若点 是线段 的中点，求平面 与平面 所成角的余弦值.
11．已知数列 满足 则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， （ 且 n∈N ） B．若数列 为常数列，则
17．已知等比数列 的前 n项和为 ，且满足
C．若数列 为递增数列，则 D．当 时，
(1)求数列 的通项公式；
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．用 元购买某个基金 个月，若以月收益率 的复利计算收益，则 个月后能获得的收益 (2)令 求数列 的前 n项和 .
约为 .（参考数据： ）
13．已知圆 ，直线 ，直线 被圆 截得最短
弦长是 . 18．已知函数 ．
14．若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 . (1)若 有两个极值点，求 a的取值范围；
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步 (2)若 ，求 a的取值范围．
骤.
15．已知函数 .
(1)求函数 的图像在 处的切线方程；
(2)求函数 的图像经过点 的切线方程.
19．椭圆 ： （ ）经过点 ，左、右焦点分别为 ， .
(1)求椭圆 的标准方程；
16．如图，在四棱锥 中，平面 底面 ，四边形 为直角梯形， ，
(2)若椭圆 的左顶点为 ，下顶点为 ， 是椭圆 在第一象限上的一点，直线 与 轴相交于点
.故选：C
，直线 与 轴相交于点 .
（ⅰ）过 点做椭圆的切线，当切线平行 时，求：切线方程. 6．【答案】B【详解】由题意得圆心 为 ，半径为 ，
（ⅱ）求 面积的最大值.
圆心 到直线 的距离为 ，
因为圆上到直线的距离为 的点有且仅有 个，所以 ，即 ，
解得 或 ，故选：B
2025-2026 学年度高二年级下学期开学检测数学答案
7．【答案】C【详解】由抛物线 的准线方程为 ，
1．【答案】D【详解】2和 18的等比中项为 .故选：D.
将点 P代入抛物线 C的方程，有 ，又 ，所以 .
2．答案】A【详解】因为
又由 ，有 ，又由 a=b，可得 a=8，a+b=16.故选：C.
8．【答案】C【详解】由 ，定义域
，所以 .故选：A.
因为 可变形为 ，所以 的反函数为 ，
3．【答案】A【详解】∵抛物线的方程为 ，∴化成标准方程，得 ，
则要使得不等式 恒成立，则必须且只需要 恒成立，
∴由此可得抛物线的 ，得 ， ∴抛物线的焦点坐标为 .故选：A.
因为 ，则分离参变量得，即 ， ，
4．答案】D【详解】由题可知， ， ，
， 构造 ，求导得 ，
所以 ，故选：D．
当 时， ， 在 上单调递增，
5．【答案】C【详解】 ，令 ，即 ，
令 ， ， 恒成立，故函数 在 上单调递增，且 当 时， ， 在 上单调递减，
，故函数仅有一个零点，令 ， ，即切点横坐标为 ，
所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故选：C.
代入 ，切点坐标为 ，切线方程为： ，切线与直线之间的距离 9．【答案】AD
【详解】由题可知， ，即 ，因此 .
双曲线方程 ，等价于 .
对于 A：若 的离心率 ，解得 ，
又因为 ，故 ，符合题意，故 A正确；
对于 B：若 的渐近线方程为 ，则 ，即 ，
对于 C中，因为 ，所以点 恰好在 的图象上，
又因为 ，易解得 ，与题意不符，故 B错误；
画出函数 的切线，如图所示，
对于 C：若 的实轴长为 ，即 ，则 ，与题意不符，故 C错误；
由图象可知过点 可作函数 的两条切线，所以 C正确；
对于 D：将 代入 ，可得 ，又因为 ，
联立 ，可得 ，整理得： ，解得 或
（舍去，因为 ），又因为 ，故 ，符合题意，故 D正确.故选：AD.
对于 D中，若 在区间 上有最大值，由上图可知，最大值只能是 ，
10．【答案】ACD【详解】对于 A中，由 ，可得 ，则
所以 且 ，解得 ，所以 D正确.故选：ACD.
，
11．【答案】AD【详解】对于 A选项，当 时， ，令 ，则 ， ，
因为点 是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知，
故 ，即 ，故 A选项正确；
且 ，解得 ，所以 A正确；
对于 B选项，若数列 为常数列，令 ，则 ，
对于 B中，由 ，可知 ，则 ，
解得 或 或 ，故 B选项错误；
令 ，可得 或 ，
对于 C选项，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
若数列 为递增数列，则数列 为递增数列，
当 时， ， 单调递减；
则 ，解得 或 .
当 时， ， 单调递增；
当 时， ，且 ， 且 ，
又 ，则函数 图象如图所示，
此时数列 为递增数列，即数列 为递增数列；
由图象可知，函数 只有一个零点，所以 B错误；
当 时， ，且 ， 且 ， 14．【答案】 【详解】要使不等式 对 恒成立，
此时数列 不为递增数列，即数列 不为递增数列； 需分析两个因式的符号关系，分情况讨论参数 的取值范围：
排除 ：此时 ，不等式等价于 ，
当 时， ， ，
但 时， ，不等式不能恒成立，
此时数列 为递增数列，即数列 为递增数列. 排除 ：此时不等式为 ，当 时， ，不等式不成立，
综上，当 或 ，即 或 时，数列 为递增数列，故 C选项错误； 讨论 ：此时要使不等式恒成立，则对任意 ，有以下两种情况：
对于 D选项，令 ，则 ， ， ①若 且 对任意 恒成立，若 在 恒成立，即 ，
两边同时取以 2为底的对数，得 ， ，
令 ，令 ，可得 ，则 在 上单调递减，
数列 是首项为 2，公比为 2的等比数列， ，
令 ，可得 ，则 在 上单调递增，故函数在 处取得极小值 ，
即 ，故 D选项正确. 故选：AD.
故函数 在区间 上无最大值，不能满足 恒成立，故情况①不成立；
12．【详解】因为每个月以月收益率 的复利计算收益，所以每个月的本息和组成一个等比数列
②若 且 ，对任意 恒成立，则 恒成立，即 的最小值，
，公比为 .所以 10个月后的收益为
由①得函数 最小值为 ，故 ，
元.
若 恒成立，即 的最大值，令函数 ， ，
13．【答案】 【详解】由直线 ，得 ，
令 ，可得 ，则 在 上单调递增，
联立 ，解得 ，故直线过定点 ，
令 ，可得 ，则 在 上单调递减，
由圆 ，知圆心 ，半径 ,
故函数在 处取得极大值 ，故 ，综上，实数 的取值范围为 .
因为 ， 15．【答案】(1) (2) 或
所以点 在圆 的内部， 【详解】（1）由 ，有 .又由 .
故直线被圆截得的弦长最短时， 垂直于直线 ， 可得函数 的图像在 处的切线方程为 ，整理为 ，
此时弦长为 .故答案为：
故函数 的图像在 处的切线方程为 .
（2）①当点 为切点时，由（1）可知所求切线方程为 .
则 ，
②当点 不为切点时，设切点为 （其中 ），
，
所求切线方程为 .
代入点 的坐标，有 ， 设平面 的一个法向量为 ，
可化为 ，
则 ，令 ，解得 ，
可化为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
可化为 ，可化为 ，
解得 或 (舍去). 所以 ，令 ，解得 ，
由 ，可得所求切线方程为 ，整理为
由上知函数 的图像经过点 的切线方程为 或 .
设平面 与平面 所成角为 ，
16． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为 ，平面 底面 ，平面
底面 ， 所以 ，
平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
即平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ；
连接 ，因为 ，所以 ，
17．【答案】(1) (2)
因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 . 【分析】（1）分 和 两种情况讨论，求得首项与公比，即得数列 的通项公式；
（2）过 作 ，垂足为 ，则 ，由（1）知 两两垂直，如图，以 为 【详解】（1）设等比数列 的公比为 q，
坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
①当 时，由题意得 方程无解，不合题意；
②当 时，由题意得 ，
，即 ，（分段自证， ），
由① ②，可得 ，
时， ，则 单调递增， 恒成立，则 符合题意．
解得 ，代入①，解得 ，则 ，
②当 时， ，
故数列 的通项公式为
存在 ，使得 ，当 时， ，则 单调递减，所以
（2）因 ，矛盾，综上所述，a的取值范围是 ．
19．【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）
.
.【详解】（1）由题意可得 ，
则 又 ，解得 ，
. 故椭圆 的标准方程为 .
18．【答案】(1) (2) ． （2）（ⅰ）由（1）可得： ， ，
【详解】解析 （1）由 ，得 ，因为 有两个极值点，则 设 ， ， ，
，即方程 有两个不等实数根，令 ，则 ，知 时， 可知直线 方程为： .
单调递减， 设切线方程为 ，
时， 上单调递增，则 时， 取得极小值 ，也即为最小值，且
代入 ,得到
时， 时， 时， 时， ，故 ，
令 ，解得 ，
即 时，方程 有两个实数根，不妨设为 ． 因 P 在第一象限，切线斜率为负，故
可知 时， 时， 时， ， 所以切线方程为： .
即 分别为 的极大值和极小值点．所以 a的取值范围是 ．
（2）令 ，即 ，
（ⅱ）直线 ： ， 到直线的距离为
且 ，
当且仅当 时等号成立.
因为 在椭圆上，所以 ，
则 ： ，令 ， ，
则 ： ，令 ， ，
则 ，
.
故四边形 面积为定值 2.
所以 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .

展开更多......

收起↑