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8.1　与三角形有关的边和角
8.1.1　认识三角形　第1课时　三角形的有关概念及其分类
@基础分点训练
　知识点1　三角形的有关概念
1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　C　）
2.如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是　AB　；在△ACD中，∠C所对的边是　AD　；在△ABD中，边AD所对的角是　∠B　；在△ACD中，边AD所对的角是　∠C　.
　知识点2　三角形的分类
3.以下说法：①三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④等边三角形是等腰三角形.其中正确的是（　C　）
A.①②③④ B.①②③
C.①③④ D.①③
4.观察下列三角形，把它们的序号填入相应的横线上.
锐角三角形：　③⑤　；
直角三角形：　①④⑥　；
钝角三角形：　②⑦　.
@中档提分训练
5.如图，以BC为边的三角形共有（　C　）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.（教材练习变式）如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形.
（1）以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；
（2）分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.
解：（1）如图所示，以AB为边的三角形能画3个，分别为△EAB、△DAB、△CAB.
（2）△DAB是等腰三角形，△EAB和△CAB是钝角三角形.
8.1.1　认识三角形　第2课时　三角形的三条重要线段
@基础分点训练
　知识点1　三角形的中线
1.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　B　）
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
2.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AB＝BC＝10，AD＝7，则△ABD的周长为　22　.
　知识点2　三角形的角平分线
3.如图，AD是△ABC的角平分线，则（　A　）
第3题图
A.∠1＝∠BAC
B.∠1＝∠ABC
C.∠1＝∠BAC
D.∠1＝∠ABC
4.如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△　ABN　的角平分线，AN为△　AMC　的角平分线.
第4题图
　知识点3　三角形的高
5.（成都成华区期末）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　D　）
A B
C D
6.若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是　直角　三角形.
　易错点　对三角形的三条重要线段理解不清致错
7.下列说法正确的是（　C　）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点；
③三角形的三条高都在三角形的内部；
④三角形的中线是线段.
A.①②④ B.②③④
C.②④ D.①②③④
@中档提分训练
8.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（　C　）
A.AB＝2BF
B.∠ACE＝∠ACB
C.AE＝BE
D.CD⊥BE
9.如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为　3　.
10.【几何直观】如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图.
（1）甲折出的AD是△ABC的　高　；
（2）乙折出的AD是△ABC的　角平分线　；
（3）丙折出的AD是△ABC的　中线　.
8.1.2　三角形的内角和与外角和　第1课时　三角形的内角和
@基础分点训练
　知识点1　三角形的内角和
1.如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝35°，则∠C等于（　B　）
A.100°
B.80°
C.60°
D.40°
2.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为（　A　）
第2题图
A.29° B.58°
C.36° D.25°
3.如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为（　A　）
第3题图
A.85° B.80°
C.75° D.70°
4.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C＝　32°　.
5.（开封期末）如图，巡逻艇C在游轮A北偏东58°的方向上，巡逻艇C在游轮B北偏东13°的方向上，游轮B位于游轮A的正东方向，求∠ACB的度数.
解：由题意可知，∠BAC＝90°－58°＝32°，∠ABC＝90°＋13°＝103°，
∴∠ACB＝180°－32°－103°＝45°.
　知识点2　直角三角形的两个锐角互余
6.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　C　）
第6题图
A.30° B.40°
C.50° D.60°
7.（巴中期末）如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°.若∠A＝35°，则∠BCD的度数是　35°　.
第7题图
8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，求∠ACD的度数.
解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝90°－∠ACB＝50°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝25°.
∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°.
在△BCD中，∠BCD＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝65°－40＝25°.
　知识点3　有两个锐角互余的三角形是直角三角形
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（　B　）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上均有可能
10.【新定义】三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°，那么这个“特征三角形”是　直角　三角形.（填“锐角”或“直角”或“钝角”）
@中档提分训练
11.在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（　D　）
A.45°
B.60°
C.50°
D.75°
12.在△ABC中，∠A，∠B，∠C为三个内角，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　C　）
A.∠A＋∠B＝∠C
B.∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
C.∠C－∠A＝90°
D.∠A＋∠B＝90°
13.【传统文化】（株洲中考）《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）.
问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝　22.5　°.
14.（凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是　100°　.
15.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝　80°或40°　.
16.（德阳月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°.
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数.
解：（1）∵∠ACB＋∠B＋∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＋∠B＝120°.
∵∠ACB＝3∠B，∴∠ACB＝90°.
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°.
∵CE⊥AD，∴∠ACE＝90°－∠CAD＝60°.
∴∠DCE＝∠ACB－∠ACE＝30°.
@拓展素养训练
17.【类比探究】在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C.
（1）如图1，AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，点E在AD上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的关系是　∠DEF＝（∠C－∠B）　（直接写出结论，不需证明）.
解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC.
∵AE⊥BC，∴∠CAE＝90°－∠C.
∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝∠BAC－（90°－∠C）＝（180°－∠B－∠C）－（90°－∠C）＝∠C－∠B＝（∠C－∠B）.
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE＝×（70°－50°）＝10°.
（2）结论：∠DEF＝（∠C－∠B）.
理由：过A作AG⊥BC于点G，
∵EF⊥BC，∴AG∥EF.∴∠DAG＝∠DEF.
由（1）可得，∠DAG＝（∠C－∠B），
∴∠DEF＝（∠C－∠B）.
8.1.2　三角形的内角和与外角和　第2课时　三角形的外角及外角和
@基础分点训练
　知识点　三角形的外角及外角和
1.（商丘期中）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠ABD等于（　C　）
第1题图
A.100° B.110°
C.120° D.130°
2.（焦作期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　C　）
第2题图
A.90° B.100°
C.105° D.110°
3.（开封期末）如图，在△ABC中，点E在边AC上，CD∥AB，连结ED.若∠A＝68°，∠D＝54°，则∠AED的度数为（　C　）
第3题图
A.108° B.112°
C.122° D.130°
4.【新情境】一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是　70°　.
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数.
解：∵∠1＝∠2＝36°，
∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝72°.
∴∠DAC＝180°－（∠3＋∠4）＝180°－2×72°＝36°.
@中档提分训练
6.（成都双流区期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，若∠DAC＝∠B，∠ADC＝97.5°，则∠BAC的度数为（　C　）
第6题图
A.73.5° B.83.5°
C.97.5° D.107.5°
7.如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的是（　B　）
第7题图
A.∠1＋∠2＝∠3＋∠4
B.∠1＋∠2＝∠4－∠3
C.∠1－∠3＝∠2－∠4
D.∠1＋∠3＝∠2＋∠4
8.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°.
@拓展素养训练
9.【推理能力】现有一张三角形纸片ABC，点D，E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠纸片.
探究1：如果折成图1的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　∠1＝2∠A　.
探究2：如果折成图2的形状，猜想∠1＋∠2与∠A的数量关系是　∠1＋∠2＝2∠A　；
探究3：如果折成图3的形状，猜想∠1，∠2和∠A的数量关系，并说明理由.
解：∠2－∠1＝2∠A，理由如下：
∵∠2＝∠AFE＋∠A，∠AFE＝∠A'＋∠1，
∴∠2＝∠A'＋∠A＋∠1.
∵∠A＝∠A'，∴∠2＝2∠A＋∠1.
∴∠2－∠1＝2∠A.
8.1.3　三角形的三边关系
@基础分点训练
　知识点1　三角形的三边关系
1.下列四组数均为线段的长度，可以构成三角形的是（　D　）
A.2，3，5 B.1，5，7
C.2，6，8 D.3，4，5
2.（绵阳月考）已知三角形的两边的长分别为2 cm和5 cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是（　D　）
A.2＜x＜5 B.3＜x＜5
C.5＜x＜7 D.3＜x＜7
3.（淮安中考）用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　B　）
A.9 cm B.7 cm
C.2 cm D.1 cm
4.已知三角形两边的长分别为1 cm，5 cm，第三边长为整数，则第三边的长为　5 cm　.
5.以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？
（1）6 cm，8 cm，10 cm；
（2）5 cm，8 cm，2 cm；
（3）三条线段长度之比为4∶5∶6；
（4）a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）.
解：根据三角形的三边关系：
6＋8＞10，可以构成三角形.
5＋2＜8，不能构成三角形.
4＋5＞6，可以构成三角形.
a＋1＋a＋2＞a＋3，可以构成三角形.
故（1）（3）（4）可以构成三角形.
6.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，试说明：AB＋BC＋AC＞2AD.
解：∵在△ABD中，AB＋BD＞AD，在△ACD中，AC＋CD＞AD，
∴AB＋BD＋AC＋CD＞AD＋AD，即AB＋BC＋AC＞2AD.
　知识点2　三角形的稳定性
7.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　B　）
A.全等形
B.稳定性
C.灵活性
D.对称性
8.下列图形中，具有稳定性的是（　B　）
9.（南阳期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（　A　）
A.E，H两点之间
B.E，G两点之间
C.F，H两点之间
D.A，B两点之间
@中档提分训练
10.若用如图所示的①②两根铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（　A　）
A.只有①可以 B.只有②可以
C.①②都可以 D.①②都不可以
11.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（　D　）
A.1 m B.2 m
C.3 m D.4 m
12.（益阳中考）如图1所示，将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱，则图中a的值可以是（　B　）
A.1 B.2
C.3 D.4
13.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4，6，8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　B　）
第13题图
A.7 B.10
C.11 D.14
14.如图，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上　3　根木条.
第14题图
15.（成都武侯区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足｜b－2｜＋（c－3）2＝0，且a为方程｜a－5｜＝1的解，则△ABC的周长为　9　.
16.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数.
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数，求△ABC的周长；
（2）化简：｜a－b＋c｜－｜b－c－a｜＋｜a＋b＋c｜.
解：（1）∵a＝2，b＝5，
∴5－2＜c＜5＋2.
∴3＜c＜7.
∵c为偶数，∴c＝4或6.
当c＝4时，△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋5＋4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋5＋6＝13.
综上所述，△ABC的周长为11或13.
（2）｜a－b＋c｜－｜b－c－a｜＋｜a＋b＋c｜
＝a＋c－b－（a＋c－b）＋a＋b＋c
＝a＋c－b－a－c＋b＋a＋b＋c
＝a＋b＋c.
@拓展素养训练
17.【新情境】实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境.
数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下.
铁条规格/米 2 3 4 5 6
价格/（元/根） 6 8 10 15 20
数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架.
（1）根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有　2　种制作方案；
（2）若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？
解：当三角形框架的边长为2，3，4时，
所需费用为6＋8＋10＝24（元）；
当三角形框架的边长为2，4，5时，
所需费用为6＋10＋15＝31（元）.
∴24＋31＝55（元）.
答：购买铁条共需55元.8.1　与三角形有关的边和角
8.1.1　认识三角形　第1课时　三角形的有关概念及其分类
@基础分点训练
　知识点1　三角形的有关概念
1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　 　）
2.如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是 ；在△ACD中，∠C所对的边是 ；在△ABD中，边AD所对的角是 ；在△ACD中，边AD所对的角是 .
　知识点2　三角形的分类
3.以下说法：①三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④等边三角形是等腰三角形.其中正确的是（　 　）
A.①②③④ B.①②③
C.①③④ D.①③
4.观察下列三角形，把它们的序号填入相应的横线上.
锐角三角形： ；
直角三角形： ；
钝角三角形： .
@中档提分训练
5.如图，以BC为边的三角形共有（　 　）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.（教材练习变式）如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形.
（1）以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；
（2）分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.
8.1.1　认识三角形　第2课时　三角形的三条重要线段
@基础分点训练
　知识点1　三角形的中线
1.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　 　）
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
2.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AB＝BC＝10，AD＝7，则△ABD的周长为 .
　知识点2　三角形的角平分线
3.如图，AD是△ABC的角平分线，则（　 　）
第3题图
A.∠1＝∠BAC
B.∠1＝∠ABC
C.∠1＝∠BAC
D.∠1＝∠ABC
4.如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△ 的角平分线，AN为△ 的角平分线.
第4题图
　知识点3　三角形的高
5.（成都成华区期末）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　 　）
A B
C D
6.若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 三角形.
　易错点　对三角形的三条重要线段理解不清致错
7.下列说法正确的是（　 　）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点；
③三角形的三条高都在三角形的内部；
④三角形的中线是线段.
A.①②④ B.②③④
C.②④ D.①②③④
@中档提分训练
8.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（　 　）
A.AB＝2BF
B.∠ACE＝∠ACB
C.AE＝BE
D.CD⊥BE
9.如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为 .
10.【几何直观】如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图.
（1）甲折出的AD是△ABC的 ；
（2）乙折出的AD是△ABC的 ；
（3）丙折出的AD是△ABC的 .
8.1.2　三角形的内角和与外角和　第1课时　三角形的内角和
@基础分点训练
　知识点1　三角形的内角和
1.如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝35°，则∠C等于（　 　）
A.100°
B.80°
C.60°
D.40°
2.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为（　 　）
第2题图
A.29° B.58°
C.36° D.25°
3.如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为（　 　）
第3题图
A.85° B.80°
C.75° D.70°
4.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C＝ .
5.（开封期末）如图，巡逻艇C在游轮A北偏东58°的方向上，巡逻艇C在游轮B北偏东13°的方向上，游轮B位于游轮A的正东方向，求∠ACB的度数.
　知识点2　直角三角形的两个锐角互余
6.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　 　）
第6题图
A.30° B.40°
C.50° D.60°
7.（巴中期末）如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°.若∠A＝35°，则∠BCD的度数是 .
第7题图
8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，求∠ACD的度数.
　知识点3　有两个锐角互余的三角形是直角三角形
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（　 　）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上均有可能
10.【新定义】三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°，那么这个“特征三角形”是 三角形.（填“锐角”或“直角”或“钝角”）
@中档提分训练
11.在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（　 　）
A.45°
B.60°
C.50°
D.75°
12.在△ABC中，∠A，∠B，∠C为三个内角，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　 　）
A.∠A＋∠B＝∠C
B.∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
C.∠C－∠A＝90°
D.∠A＋∠B＝90°
13.【传统文化】（株洲中考）《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）.
问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ °.
14.（凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 .
15.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝ .
16.（德阳月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°.
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数.
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17.【类比探究】在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C.
（1）如图1，AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，点E在AD上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的关系是 （直接写出结论，不需证明）.
8.1.2　三角形的内角和与外角和　第2课时　三角形的外角及外角和
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　知识点　三角形的外角及外角和
1.（商丘期中）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠ABD等于（　 　）
第1题图
A.100° B.110°
C.120° D.130°
2.（焦作期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　 　）
第2题图
A.90° B.100°
C.105° D.110°
3.（开封期末）如图，在△ABC中，点E在边AC上，CD∥AB，连结ED.若∠A＝68°，∠D＝54°，则∠AED的度数为（　 　）
第3题图
A.108° B.112°
C.122° D.130°
4.【新情境】一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数.
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6.（成都双流区期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，若∠DAC＝∠B，∠ADC＝97.5°，则∠BAC的度数为（　 　）
第6题图
A.73.5° B.83.5°
C.97.5° D.107.5°
7.如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的是（　 　）
第7题图
A.∠1＋∠2＝∠3＋∠4
B.∠1＋∠2＝∠4－∠3
C.∠1－∠3＝∠2－∠4
D.∠1＋∠3＝∠2＋∠4
8.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °.
@拓展素养训练
9.【推理能力】现有一张三角形纸片ABC，点D，E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠纸片.
探究1：如果折成图1的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 .
探究2：如果折成图2的形状，猜想∠1＋∠2与∠A的数量关系是 ；
探究3：如果折成图3的形状，猜想∠1，∠2和∠A的数量关系，并说明理由.
8.1.3　三角形的三边关系
@基础分点训练
　知识点1　三角形的三边关系
1.下列四组数均为线段的长度，可以构成三角形的是（　 　）
A.2，3，5 B.1，5，7
C.2，6，8 D.3，4，5
2.（绵阳月考）已知三角形的两边的长分别为2 cm和5 cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是（　 　）
A.2＜x＜5 B.3＜x＜5
C.5＜x＜7 D.3＜x＜7
3.（淮安中考）用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　 　）
A.9 cm B.7 cm
C.2 cm D.1 cm
4.已知三角形两边的长分别为1 cm，5 cm，第三边长为整数，则第三边的长为 .
5.以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？
（1）6 cm，8 cm，10 cm；
（2）5 cm，8 cm，2 cm；
（3）三条线段长度之比为4∶5∶6；
（4）a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）.
6.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，试说明：AB＋BC＋AC＞2AD.
　知识点2　三角形的稳定性
7.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　 　）
A.全等形
B.稳定性
C.灵活性
D.对称性
8.下列图形中，具有稳定性的是（　 　）
9.（南阳期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（　 　）
A.E，H两点之间
B.E，G两点之间
C.F，H两点之间
D.A，B两点之间
@中档提分训练
10.若用如图所示的①②两根铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（　 　）
A.只有①可以 B.只有②可以
C.①②都可以 D.①②都不可以
11.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（　 　）
A.1 m B.2 m
C.3 m D.4 m
12.（益阳中考）如图1所示，将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱，则图中a的值可以是（　 　）
A.1 B.2
C.3 D.4
13.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4，6，8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　 　）
第13题图
A.7 B.10
C.11 D.14
14.如图，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条.
第14题图
15.（成都武侯区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足｜b－2｜＋（c－3）2＝0，且a为方程｜a－5｜＝1的解，则△ABC的周长为 .
16.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数.
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数，求△ABC的周长；
（2）化简：｜a－b＋c｜－｜b－c－a｜＋｜a＋b＋c｜.
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17.【新情境】实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境.
数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下.
铁条规格/米 2 3 4 5 6
价格/（元/根） 6 8 10 15 20
数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架.
（1）根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有 种制作方案；
（2）若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？

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