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2026学年八年级数学下学期期中测试卷（6-9章）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
C．描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图
D．调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查
2．下列多项式因式分解不彻底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的每一条对角线平分一组对角
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分
4．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图所示为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机投点，经过大量重复试验发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图：
根据以上数据，下列推断错误的是（ ）
A．周岁人群理财人数最多 B．周岁人群理财总费用最少
C．理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
7．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
8．若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．．
9．如图，在矩形中，，将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形可能为矩形 B．四边形的面积不变
C．的度数不变 D．线段有最大值
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上）
11．因式分解的结果为______．
12．为了解学生寒假期间参与社会实践活动时间的情况，某校对九年级部分学生参与社会实践活动时间的情况展开调查，并画出了相应的频数分布直方图（如图）（每组数据含最小值，不含最大值）．若该校九年级共有名学生，则该校九年级学生参与社会实践活动的时间不低于小时的人数是________．
13．如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______．
14．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ______________．
15．已知，，，则的值是_____．
16．如图，在梯形中，，，，点C、M分别是边上的点，连接，若和的面积之和为12，则的长为_____．
17．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是________．
18．如图，正方形的边长为2，点E为对角线上一动点（点E不与A、C重合），过点E作交直线于F，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，，，下列结论：①；②；③；④的最小值为，其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本题共8小题，共78分。）
19．（8分）将下列各式分解因式
(1)；(2)；(3)（利用因式分解计算）
20．（8分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）；
(2)试估算盒子里白球有多少个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是___（填写所有正确结论的序号）．
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”．
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
21．（10分）阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．
例如：
阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”．例如：
根据上述两个材料，按要求完成下列问题：
(1)用“配方法”分解因式：(2)用“分组分解法”分解因式：
22．（10分）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点．(1)求证：四边形是矩形．(2)连接，若，，求的长．
23．（10分）第十九届届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）：
调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况
调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（岁）、青年（岁）、中年（岁）、老年（60岁及以上）
调查方式 抽样调查
调查地点 小唯家所在小区
调查数据的收集、整理与描述
对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（ ） B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（ ） C．知道什么是新能源汽车，有一些体验经历（ ） D．非常了解，我是新能源汽车车主（ ）
对新能源汽车了解情况统计表 了解程度ABCD少年20401400青年10a50200中年1060160b老年60607010
调查结论
请根据以上调查报告，解答下列问题：(1)统计表中____，____，本次抽样调查的总人数是____人；
(2)若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主；
(3)随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，小唯在两个月后对本次调查中的青年和中年群体再次进行了调查，发现青年和中年群体的新能源汽车车主分别为220人和80人，请问经过两个月后，这两个群体中哪个群体的新能源汽车车主增长率更高（结果精确到）？
(4)请写出一条关于你对新能源汽车的了解。
24．（10分）综合实践．
通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位．
我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解．
(1)多项式因式分解结果为__________；(2)多项式因式分解结果为__________；
(3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解．
25．（10分）综合与实践：
问题情境：图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知， ，连接．
猜想验证：（1）如图1，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
探索发现：（2）如图2，当时，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：（3）如图3，当时，求的面积．
26．（12分）菱形中，，为边，上的点，，相交于点．
(1)如图，若，，求证：；(2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论；(3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵必然事件是一定会发生的事件，打开电视时不一定正在播放《新闻联播》，
∴A选项错误；
∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个，得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件，∴B选项正确；
∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温的变化情况，适宜用折线统计图，∴C选项错误；
∵全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽样调查，∴D选项错误．
2．C
，∴，故A分解彻底，不符合；
，故B分解彻底，不符合；
，但还可继续分解为，故C分解不彻底，符合；
，故D分解不彻底，不符合，故选：C．
3．C
∵A选项，平行四边形的基本性质是对角线互相平分，∴A说法正确；
∵B选项，菱形的性质包含每一条对角线平分一组对角，∴B说法正确；
∵C选项，矩形的对角线性质是相等且互相平分，不互相垂直，∴C说法错误；
∵D选项，正方形同时具备矩形和菱形的对角线性质，即对角线相等、互相垂直且平分，∴D说法正确．
4．D
解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为．
5．D
解：选项A：，含有因式；
选项B：，含有因式；选项C：，含有因式；
选项D：，不含有因式；故选：D．
6．B
解：A、由扇形统计图可知，周岁人群理财人数占比为，在所有年龄段中占比最大，故该选项推断正确；
B、设理财总人数为， 则周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：； 周岁人群理财总费用为：.，， 周岁人群理财总费用最少，故该选项推断错误；
C、由条形统计图可知，选择B理财产品的人数比例为，占比最高，说明B理财产品更受理财人青睐，故该选项推断正确；
D、由折线统计图可知，随着年龄段的增大，人均理财费用依次为3500元、4500元、5500元、6200元，呈上升趋势，故该选项推断正确．
7．B
解：四边形是菱形，，，
，是等边三角形，，
，，，，，
在中，．
8．A
解：∵；∴对比系数可得，
∵a、b为整数且；∴所有满足条件的整数对及对应k值为：
；；；
；；；
（交换a、b位置，k值不变，略）；∴k的可能值为，6不在其中；∴k的值不可能是6，故选A
9．D
A. 由折叠知，，故A正确；
B. 由折叠知，，且，
∴，故B正确；
C. ∵，∴，
∴,∴，
∵，∴，∵，AD=BC=4，∴，
∴，故C正确；
D. ∵，故D不正确．故选：D．
10．B
解：连接，∵在正方形中，对角线与交于点O，
∴，，，，，
∵点E，F分别为边，的中点，∴，∴，
又∵，即，∴四边形为平行四边形，
∵，∴四边形为矩形，
∴经过点，，∴为等腰直角三角形，
∵点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），
∴的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误，
若四边形可能为矩形，则有，，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，即为中点，∴，即，
∴，故矛盾，故四边形不可能为矩形，故说法错误；
过点作于点，过点作于点，
∵为等腰直角三角形，∴，
∴，，
∴，
∵，∴，∴，
故四边形的面积不变，说法正确．
二、填空题
11．
解：
故答案为：．
12．
解：由统计图可知，抽取的学生人数为（人），其中参与社会实践活动不低于小时的学生有（人），
∴该校九年级学生中参与社会实践活动的时间不低于小时的人数为（人）．
13．12
解：∵四边形是平行四边形，周长为32，
∴，∴，
∵，∴由勾股定理得，∴，
∵点E是的中点，点是的中点，∴是的中位线，，
∴，∴的周长为．
14．
解：由题意得：，整理得：，
∴，故答案为：．
15．9
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，即，∴．
16．6
如图，连接，取的中点F，连接，
∵，，，∴四边形是矩形．∴
∵，∴．在中，，
∴，∴，∵F是的中点，∴是的中位线，∴，
∴点M到的距离与点M到的距离相等均为4，∴与的面积相等，
和的面积之和即为的面积，∴，解得：．
17．45
解：∵两个正整数m，n满足，∴或或或或，…，
当时，则，∴，得到的“智慧优数”为8，12，16，…；
当时，则，∴，得到的“智慧优数”为15，21，27，…；
当时，则，∴，得到的“智慧优数”为24，32，…；
当时，则，∴，得到的“智慧优数”为35，45，…；
当时，则，∴，得到的“智慧优数”为48，60，…；…，
把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…，
故第10个“智慧优数”是45，故答案为：45．
18．①②③④
解：过E作于点M、于点N，作于H，
∵四边形是正方形，平分
、故①正确；
、、，、四边形是平行四边形
、四边形是正方形，、
、
，即故②正确；
由②可知，，
故③正确；
如图，延长至H，使，连接，，
、
、
当点G、A、H三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
的最小值为，故④正确，故答案为：①②③④．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）解：根据题意得：（个），所以，盒子里白球有5个；
（3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
21．（1）解：
（2）解：
22．（1）解：∵四边形为菱形，、为角平分线，
∴，，，∴，
∵，，∴四边形为平行四边形，
又∵，∴四边形为矩形．
（2）解：∵，，，，∴，，
∵，由勾股定理得，
∵四边形为矩形，∴，故的长为．
23．（1）解：由题意可得：，，
本次抽样调查的总人数是（人）；
（2）解：（人），估计该小区青年人中有人是新能源汽车车主；
（3）解：青年群体的新能源汽车车主增长率为，
中年群体的新能源汽车车主增长率为，
∵，∴中年群体的新能源汽车车主增长率更高；
（4）解：新能源汽车主要依靠电力驱动，减少了对传统燃油的依赖，有助于降低空气污染．
24．（1）解：，故答案为：；
（2）解：设，
则原式，
故答案为：；
（3）解：∵
∴
（
25．解：（1） ；理由如下：
四边形是平行四边形，，，，
在 AFO与中，，，；
（2）；理由如下：，，
四边形是平行四边形，，，，
又，，，，
，，，；
（3），，，，
四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，
，由（1）得：，，由（）得：，
，，
26．（1）解：（1）四边形是菱形，，
菱形是正方形，，，，，
，，
，；
（2）解：；
证明如下：过作交的延长线于，过作于，如图，
，，，
，，，
，，；
（3）解：连接，过作交于，交于，连接，如图，
由（1）知，又为的中点，是的垂直平分线，
，，，，
，，，
，四边形是矩形，，
四边形是正方形，是对角线，，
，，，，
，，
，，，，
，，．

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