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专题突破（十二）　与旋转有关的计算问题
　类型一　通过旋转计算角度
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在一条直线上，那么旋转角的度数为（　A　）
A.110° B.100°
C.90° D.70°
2.（南阳月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，AC与DE交于点F.
（1）若AC⊥DE，求∠DAC的度数；
（2）若AD平分∠BAC，求∠CFE的度数.
解：（1）∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，
∴∠B＝∠D＝50°.
∵AC⊥DE，∴∠AFD＝90°.
∴∠DAC＝90°－50°＝40°.
（2）∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝70°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝35°.
∴∠AFE＝∠D＋∠CAD＝85°.
∴∠CFE＝180°－85°＝95°.
　类型二　通过旋转计算线段的长度
3.如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'.已知ED＝BC，线段ED经过旋转后的对应线段为E'D'，BC＝4，则E'D'＝　2　.
4.如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转后到达△ADE的位置，设DE分别交AC，BC于点O，F.
（1）若△ABC的周长为24，AD＝6，AE＝8，求BC的长；
（2）若∠BAC＝72°，∠DAC＝32°，求∠EFC的大小.
解：（1）由旋转的性质，得AB＝AD＝6，AC＝AE＝8，
∴AB＋AC＝6＋8＝14.
∵△ABC的周长为24，
∴AB＋AC＋BC＝24.
∴BC＝24－（AB＋AC）＝10.
（2）∵∠BAC＝72°，∠DAC＝32°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝72°－32°＝40°.
由旋转的性质，得旋转角为40°，∠C＝∠E，
∴∠CAE＝40°.
∵∠COF＝180°－∠EFC－∠C，∠AOE＝180°－∠CAE－∠E，∠COF＝∠AOE，
∴180°－∠EFC－∠C＝180°－∠CAE－∠E.
∴∠EFC＝∠CAE＝40°.
　类型三　通过旋转计算面积
5.如图，已知△ABC是直角三角形，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.
（1）请简述图1变换为图2的过程；
（2）若AD＝3，DB＝4，求△ADE与△BDF的面积之和.
解：（1）把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△A'DF.
（2）由（1）知，S△ADE＝S△DA'F，
∴S△ADE＋S△BDF＝S△A'DB.
根据图形的旋转性质，可知∠A'DA＝90°，A'D＝AD＝3，∴∠A'DB＝90°.
∴S△A'DB＝A'D·BD＝×3×4＝6.
即△ADE与△BDF的面积之和为6.专题突破（六）　解一元一次不等式（组）
解下列不等式（组）.
（1）5x－13＞2（x－2）；
解：去括号，得5x－13＞2x－4，
移项、合并同类项，得3x＞9，
系数化为1，得x＞3.
（2）10－4（x－3）≤2（x－1）；
解：去括号，得10－4x＋12≤2x－2，
移项，得－4x－2x≤－2－10－12，
合并同类项，得－6x≤－24，
系数化为1，得x≥4.
（3）＋1≥；
解：去分母，得4（2x＋1）＋12≥3（3＋5x），
去括号，得8x＋4＋12≥9＋15x，
移项，得8x－15x≥9－4－12，
合并同类项，得－7x≥－7，
系数化为1，得x≤1.
（4）－1＜；
解：去分母，得x＋5－2＜3x＋2，
移项，得x－3x＜2＋2－5，
合并同类项，得－2x＜－1，
系数化为1，得x＞.
（5）
解：解不等式①，得x＞－1，
解不等式②，得x≤3，
∴不等式组的解集为－1＜x≤3.
（6）
解：解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x≥2，
∴不等式组无解.
（7）
解：解不等式①，得x＞3，
解不等式②，得x＞1，
∴不等式组的解集为x＞3.
（8）
解：解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＜4，
∴不等式组的解集为x≤1.专题突破（十三）　网格中的四种作图
　类型一　轴对称作图
1.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形ABC成轴对称，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴.
解：如图所示.
图1　　　　　图2　　　　图3
　类型二　平移作图
2.（吕梁期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点A'处，点B，C分别移动到点B'，C'处.
（1）请画出平移后的三角形A'B'C'；
解：（1）如图所示.
（2）三角形A'B'C'是由三角形ABC如何平移得到的？
解：（2）三角形A'B'C'由三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的.
（3）若连接AA'，CC'，则这两条线段之间的关系是　平行且相等　.
　类型三　旋转作图
3.如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上.
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1；
解：（1）如图，△A1BC1即为所求.
（2）若△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转某一角度得到的，在图中找出旋转中心.
解：（2）如图，点Q即为旋转中心.
　类型四　中心对称作图
4.在如图所示的正方形网格上按要求画出图形，并回答问题.
（1）将△ABC平移，使点A平移到图中点D的位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出△DEF；
解：（1）如图，△DEF即为所求.
（2）画出△ABC关于点D成中心对称的△A1B1C1；
解：（2）如图，△A1B1C1即为所求.
（3）△DEF与△A1B1C1是否关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O.
解：（3）如图，△DEF与△A1B1C1关于点O成中心对称.专题突破（七）　不等式（组）中的参数问题
　类型一　已知解集，求参数的值或取值范围
　　（1）先将参数当成“常数”，解不等式（组），即用参数表示不等式（组）的解集；
（2）再结合条件中关于解集的叙述，列出关于参数的方程或不等式，进而求得参数的值或取值范围.
1.若关于x的不等式3x－a≤－1的解集如图所示，则a的值是　－2　.
2.（成都龙泉驿区期中）若不等式组的解集是0＜x＜，则（a＋b）2 024＝　1　.
3.（呼和浩特中考）关于x的不等式－1＞的解集是　x＞8　，若这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x－1≤x＋m的解大，则m的取值范围是　m≤7　.
　类型二　已知“有解或无解”，求参数的取值范围
　　（1）分别求出每一个不等式的解集；
（2）根据有解（无解），结合数轴判断出含参数的解和其他解的关系；
（3）代入参数值验证是否取等号；
（4）列出关于参数的不等式并求解.
4.若不等式组无解，则m的取值范围为　m＜2　.
5.已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是　m＞－1　.
　类型三　已知特殊解，求参数的取值范围
　　（1）分别求出每一个不等式的解集；
（2）借助数轴与不等式组的解集口诀确定参数的取值范围；
（3）验证是否取等号；
（4）列出关于参数的不等式（组）并求解.
6.（烟台中考）关于x的不等式m－≤1－x有正数解，m的值可以是　0（答案不唯一）　（写出一个即可）.
7.若关于x的不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是　＜a≤1　.
　类型四　结合方程（组）求参数
　　当题目中既涉及方程（组），又涉及不等式（组）时，需要分别求出满足方程（组）和不等式（组）条件的参数的取值范围，然后两者结合取公共解即可.
8.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜3，则m的取值范围是（　A　）
A.m＞－ B.m＜－
C.m＞ D.m＜
9.若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，且关于y的一元一次方程3y－1＝a＋y的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是　5　.专题突破（一）　解一元一次方程
1.解方程：
（1）8x－3（3x＋2）＝6；
解：去括号，得8x－9x－6＝6，
移项，得8x－9x＝6＋6，
合并同类项，得－x＝12，
系数化为1，得x＝－12.
（2）3（x－2）＝2－5（x＋2）；
解：去括号，得3x－6＝2－5x－10，
移项，得3x＋5x＝2－10＋6，
合并同类项，得8x＝－2，
系数化为1，得x＝－.
（3）－1＝；
解：去分母，得3（3y－1）－12＝2（5y－7），
去括号，得9y－3－12＝10y－14，
移项，得9y－10y＝12＋3－14，
合并同类项，得－y＝1，
系数化为1，得y＝－1.
（4）－x＝3－；
解：去分母，得4－4x－12x＝36－3x－6，
移项、合并同类项，得－13x＝26，
系数化为1，得x＝－2.
（5）－1＝＋；
解：去分母，得3（x－1）－12＝2（2x＋3）＋4（x＋1），
去括号，得3x－3－12＝4x＋6＋4x＋4，
移项，得3x－4x－4x＝3＋12＋6＋4，
合并同类项，得－5x＝25，
系数化为1，得x＝－5.
（6）－1.5＝.
解：原方程可变为－1.5＝，
去分母，得25（2－10x）－112.5＝3（10－30x），
去括号，得50－250x－112.5＝30－90x，
移项，得－250x＋90x＝30－50＋112.5，
合并同类项，得－160x＝92.5，
系数化为1，得x＝－.
2.【新定义】用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a b＝ab2＋4ab＋a.如：1 2＝1×22＋4×1×2＋1＝13.若 3＝，求a的值.
解：依题意，得
×32＋4××3＋＝，
∴3（2a－1）＋4（2a－1）＋＝.
∴22（2a－1）＝11.
∴2a－1＝，解得a＝.
3.【整体思想】一题多解是培养我们发散思维的重要方法，方程“6（4x－3）＋2（3－4x）＝3（4x－3）＋5”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设4x－3＝y.
（1）原方程可变形为关于y的方程：　6y－2y＝3y＋5　，通过先求y的值，从而可得x＝　2　；
（2）利用上述方法解方程：3（x－1）－（x－1）＝2（x－1）－（x＋1）.
解：设x－1＝y，则原方程可变形为关于y的方程为3y－y＝2y－（y＋2），
去括号，得3y－y＝2y－y－1，
移项，得3y－y－2y＋y＝－1，
合并同类项，得y＝－1，
系数化为1，得y＝－.
∴x－1＝－，解得x＝.专题突破（八）　一元一次不等式的实际应用
1.为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.种植3 km2甲作物和2 km2乙作物需要27名学生，种植2 km2甲作物和2 km2乙作物需要22名学生.
（1）种植1 km2甲作物和1 km2乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10 km2，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少平分千米？
2.（哈尔滨中考）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结.编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米，编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米.
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
3.周末小明在家开启日常锻炼，第一组运动是30个开合跳，40个深蹲，完成后，运动检测软件显示共消耗热量47焦耳；第二组运动是做40个开合跳，30个深蹲，完成后，软件显示两组运动下来共消耗热量91焦耳（每个动作之间的衔接时间忽略不计）.
（1）小明做一个开合跳和一个深蹲各消耗热量多少焦耳？
（2）若小明只做开合跳和深蹲两个动作，每个开合跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒，小明想要通过10分钟的锻炼，消耗至少75焦耳，至少要做多少个深蹲？
4.为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加.
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场；
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分.某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球.
5.（成都中考）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共1 500 kg进行销售，其中A种水果收购单价为10元，B种水果收购单价为15元.
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4％，若合作社计划A种水果至少要获得20％的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.
6.（南通中考）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣.相关信息如下：
信息一
A型机器 人台数 B型机器 人台数 总费用 （单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件.
（1）求A，B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？专题突破（三）　解二元一次方程组
1.解方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.（南阳期末）解方程组下面是两同学的解答过程：
小春：
解：将方程x＋6y＝－16变形为x＝－6y－16，….
小冬：
解：将方程2x－3y＝13两边同乘以2，得4x－6y＝26，再与另一个方程相加，得5x＝10，….
（1）小春解法的依据是 ，运用的方法是 ；小冬解法的依据是 ，运用的方法是 .（填序号）
①等式的性质1；②等式的性质2；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法.
（2）请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程.专题突破（九）　三角形中的面积问题
　类型一　与中线有关的面积关系
　　如图，若AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
1.（郑州中原区期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12 cm2，则△CDE的面积为（　 　）
第1题图
A.3 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.8 cm2
2.（凉山州期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4 cm2，则阴影部分图形的面积等于 cm2.
第2题图
　类型二　等面积法
　　如图，AD，BE，CF分别是△ABC的高，则
（1）S△ABC＝AB·CF＝BC·AD＝AC·BE；
（2）S△ABC＝AB·OF＋BC·OD＋AC·OE.
3.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，边BC上的高AD＝3，则边AB上的高CE＝（　 　）
第3题图
A. B.
C. D.
4.（成都锦江区期中）如图，在△ABC中，BC＝4，AE，CD为△ABC的高，若AE＝6，CD＝3，则AB的长为 .
第4题图
　类型三　等高（或等底）的两个三角形的面积关系
　　如图，若D（点D不与点B，C重合）为边BC上的一点，且＝m，则＝m.
5.（信阳期末）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点.设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF－S△BEF＝（　 　）
第5题图
A.2 B.4
C.3 D.5
6.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，且AD＝2BD，BE＝CE，如果S△ABC＝6，那么S四边形DOEB＝ .
第6题图专题突破（七）　不等式（组）中的参数问题
　类型一　已知解集，求参数的值或取值范围
　　（1）先将参数当成“常数”，解不等式（组），即用参数表示不等式（组）的解集；
（2）再结合条件中关于解集的叙述，列出关于参数的方程或不等式，进而求得参数的值或取值范围.
1.若关于x的不等式3x－a≤－1的解集如图所示，则a的值是 .
2.（成都龙泉驿区期中）若不等式组的解集是0＜x＜，则（a＋b）2 024＝ .
3.（呼和浩特中考）关于x的不等式－1＞的解集是 ，若这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x－1≤x＋m的解大，则m的取值范围是 .
　类型二　已知“有解或无解”，求参数的取值范围
　　（1）分别求出每一个不等式的解集；
（2）根据有解（无解），结合数轴判断出含参数的解和其他解的关系；
（3）代入参数值验证是否取等号；
（4）列出关于参数的不等式并求解.
4.若不等式组无解，则m的取值范围为 .
5.已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 .
　类型三　已知特殊解，求参数的取值范围
　　（1）分别求出每一个不等式的解集；
（2）借助数轴与不等式组的解集口诀确定参数的取值范围；
（3）验证是否取等号；
（4）列出关于参数的不等式（组）并求解.
6.（烟台中考）关于x的不等式m－≤1－x有正数解，m的值可以是 （写出一个即可）.
7.若关于x的不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是 .
　类型四　结合方程（组）求参数
　　当题目中既涉及方程（组），又涉及不等式（组）时，需要分别求出满足方程（组）和不等式（组）条件的参数的取值范围，然后两者结合取公共解即可.
8.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜3，则m的取值范围是（　 　）
A.m＞－ B.m＜－
C.m＞ D.m＜
9.若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，且关于y的一元一次方程3y－1＝a＋y的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 .专题突破（十）　双角平分线模型
　类型一　两个内角平分线夹角
条件 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.
结论 ∠P＝90°＋∠A.
理由 ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PCB＝∠ACB，∠PBC＝∠ABC. ∴∠P＝180°－（∠PCB＋∠PBC） ＝180°－（∠ACB＋∠ABC） ＝180°－（180°－∠A） ＝90°＋∠A.
1.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝70°，则∠F＝（　 　）
第1题图
A.125° B.130°
C.135° D.140°
2.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　 　）
第2题图
A.5∠E－4∠D＝180°
B.5∠D－4∠E＝180°
C.5∠E－4∠D＝90°
D.5∠D－4∠E＝90°
　类型二　两个外角平分线的夹角
条件 如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线.
结论 ∠P＝90°－∠A.
理由 ∵∠BCP＝∠BCE＝（∠A＋∠CBA），∠CBP＝∠CBD＝（∠A＋∠ACB）， ∴∠BCP＋∠CBP＝∠A＋（∠CBA＋∠ACB）. 又∵∠BCP＋∠CBP＝180°－∠P，∠CBA＋∠ACB＝180°－∠A， ∴180°－∠P＝∠A＋（180°－∠A）. ∴180°－∠P＝90°＋∠A. ∴∠P＝90°－∠A.
3.如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线交于点F，∠AFC＝70°，则∠B的度数是 .
第3题图
4.如图，已知∠ABC＝90°，点D是BC上一定点，点E是射线BA上一动点，∠CDE和∠AED的平分线DM，EM交于点M，则∠DME＝ .
第4题图
　类型三　一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
条件 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE.
结论 ∠P＝∠A.
理由 ∵∠ACE＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＝∠ACE－∠ABC. ∵∠PCE＝∠P＋∠PBC， ∴∠P＝∠PCE－∠PBC. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE. ∴∠P＝∠ACE－∠ABC＝（∠ACE－∠ABC）＝∠A.
5.（1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD.若∠A＝60°，则∠O的度数为 ；若∠A＝130°，则∠O的度数为 ；
（2）如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D.若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为 .
6.（达州中考）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度.
　类型四　模型的综合运用
7.【问题背景】
∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）.
【问题思考】
（1）如图1，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，∠AEB＝ .
（2）如图2，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D.
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ °.
②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不变，求出∠D的度数；如果改变，请说明理由；
【问题拓展】
（3）在图2的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动（如图3），∠D＝ .（用含α的代数式表示）专题突破（二）　一元一次方程的应用
　类型一　古代数学问题
1.（长春中考）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3 400钱；每人出300钱，剩余100钱.问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题.
解：设合伙人数为x人，
由题意，得400x－3 400＝300x－100，解得x＝33.
∴400x－3 400＝9 800.
答：合伙人数为33人，金价为9 800钱.
　类型二　比赛积分问题
2.（太原期末）阳光体育季，赛场展风采.七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题：
（1）由积分榜可知，胜一场得　3　分，负一场得　1　分；
（2）已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛.
解：设4班胜了x场比赛，则负了（10－x）场比赛，
根据题意，得3x＋1×（10－x）＝24，解得x＝7.
答：4班胜了7场比赛.
　类型三　配套问题
3.（宜宾月考）某工厂现有15 m3木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿.
（1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果1 m3木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿.要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少立方米.
（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件，解答下列问题：
①如果1 m3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？
②如果3 m3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
解：（1）设用x m3木料制作桌面，则用（15－x）m3木料制作桌腿，由题意，得
40x＝20（15－x），解得x＝5.
答：制作桌面的木料为5 m3.
（2）①设用a m3木料制作桌面，则用（15－a）m3木料制作桌腿，由题意，得
4×50a＝300（15－a），解得a＝9.
∴15－9＝6（m3）.
答：用9 m3木料制作桌面，6 m3木料制作桌腿恰好配套.
②设用y m3木料制作桌面，则用（15－y）m3木料制作桌腿，由题意，得
4×20×＝320×，解得y＝12.
∴15－12＝3（m3）.
答：用12 m3木料制作桌面，3 m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子.
　类型四　月历问题
4.如图是2023年12月的月历，用如图所示的“L”形框框住其中的4个数.
（1）设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为　4x＋36　.
（2）被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，请说明理由.
解：设被框住的最小的数为x，
则4x＋36＝100，解得x＝16.
∴x＋7＝23，x＋14＝30，x＋15＝31.
∴x＝16符合题意.
∴被框住的4个数的和能等于100，这四个数分别为16，23，30，31.
　类型五　方案问题
5.在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由.
解：（1）设成人人数为x，则学生人数为12－x，
根据题意，得35x＋（12－x）＝350，解得x＝8.
∴12－x＝12－8＝4.
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生.
（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用35×0.6×16＝336（元），
∵336＜350，∴购团体票更省钱.
答：购团体票更省钱.
　类型六　分段计费问题
6.（成都锦江区期末）在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择.下表是A网约车的收费标准（打车费＝起步费＋里程费＋远途费＋时长费）.
A网约车
起步费 6元
里程费 1.2元/千米
远途费 超过10千米后，超出部分加收1元/千米
时长费 0.2元/分
若本题中A网约车的平均车速均为40千米/时，请回答以下问题：
（1）若乘车里程数为10千米，则时长费是　3　元，打车费是　21　元；
（2）若打车费为28.5元，可乘坐的里程数是多少千米？
（3）小龙同学周末去郊外写生，发现A网约车有买券优惠活动，就用5.8元购买了3张打车折扣券.到达目的地后，软件显示里程数为28千米，用了一张打车折扣券，包括买券费5.8元在内一共花费了52元，请问本次用的折扣券是几折券？
解：（2）∵28.5＞21，∴乘车里程数大于10千米.
故设可乘坐的里程数是x千米（x＞10），则
6＋1.2x＋（x－10）×1＋x÷40×60×0.2＝28.5，解得x＝13.
答：可乘坐的里程数是13千米.
（3）设本次用的折扣券是y折券，则
[6＋28×1.2＋1×（28－10）＋28÷40×60×0.2]＝52－5.8，
解得y＝7.
答：本次用的折扣券是七折券.专题突破（六）　解一元一次不等式（组）
解下列不等式（组）.
（1）5x－13＞2（x－2）；
（2）10－4（x－3）≤2（x－1）；
（3）＋1≥；
（4）－1＜；
（5）
（6）
（7）
（8）专题突破（三）　解二元一次方程组
1.解方程组：
（1）
解：①×3＋②，得10x＝5，解得x＝.
把x＝代入①，得2×－y＝5，解得y＝－4.
∴方程组的解是
（2）
解：②－①×3，得2x＝3，解得x＝.
把x＝代入①，得y＝－1.
∴方程组的解为
（3）
解：将②代入①，得3x－4＝5，∴x＝3.
将x＝3代入②，得y＝1.
∴方程组的解为
（4）
解：方程组整理，得
①×15＋②×2，得49x＝－294，解得x＝－6.
把x＝－6代入②，得y＝1.
∴方程组的解为
（5）
解：方程组整理，得
①×2－②，得－7y＝－7，解得y＝1.
把y＝1代入①，得x－2＝3，解得x＝5.
∴方程组的解为
（6）
解：方程组整理，得
①×2＋②，得11x＝22，解得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝3.
∴方程组的解为
2.（南阳期末）解方程组下面是两同学的解答过程：
小春：
解：将方程x＋6y＝－16变形为x＝－6y－16，….
小冬：
解：将方程2x－3y＝13两边同乘以2，得4x－6y＝26，再与另一个方程相加，得5x＝10，….
（1）小春解法的依据是　①　，运用的方法是　④　；小冬解法的依据是　②　，运用的方法是　⑤　.（填序号）
①等式的性质1；②等式的性质2；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法.
（2）请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程.
解：将方程2x－3y＝13两边同乘以2，得4x－6y＝26，
再与另一个方程相加，得5x＝10，解得x＝2.
将x＝2代入方程x＋6y＝－16，解得y＝－3.
∴方程组的解为专题突破（十一）　与角度相关的常见模型
　类型一　“8”字型
∠A＋∠B＝∠C＋∠D
1.如图，已知∠B＋∠C＝150°，则∠A＋∠D＋∠E＋∠F的度数为　210°　.
第1题图
2.如图，若∠E＝26°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝　206　°.
第2题图
3.（德阳月考）如图，∠CAD与∠CBD的平分线交于点P.
（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，则∠P＝　32°　；
（2）直接写出∠D，∠C，∠P的数量关系.
解：∠P＝（∠C＋∠D），
理由如下：
∵AP平分∠CAD，
BP平分∠CBD，
∴设∠CAP＝∠PAF＝x，∠DBP＝∠PBE＝y.
∴∠P＋x＝∠D＋y①，∠P＋y＝∠C＋x②.
①＋②，得2∠P＝∠C＋∠D.
∴∠P＝（∠C＋∠D）.
　类型二　“飞镖”型
∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C
4.如图，∠BGF＝140°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝　280°　.
5.如图1，在∠A内部有一点P，连结BP，CP，请回答下列问题：
（1）试说明：∠P＝∠1＋∠BAC＋∠2；
（2）如图2，利用上面的结论，在五角星中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝　180　°；
（3）如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠A之间有什么等量关系，直接写出结论即可.
解：（1）连结AP并延长至点D，则
∠BPD＝∠2＋∠BAP，∠CPD＝∠1＋∠PAC，
∴∠BPC＝∠1＋∠BAC＋∠2.
（3）∠4＋∠5＝∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC.专题突破（十）　双角平分线模型
　类型一　两个内角平分线夹角
条件 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.
结论 ∠P＝90°＋∠A.
理由 ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PCB＝∠ACB，∠PBC＝∠ABC. ∴∠P＝180°－（∠PCB＋∠PBC） ＝180°－（∠ACB＋∠ABC） ＝180°－（180°－∠A） ＝90°＋∠A.
1.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝70°，则∠F＝（　A　）
第1题图
A.125° B.130°
C.135° D.140°
2.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　A　）
第2题图
A.5∠E－4∠D＝180°
B.5∠D－4∠E＝180°
C.5∠E－4∠D＝90°
D.5∠D－4∠E＝90°
　类型二　两个外角平分线的夹角
条件 如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线.
结论 ∠P＝90°－∠A.
理由 ∵∠BCP＝∠BCE＝（∠A＋∠CBA），∠CBP＝∠CBD＝（∠A＋∠ACB）， ∴∠BCP＋∠CBP＝∠A＋（∠CBA＋∠ACB）. 又∵∠BCP＋∠CBP＝180°－∠P，∠CBA＋∠ACB＝180°－∠A， ∴180°－∠P＝∠A＋（180°－∠A）. ∴180°－∠P＝90°＋∠A. ∴∠P＝90°－∠A.
3.如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线交于点F，∠AFC＝70°，则∠B的度数是　40°　.
第3题图
4.如图，已知∠ABC＝90°，点D是BC上一定点，点E是射线BA上一动点，∠CDE和∠AED的平分线DM，EM交于点M，则∠DME＝　45°　.
第4题图
　类型三　一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
条件 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE.
结论 ∠P＝∠A.
理由 ∵∠ACE＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＝∠ACE－∠ABC. ∵∠PCE＝∠P＋∠PBC， ∴∠P＝∠PCE－∠PBC. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE. ∴∠P＝∠ACE－∠ABC＝（∠ACE－∠ABC）＝∠A.
5.（1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD.若∠A＝60°，则∠O的度数为　30°　；若∠A＝130°，则∠O的度数为　65°　；
（2）如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D.若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为　25°　.
6.（达州中考）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝　m　度.
　类型四　模型的综合运用
7.【问题背景】
∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）.
【问题思考】
（1）如图1，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，∠AEB＝　135°　.
（2）如图2，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D.
①若∠BAO＝70°，则∠D＝　45　°.
②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不变，求出∠D的度数；如果改变，请说明理由；
【问题拓展】
（3）在图2的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动（如图3），∠D＝　α　.（用含α的代数式表示）
解：∠D的度数不随A，B的移动而发生变化，
设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x.
∴∠ABN＝∠AOB＋∠BAO＝90°＋2x.
∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°＋x.
∵∠ABC＝∠D＋∠BAD，
∴∠D＝∠ABC－∠BAD＝45°＋x－x＝45°.专题突破（十二）　与旋转有关的计算问题
　类型一　通过旋转计算角度
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在一条直线上，那么旋转角的度数为（　 　）
A.110° B.100°
C.90° D.70°
2.（南阳月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，AC与DE交于点F.
（1）若AC⊥DE，求∠DAC的度数；
（2）若AD平分∠BAC，求∠CFE的度数.
　类型二　通过旋转计算线段的长度
3.如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'.已知ED＝BC，线段ED经过旋转后的对应线段为E'D'，BC＝4，则E'D'＝ .
4.如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转后到达△ADE的位置，设DE分别交AC，BC于点O，F.
（1）若△ABC的周长为24，AD＝6，AE＝8，求BC的长；
（2）若∠BAC＝72°，∠DAC＝32°，求∠EFC的大小.
　类型三　通过旋转计算面积
5.如图，已知△ABC是直角三角形，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.
（1）请简述图1变换为图2的过程；
（2）若AD＝3，DB＝4，求△ADE与△BDF的面积之和.专题突破（四）　含参数的二元一次方程组问题
　类型一　已知二元一次方程组解的关系求参数值
　　（1）把二元一次方程组中的参数看成已知数，解这个方程组，再根据方程组解的关系，建立以参数为未知数的方程（组），解这个方程（组）即可求得参数值.
（2）对于含参数的二元一次方程组，将两个二元一次方程直接相加减（或除以一个系数），得到与参数相关的式子，再结合已知条件中式子的值，得到关于参数的方程，解方程即可求得参数值.
1.（南阳期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为（　 　）
A.－1 B.7 C.1 D.2
2.（绵阳期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x－3y＝8的解，则k等于（　 　）
A.1 B.2 C.－1 D.－2
3.（濮阳期末）若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为 .
4.（南充期末）若关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则5－2m＋n的值为 .
　类型二　同解问题
　　当两个方程组的解相同时，这个解是这四个方程的公共解，常用解题方法是“优化重组”，即先将两个不含参数的方程组成新的方程组求解，再将解代入另外两个含参数的方程中，求参数的值.
5.（南阳期末）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求m，n的值.
　类型三　错解问题
　　看错方程组中某个系数时，可将所得的“错解”代入另外一个不含该系数的方程，进而得到新的方程或方程组求解.
6.（新乡期中）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为求原方程组的解.专题突破（八）　一元一次不等式的实际应用
1.为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.种植3 km2甲作物和2 km2乙作物需要27名学生，种植2 km2甲作物和2 km2乙作物需要22名学生.
（1）种植1 km2甲作物和1 km2乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10 km2，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少平分千米？
解：（1）设种植1 km2甲作物需要x名学生，种植1 km2乙作物需要y名学生，
根据题意，得解得
答：种植1 km2甲作物需要5名学生，种植1 km2乙作物需要6名学生.
（2）设种植甲作物m km2，则种植乙作物（10－m）km2，
根据题意，得5m＋6（10－m）≤55，解得m≥5.
∴m的最小值为5.
答：至少种植甲作物5 km2.
2.（哈尔滨中考）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结.编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米，编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米.
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
解：（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，
由题意，得解得
答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米.
（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50－m）个小号中国结，
由题意，得4m＋3（50－m）≤165，解得m≤15.
答：该中学最多编织15个大号中国结.
3.周末小明在家开启日常锻炼，第一组运动是30个开合跳，40个深蹲，完成后，运动检测软件显示共消耗热量47焦耳；第二组运动是做40个开合跳，30个深蹲，完成后，软件显示两组运动下来共消耗热量91焦耳（每个动作之间的衔接时间忽略不计）.
（1）小明做一个开合跳和一个深蹲各消耗热量多少焦耳？
（2）若小明只做开合跳和深蹲两个动作，每个开合跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒，小明想要通过10分钟的锻炼，消耗至少75焦耳，至少要做多少个深蹲？
解：（1）设小明做一个开合跳消耗热量x焦耳，做一个深蹲消耗热量y焦耳，
由题意，得解得
答：小明做一个开合跳消耗热量0.5焦耳，做一个深蹲消耗热量0.8焦耳.
（2）设小明做m个深蹲，
由题意，得0.8m＋0.5×≥75，
解得m≥50.
答：至少要做50个深蹲.
4.为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加.
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场；
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分.某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球.
解：（1）设该班胜x场，负y场，
根据题意，得解得
答：该班胜12场，负3场.
（2）设该班这场比赛中投中了m个3分球，则投中（27－m）个2分球，
根据题意，得3m＋2（27－m）≥58，解得m≥4.
∴m的最小值为4.
答：该班这场比赛中至少投中了4个3分球.
5.（成都中考）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共1 500 kg进行销售，其中A种水果收购单价为10元，B种水果收购单价为15元.
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4％，若合作社计划A种水果至少要获得20％的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.
解：（1）设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，
根据题意，得解得
答：A种水果购进1 000千克，B种水果购进500千克.
（2）设A种水果的销售单价为m元，根据题意，得
1 000×（1－4％）m－10×1 000≥10×1 000×20％，
解得m≥12.5.
∴m的最小值为12.5.
答：A种水果的最低销售单价为12.5元.
6.（南通中考）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣.相关信息如下：
信息一
A型机器 人台数 B型机器 人台数 总费用 （单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件.
（1）求A，B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，依题意，得
解得
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10－a）台，依题意，得
80a＋60（10－a）≤700，解得a≤5.
∵a为正整数，∴a＝1，2，3，4，5.
∵每天分拣快递的件数为22a＋18（10－a）＝4a＋180（万件），
∴当a＝1时，4a＋180＝184；当a＝2时，4a＋180＝188；当a＝3时，4a＋180＝192；当a＝4时，4a＋180＝196；当a＝5时，4a＋180＝200.
∵200＞196＞192＞188＞184，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台.专题突破（九）　三角形中的面积问题
　类型一　与中线有关的面积关系
　　如图，若AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
1.（郑州中原区期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12 cm2，则△CDE的面积为（　A　）
第1题图
A.3 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.8 cm2
2.（凉山州期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4 cm2，则阴影部分图形的面积等于　1　cm2.
第2题图
　类型二　等面积法
　　如图，AD，BE，CF分别是△ABC的高，则
（1）S△ABC＝AB·CF＝BC·AD＝AC·BE；
（2）S△ABC＝AB·OF＋BC·OD＋AC·OE.
3.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，边BC上的高AD＝3，则边AB上的高CE＝（　B　）
第3题图
A. B.
C. D.
4.（成都锦江区期中）如图，在△ABC中，BC＝4，AE，CD为△ABC的高，若AE＝6，CD＝3，则AB的长为　8　.
第4题图
　类型三　等高（或等底）的两个三角形的面积关系
　　如图，若D（点D不与点B，C重合）为边BC上的一点，且＝m，则＝m.
5.（信阳期末）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点.设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF－S△BEF＝（　B　）
第5题图
A.2 B.4
C.3 D.5
6.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，且AD＝2BD，BE＝CE，如果S△ABC＝6，那么S四边形DOEB＝　　.
第6题图专题突破（五）　二元一次方程组的应用
　类型一　分段计费问题
1.（成都青羊区期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 价格：元/吨 价格：元/吨
17吨及以下 a 0.9
超过17吨，但不超 过30吨的部分 b 0.9
超过30吨的部分 6.5 0.9
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费）
已知小王家2024年7月份用水16吨，交水费59.2元.8月份用水25吨，交水费99.7元.
（1）求a，b的值；
（2）如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月交水费多少元？
解：（1）由题意，得
解得
（2）17×（2.8＋0.9）＋（25－17）×（3.7＋0.9）＋（36－30）×（0.9＋6.5）＝144.1（元）.
答：小王家这个月交水费144.1元.
　类型二　配套问题
2.（郑州期末）根据以下素材，探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的f50 cm×15 cm，座垫尺寸为50 cm×40 cm.图2是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅.经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的靠背与座垫.已知该板材长为240 cm，宽为50 cm.（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切 方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法.方法一：裁切靠背16张和座垫0张.方法二：裁切靠背　8　张和座垫　3　张.方法三：裁切靠背　0　张和坐垫　6　张.
任务二 确定搭配 数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成　480　张学生椅.
任务三 解决实际 问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案.
解：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，
依题意，得解得
∵86＋73＝159（张），
∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张.
　类型三　方案问题
3.（吕梁期末）学科实践：
【驱动任务】某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，根据以下素材，探索完成任务并设计购买方案.
【研究要素】素材1：购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元.C场馆门票为每张15元.
素材2：由于场地原因，每名同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观.参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票.
【问题解决】
任务一：确定场馆门票价格：
求A场馆和B场馆的门票价格.
任务二：探究经费的使用：
在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12名同学想参观A场馆，9名同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额.
任务三：拟定购买方案：
到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购票方案.
解：任务一：设A场馆的门票价格为x元/张，B场馆的门票价格为y元/张，
根据题意，得解得
答：A场馆的门票价格为50元/张，B场馆的门票价格为40元/张.
任务二：根据题意，得50×12＋40×（30－12－9）＝960（元）.
答：在大家初步意向下所需花费的最少门票总额为960元.
任务三：设购买m张A场馆门票，n张B场馆门票，则购买（30－2m－n）张C场馆门票，
根据题意，得50m＋40n＋15（30－2m－n）＝750，
整理，得m＝15－n，
∵m，n均为正整数，
∴或
∴共有2种购买方案.
①购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票；
②购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票.
　类型四　古代数学问题
4.【跨学科·语文】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题.由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷.
一、周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符；
哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数.
二、官兵分布
一千官兵一千布，一官四尺无零数；
四兵才得布一尺，请问官兵多少数？
三、老头买梨
一群老头去赶集，半路买了一堆梨；
一人一个多一个，一人两个少两梨.
请问君子知道否，几个老头几个梨？
这三个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？
解：一、设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得
解得
答：这个两位数是36.
二、设官兵各有x人、y人.根据题意，得
解得
答：有200名军官，800名士兵.
三、设有x个老头，y个梨.根据题意，得
解得
答：有3个老头，4个梨.专题突破（五）　二元一次方程组的应用
　类型一　分段计费问题
1.（成都青羊区期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 价格：元/吨 价格：元/吨
17吨及以下 a 0.9
超过17吨，但不超 过30吨的部分 b 0.9
超过30吨的部分 6.5 0.9
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费）
已知小王家2024年7月份用水16吨，交水费59.2元.8月份用水25吨，交水费99.7元.
（1）求a，b的值；
（2）如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月交水费多少元？
　类型二　配套问题
2.（郑州期末）根据以下素材，探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的f50 cm×15 cm，座垫尺寸为50 cm×40 cm.图2是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅.经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的靠背与座垫.已知该板材长为240 cm，宽为50 cm.（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切 方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法.方法一：裁切靠背16张和座垫0张.方法二：裁切靠背 张和座垫 张.方法三：裁切靠背 张和坐垫 张.
任务二 确定搭配 数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成 张学生椅.
任务三 解决实际 问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案.
　类型三　方案问题
3.（吕梁期末）学科实践：
【驱动任务】某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，根据以下素材，探索完成任务并设计购买方案.
【研究要素】素材1：购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元.C场馆门票为每张15元.
素材2：由于场地原因，每名同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观.参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票.
【问题解决】
任务一：确定场馆门票价格：
求A场馆和B场馆的门票价格.
任务二：探究经费的使用：
在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12名同学想参观A场馆，9名同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额.
任务三：拟定购买方案：
到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购票方案.
　类型四　古代数学问题
4.【跨学科·语文】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题.由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷.
一、周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符；
哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数.
二、官兵分布
一千官兵一千布，一官四尺无零数；
四兵才得布一尺，请问官兵多少数？
三、老头买梨
一群老头去赶集，半路买了一堆梨；
一人一个多一个，一人两个少两梨.
请问君子知道否，几个老头几个梨？
这三个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？专题突破（十一）　与角度相关的常见模型
　类型一　“8”字型
∠A＋∠B＝∠C＋∠D
1.如图，已知∠B＋∠C＝150°，则∠A＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 .
第1题图
2.如图，若∠E＝26°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝ °.
第2题图
3.（德阳月考）如图，∠CAD与∠CBD的平分线交于点P.
（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，则∠P＝ ；
（2）直接写出∠D，∠C，∠P的数量关系.
　类型二　“飞镖”型
∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C
4.如图，∠BGF＝140°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
5.如图1，在∠A内部有一点P，连结BP，CP，请回答下列问题：
（1）试说明：∠P＝∠1＋∠BAC＋∠2；
（2）如图2，利用上面的结论，在五角星中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ °；
（3）如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠A之间有什么等量关系，直接写出结论即可.
C
D
E
B
D
B
C
E
A
F
B
D
F
G
P
E
B
B
D
C
C
B
图1
图2
图3
模型展
示
O
B
C
A
D
F
E
B
D
E
C
B专题突破（四）　含参数的二元一次方程组问题
　类型一　已知二元一次方程组解的关系求参数值
　　（1）把二元一次方程组中的参数看成已知数，解这个方程组，再根据方程组解的关系，建立以参数为未知数的方程（组），解这个方程（组）即可求得参数值.
（2）对于含参数的二元一次方程组，将两个二元一次方程直接相加减（或除以一个系数），得到与参数相关的式子，再结合已知条件中式子的值，得到关于参数的方程，解方程即可求得参数值.
1.（南阳期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为（　C　）
A.－1 B.7 C.1 D.2
2.（绵阳期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x－3y＝8的解，则k等于（　A　）
A.1 B.2 C.－1 D.－2
3.（濮阳期末）若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为　0　.
4.（南充期末）若关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则5－2m＋n的值为　2　.
　类型二　同解问题
　　当两个方程组的解相同时，这个解是这四个方程的公共解，常用解题方法是“优化重组”，即先将两个不含参数的方程组成新的方程组求解，再将解代入另外两个含参数的方程中，求参数的值.
5.（南阳期末）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求m，n的值.
解：联立解得
把代入方程组
得解得
　类型三　错解问题
　　看错方程组中某个系数时，可将所得的“错解”代入另外一个不含该系数的方程，进而得到新的方程或方程组求解.
6.（新乡期中）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为求原方程组的解.
解：将x＝1，y＝6代入x＋by＝7，得
1＋6b＝7，解得b＝1.
将x＝－1，y＝12代入ax＋y＝10，得
－a＋12＝10，解得a＝2.
∴原方程组为
解得专题突破（十三）　网格中的四种作图
　类型一　轴对称作图
1.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形ABC成轴对称，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴.
图1　　　　　图2　　　　图3
　类型二　平移作图
2.（吕梁期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点A'处，点B，C分别移动到点B'，C'处.
（1）请画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）三角形A'B'C'是由三角形ABC如何平移得到的？
（3）若连接AA'，CC'，则这两条线段之间的关系是 .
　类型三　旋转作图
3.如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上.
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1；
（2）若△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转某一角度得到的，在图中找出旋转中心.
　类型四　中心对称作图
4.在如图所示的正方形网格上按要求画出图形，并回答问题.
（1）将△ABC平移，使点A平移到图中点D的位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出△DEF；
（2）画出△ABC关于点D成中心对称的△A1B1C1；
（3）△DEF与△A1B1C1是否关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O.

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