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2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题 A．（1，+∞） B．
注意事项： C． D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
5．函数 图象的一个对称中心是（ ）
题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， A． B． C． D．
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 6．已知向量 （3，3）， （2，0），则 在 上的投影向量为（ ）
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
A．（2，2） B．（1，1） C．（3，0） D．
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选 7．已知双曲线 C： 的右焦点为 F，过 F分别作 C的两条渐近线
项中，只有一项是符合题目要求的） 的平行线与 C交于 A，B两点，若 ，则 C的离心率为（ ）
1．已知 ，则 z＝（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
8．已知 ，若不等式 f（lnx）＜f（x﹣1）在区间（1，+∞）上恒成立，
2．已知集合 A＝{x|x＞2}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则 A∩B＝（ ）
则 a的取值范围是（ ）
A．{3，4} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}
A．[﹣1，1] B．
3．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌
面上，瓷碗底座高为 1.5cm，碗口直径为 20cm，碗深 10cm．瓷碗的轴截面轮廓可以近似地 C．[0，1] D．
看成抛物线，碗里有一根长度为 12cm的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端
在碗的内壁上．则筷子的中点离桌面的距离为（ ） 二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四
个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分
分，有选错的得 0分）
9．已知圆 O：x2+y2＝8，则（ ）
A．圆 O与直线 mx+y﹣m﹣2＝0必有两个交点
A．4.5cm B．5cm C．5.5cm D．6cm
B．圆 O上存在 3个点到直线 l： 的距离都等于
4．已知 ，则关于 x的不等式 f（x）+f（2x﹣1）＞0的解集为（ ）
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C．若圆 O与圆 x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则 ．
13．若函数 f（x）＝x3+2ax2+a2x在 x＝1处有极大值，则实数 a的值为 ．
D．已知动点 P在直线 x+y﹣6＝0上，过点 P向圆 O引两条切线，A，B为切点，则|OP||AB|
14．若 a2﹣4b2＝2，则 的取值范围为 ．
的最小值为
四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
10．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面 ABC，AA1＝4，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
15．（13分）在数列{an}中，已知 a1＝2，且当 n为奇数时，an+1＝3an+1；当 n为偶数时，aD B n为线段 1C1上的动点，E，F分别为线段 A1C1，AA1中点，则下列命题中正确的是（ ）
+1＝2an﹣1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前 2n项和 S2n．
16．（15分）研究者发现多看电视易使人变冷漠，下表数据（单位：人）是一个调查机构在某
社区对此现象的调查结果：
A．三棱锥 D﹣ABC的外接球体积的最大值为
冷漠 不冷漠 合计
B．直线 CD与 AB所成角的余弦值的取值范围是 多看电视 70 30 100
C．当 D为 B C 中点时，三棱锥 E﹣FBD的体积为 少看电视 20 60 801 1
D．存在点 D，使得 CD⊥BA 合计 90 90 1801
11．在△ABC中，记角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则（ ） （1）试问能否有 99.9%的把握认为多看电视与人变冷漠有关系？
A．若 a＝2，b＝3， ，则解此三角形有两解 （2）若从被调查的多看电视的 100人中任选 2人，求这 2人中至少有 1人不冷漠的概率．
B．若△ABC为锐角三角形，则 sinA+sinB＞cosA+cosB 附： ，n＝a+b+c+d．
C．sinA＞sinB的充要条件为 A＞B
P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
D．若 acosA﹣bcosB＝sin（A+B+C），则△ABC为等腰直角三角形
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
17．（15分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 O的半径为
12．已知随机变量 ξ服从正态分布 N（ 3，σ 2），且 ，则 P（ 3＜ ξ＜ 5）＝
，A，B，C为球面上三点，劣弧 BC的弧长记为 a．设 Oa表示以 O为圆心，过 B，C的
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圆，同理，圆 Ob，Oc的劣弧 AC，AB的弧长分别记为 b，c，球面 ABC（阴影部分）叫做球 （ii）求△AMN面积的最大值．
面三角形．
（1）若平面 OAB、平面 OAC、平面 OBC两两垂直，求球面三角形 ABC的面积（直接写出
答案，无需证明）；
（2）若平面三角形 ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3 19．（17分）已知函数 在（﹣1，+∞）单调递增．
，则：
（1）求 a的值；
（i）求证：cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1；
（2）解不等式 2f′（x）﹣x2＜0（f′（x）为函数的 f（x）导函数）；
（ii）延长 AO与球 O交于点 D，若直线 DA，DC与平面 ABC所成的角分别为 ，
（3）证明： ．
，λ∈（0，1]，S为 AC的中点，T为 BC的中点，设平面 OBC与平面 EST的夹角
为θ，若 ，求平面 AEC截球 O的面积的最大值．
18．（17分）已知椭圆 的离心率为 ，右顶点为 A（2，0）．
（1）求椭圆 E的标准方程；
（2）过椭圆 E的右焦点 F作与 x轴不重合的直线与椭圆 E交于 M、N两点，记直线 AM的
斜率为 k1，直线 AN的斜率为 k2．
（i）证明：k1k2为定值；
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参考答案
所以{an}的通项公式是 ；
一．选择题
（2）由（1）知， ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B B D B A D
，
二．多选题 则数列{an}的前 2n项和 ．
题号 9 10 11
答案 ACD AC ABC 16．解：（1）零假设 H0：多看电视与人变冷漠没有关系，
则 10.828，
三．填空题
所以有 99.9%的把握认为可以推断假设不成立，
12． ． 即有 99.9%的把握认为多看电视与人变冷漠有关系；
13．﹣3
（2）根据题意可得这 2人中至少有 1人不冷漠的概率为 ．
14． ．
17．解：（1）若平面 OAB，OAC，OBC两两垂直时，
四．解答题
球面三角形 ABC面积为整个球面面积的 ，
15．解：（1）在数列{an}中，已知 a1＝2，且当 n为奇数时，an+1＝3an+1；当 n为偶数时，an
故 ．
+1＝2an﹣1，
则 a2＝3a1+1＝7，
当 n为偶数时，an+1＝2an﹣1，则数列{an}的奇数项是首项为 2，公比为 2的等比数列， （2）（ⅰ）证明：由余弦定理有 ，
于 是 ， 即 当 n为 奇 数 时 ， ， 当 n为 偶 数 时 ，
且 AC2+BC2＝AB2，消掉 R2，
， 有 cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1．
（ⅱ）由 AD是球的直径，则 AB⊥BD，AC⊥CD，
又 AC⊥BC，BD∩CD＝D，BD，CD 平面 BCD，
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所以 AC⊥平面 BCD，BD 平面 BCD，则 AC⊥BD，
设平面 EST法向量 ， ， ，
而 AB∩AC＝A，AB，AC 平面 ABC，
所以 BD⊥平面 ABC．
则 ，则 ，
由直线 DA，DC与平面 ABC所成的角分别为 ， ，
所以 ， ， 取 ，则 y＝t，z＝﹣1，
由 ，则 ， ， ，AC＝2， 所以 ．
由 AC⊥BC，AC⊥BD，BC⊥BD，
要使 ，则 ，
以 C为坐标原点，以 CB，CA所在直线为 x，y轴，过点 C作 BD的平行线为 z轴，
所以 ，
建立如图 3所示的空间直角坐标系．
即 ，
解得 ．
作 OO′平行于 AC交 DC于 O′，显然 O点到平面 AEC的距离即为 O′到平面 AEC的距离，
O′到 EC的垂线设为 O′H，则 O′H⊥CE，
由（2）可得 AC⊥平面 BCD，而 O′H 平面 BCD，故 AC⊥O′H，
而 AC∩CE＝C，AC，AE 平面 AEC，所以 O′H⊥平面 AEC，
设 BE＝t， ，则 C（0，0，0），A（0，2，0）， ， ， 故 O′H的最小值就是 O点到平面 AEC的距离的最小值，
则 S（0，1，0）， ， ， ， 而当 时，O′H的长度最小，故此时 O点到平面 AEC的距离的最小，
设平面 OBC的法向量为 ， ， ， 即此时截面面积最大，即 E的坐标为 时截面面积最大．
在平面 AEC中， ， ，
则 ，则 ，
设平面 AEC的法向量为 ，
取 z＝﹣2，则 ，x＝0，
所以 ． 则 ，则 ．
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取 ，而 ，
所以 ，
故球心 O到平面 AEC距离 ．
则 k1k2为定值；
设平面 AEC截球 O的半径为 r， ， （ ii） △ AMN的 面 积
所以截面圆面积为 ． ，
即 ，
18．解：（1）因为椭圆 E的离心率为 ，右顶点为 A（2，0），
令 ，
所以 ，
此时 ，
解得 c＝1，
2 2 2 可得 ，又 a ＝b +c ，
所以 S（λ）在[1，+∞）单调递减，
解得 ；
所以 ．
则椭圆 E的标准方程为 ，
则△AMN面积的最大值为 ．
（2）（i）证明：因为直线 MN不与 x轴重合，
设直线的方程为 x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
19．解：（1）f′（x）＝x+a[1﹣ln（x+1）﹣1]＝x﹣aln（x+1），
联立 ，消去 x并整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0， 由函数 f（x）在（﹣1，+∞） 单调递增，
则 f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，
此时Δ＝36t2+36（3t2+4）＝144（t2+1）＞0恒成立，
令 g（x）＝f′（x）＝x﹣aln（x+1），即 g（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，
由韦达定理得 ，
若 a≤0，则当 x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x﹣aln（x+1）＜0，不符；
此时 ，
故 a＞0， ，
所以 ， 当 x∈（﹣1，a﹣1），g′（x）＜0，当 x∈（a﹣1，+∞），g′（x）＞0，
因为 ， 故 g（x）在 （﹣1，a﹣1）上单调递减，在 （a﹣1，+∞） 上单调递增，
则有 g（x）min＝g（a﹣1）＝a﹣1﹣alna≥0，
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令 h（a）＝a﹣1﹣alna，则 h′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣1na， 立，
当 a∈（0，1），h′（a）＞0，当 a∈（1，+∞），h′（a）＜0， 即有 在（0，+∞） 上恒成立，
故 h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
令 ，
则 h（a）≤h（1）＝1﹣1﹣0＝0，
故当且仅当 a＝1时，g（x）≥0恒成立，即 a＝1； 即有 ，
（2）由 a＝1，则 ， 化简得 ，
f′（x）＝x﹣ln（x+1），
即 ，
则 2f'（x）﹣x2＝2x﹣2ln（x+1）﹣x2＜0，
即 ，
令μ（x）＝2x﹣2ln（x+1）﹣x2，
则 ，
则 ，
故μ（x）在 （﹣1，+∞） 上单调递减，又μ（0）＝0﹣2ln1﹣0＝0， 又 ，
故当 x＞0时，2f'（x）﹣x2＜0，
故 ，
即不等式 2f'（x）﹣x2＜0的解集为（0，+∞）；
即 ．
（3）证明：由（2）知，2x﹣2ln（x+1）﹣x2＜0在（0，+∞） 上恒成立，
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故 2ln（x+1）＞2x﹣x2，
令 ，则 ，
则 ，
有 ，…， ，
故 ，
由（1）知， 在 （﹣1，+∞） 单调递增，
又 ，故 在（0，+∞） 上恒成
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