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5.3　实践与探索
第1课时　几何图形问题
@基础分点训练
　知识点1　平面图形的变化问题
1.一个长方形操场长比宽长70 m.根据需要将它扩建，将宽增加20 m后，它的长就是宽的1.5倍.设扩建前操场的宽为x m，根据题意，可列方程为　x＋70＝1.5（x＋20）　，解这个方程，得扩建前操场的宽为　80　m.
2.如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6 cm的长条，如果两次剪下的长条面积相等，求所剪下的两个长条的面积之和.
解：设原来正方形纸片的边长是x cm，
根据题意，得5x＝6（x－5）.
解得x＝30.
所以长条面积之和为30×5×2＝300（cm2）.
答：所剪下的两个长条的面积之和为300 cm2.
　知识点2　立体图形的变化问题
3.如图所示的两个长方体容器中液体体积相同（单位：cm），根据图中信息，以下结论正确的是（　A　）
A.81x＝36（x＋5）
B.81x＝36（x－5）
C.甲容器中液体的体积为405 cm3
D.乙容器中液面的高度为10 cm
4.把一个长、宽、高分别是7 cm，3 cm，9 cm的长方体铁块和一个棱长是5 cm的正方体铁块熔铸成一个圆柱（不计损耗），如果这个圆柱的高为20 cm，那么这个圆柱的底面积是多少？
解：设这个圆柱的底面积是x cm2.
根据题意，得7×3×9＋5×5×5＝20x.
解得x＝15.7.
答：这个圆柱的底面积是15.7 cm2.
@中档提分训练
5.墙上钉着用一条彩绳围成的梯形形状的装饰物，如图的实线部分所示（单位：cm）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图的虚线部分所示.小颖所钉长方形的长为　16　cm.
第5题图
6.如图，一个酒瓶的容积为500 mL，瓶子内还剩有一些黄酒.当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为12 cm；倒放时，空余部分的高度为8 cm，则瓶子的底面积为　25 cm2　.（1 mL＝1 cm3）
第6题图
7.把八张形状、大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25∶22，则盒子底部长方形的面积为　150　.
第2课时　和差倍分及销售问题
@基础分点训练
　知识点1　和差倍分问题
1.已知一个角比它的补角小30°，则这个角的大小为（　C　）
A.85° B.80° C.75° D.70°
2.乐乐的爸爸在银行存入人民币30 000元，存期2年，到期可得人民币30 900元，则这项储蓄的年利率是　1.5％　.
3.（安阳开学）袋子里装有若干个红、黑、白三种颜色的彩球，已知红球的数量是总数的，增加了6个同样的红球后，红球的数量占总数的，原来黑球的数量为8个，则原来白球的数量为多少个？
解：设原来共有x个彩球，则
x＋6＝（x＋6），解得x＝18.
18－8－×18＝4（个）.
答：原来白球的数量为4个.
　知识点2　营销问题
4.一件服装标价200元，若以七折销售，仍可获利40％，则这件服装的进价是（　A　）
A.100元 B.105元
C.108元 D.118元
5.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的八五折出售，将盈利10元，则该商品的原售价为　350　元.
6.小梁去文具店买橡皮，售货员说：“如果多买一些，给你打八五折.”小梁计算了一下，如果买100块橡皮，比按原价购买便宜27元，那么每块橡皮的原价是多少？
解：设每块橡皮的原价是x元，
根据题意，得0.85×100x＝100x－27.
解得x＝1.8.
答：每块橡皮的原价是1.8元.
@中档提分训练
7.（成都金牛区开学）大、小两筐苹果一共是88千克，从大筐中取出，放入小筐中，两筐的苹果质量相等.小筐原来有　33　千克苹果.
8.某商店以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20％，另一件亏损20％，则卖出这两件衣服商家总的盈亏情况是　亏损　（填“盈利”或“亏损”）10元.
9.某快餐店有线上和线下两种销售方式.2022年，该快餐店的年收入总额达50万元，线上收入与线下收入的比是2∶3.2023年，该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升.与2022年相比，年收入总额增长了20％，其中线上收入增长了35％.求该快餐店2023年的线下收入的增长率.
解：设2022年线上收入2x万元，则线下收入3x万元，根据题意，得2x＋3x＝50，解得x＝10.
2x＝20，3x＝30.
设该快餐店2023年的线下收入的增长率为a，则
20×（1＋35％）＋30（1＋a）＝50×（1＋20％），
解得a＝10％.
答：该快餐店2023年的线下收入的增长率为10％.
@拓展素养训练
10.【分类讨论思想】2024年春节期间，某商场举办促销活动并推出了两种消费券.A券：满200元减30元，B券：满300元减50元，即一次购物大于或等于200元、300元，付款时分别减30元、50元.小玲有一张A券，轩轩有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款550元，则所购商品的标价是　290或315　元.
第3课时　工程及行程问题
@基础分点训练
　知识点1　工程问题
1.（成都双流区期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，先安排x人工作，则列方程正确的是（　B　）
A.＋＝1 B.＋＝
C.＋＝1 D.＋＝
2.修一条排水渠，甲队单独做需10天，乙队单独做需15天，现由两队合修，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做，又修了5天后完成任务.在这个过程中，甲、乙两队合修了　3　天.
3.（陕西中考）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3－x）h，
根据题意，得＋＝1，解得x＝2.
答：这次小峰打扫了2 h.
　知识点2　行程问题
4.某人驾驶一艘小船航行在甲、乙码头之间，顺水航行需6小时，逆水航行比顺水航行多用2小时，若水流的速度是2千米/时，则船在静水中的平均速度是（　A　）
A.14千米/时 B.15千米/时
C.16千米/时 D.17千米/时
5.（宜宾中考）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？快马追上慢马的天数是（　D　）
A.5天 B.10天 C.15天 D.20天
6.甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上练习跑步，甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒，若两人同时同地背向出发，经过　40　秒两人首次相遇.
7.（张家界中考）中国“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5 h缩短至1 h，运行里程缩短了40 km.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200 km，求高铁的平均速度.
解：设高铁的平均速度为x km/h，则普通列车的平均速度为（x－200）km/h，
由题意，得x＋40＝3.5（x－200），解得x＝296.
答：高铁的平均速度为296 km/h.
@中档提分训练
8.（德阳期末）市域（郊）成都至德阳段（S11线），全长约70千米，估计投资187亿.2023年3月开建，2026年12月达初期运行.中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米，则甲组平均每天掘进　12.2　米.
9.（洛阳期中）一列火车正在匀速行驶，它先用26 s的时间通过了一条长256 m的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16 s的时间通过了一条长96 m的隧道，则这列火车长（　C　）
A.120 m B.140 m
C.160 m D.180 m
10.如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形ABCD，按A→B→C→D→A的方向行走，甲从点A出发，以50米/分的速度行走；同时，乙从点B出发，以65米/分的速度行走.当乙第一次追上甲时，在正方形的（　C　）
A.BC边上
B.AD边上
C.点C处
D.点D处
11.（成都成华区期末）为了美化环境，建设生态成华，某社区需要进行绿化改造.现有甲、乙、丙三个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200 m2，丙队每天能完成的绿化改造面积是甲队的，甲、乙、丙合作一天能完成1 200 m2的绿化改造面积.
（1）问甲、乙、丙三个工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需进行绿化改造的面积共有12 000 m2，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元.预算发现，甲、乙两队合作完成的费用和甲、乙、丙三队合作完成的费用相等.问丙队每天的施工费用为多少元？
解：（1）设甲队每天能完成x m2的绿化改造面积，依题意，得
x＋（x－200）＋x＝1 200，解得x＝500.
500－200＝300（m2）；×500＝400（m2）.
答：甲、乙、丙三个工程队每天各能完成500 m2、300 m2、400 m2的绿化改造面积.
（2）设丙队每天的施工费用为y元，依题意，得
×（600＋400）＝×（600＋400＋y），解得y＝500.
答：丙队每天的施工费用为500元.
@拓展素养训练
12.【新情境】问题情境：
太原滨河自行车专用道位于汾河两侧，不仅能满足太原市民通勤、运动与休闲的需求，还能缓解滨河东、西路的交通压力.周末，甲、乙两人相约去滨河自行车道骑车，甲从通达桥入口（记为A地）进入自行车道，向胜利桥方向骑行，甲出发20 min后乙从胜利桥入口（记为B地）进入自行车道，向通达桥方向骑行.已知A，B两地相距大约18 km，甲的平均速度是10 km/h，乙的平均速度是12 km/h.设甲骑行的时间为x h.
数学思考：
（1）在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为　10x　km，乙骑行的路程为　（12x－4）　km；（用含x的代数式表示）
问题解决：
（2）当甲、乙两人相遇时，求x的值；
（3）两人相遇后，甲继续以原速度向B地骑行，乙休息3 min后掉头按原速度返回B地.在乙返回途中，当甲、乙两人相距 km时，求x的值.
解：（2）由题意，得
10x＋（12x－4）＝18，
解得x＝1.
（3）根据题意，设两人的相遇点为C，
则AC＝10×1＝10（km），BC＝18－10＝8（km），
从相遇点C开始，甲的骑行路程为10（x－1）km，
乙休息3 min，即 h，从相遇点C开始，乙的骑行路程为12（x－1－）km，即（12x－）km.
①当乙追上甲前，甲、乙两人相距 km时，
10（x－1）＝（12x－）＋，解得x＝.
②当乙追上甲后，甲、乙两人相距 km时，
10（x－1）＋＝（12x－），解得x＝.
答：当甲、乙两人相距 km时，x的值为或.

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