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2026学年八年级数学下学期期中测试卷（第6-9章）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．自然现象中，“太阳从东方升起”是随机事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件是必然事件
C．“我市明天降雨的概率为”，表示我市明天一定降雨
D．小陈夺冠的概率是，表示小陈夺冠的可能性很大
3．为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（ ）
A．只抽取社区内60岁以上的老年居民
B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民
C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民
D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民
4．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列五个字：德、州、我、爱、游．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．游德州 B．我爱游 C．我爱德州 D．我游德州
5．下列说法中，不正确的是（ ）
A．对角线相互垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．四个角是直角的四边形是矩形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形
6．云南向来有“奉献、友爱、互助、进步”的美好传统，新时代志愿者精神在云岭大地薪火相传．某校积极响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿者精神，组织学生参与社区服务、非遗保护宣传、生态环保等本土特色志愿活动，为了更好地了解该校学生本学期参加本土特色志愿活动服务次数情况，随机从该校学生中抽取部分学生作为样本进行调查，收集、整理数据，绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，若该校共有3000名学生，则下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量为3000
B．所调查的学生本学期参加志愿活动服务次数为8次的占比为30%
C．所调查的学生本学期参加志愿活动服务次数为6次所对应扇形统计图的圆心角为70°
D．该校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，估计该校获“志愿者勋章”的学生人数为2100人
7．如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　）
A．32 B．40 C．48 D．60
8．对于任意整数n，都（ ）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除
C．能被8整除 D．能被5整除
9．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是( )
A． B．
C．四边形是平行四边形 D．
10．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上）
11．一个关于a的二项式，其中一项是，若这个二项式能因式分解，则另一项是____．（只写一种即可）
12．如图是两种品牌方便面销售增长率的折线统计图，则2025年品牌销售量__________品牌销售量．（填“高于”、“低于”或“不一定高于”）
13．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______．
14．2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 500 1000
正面朝上的频数 58 94 152 251 499
利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____．（精确到0.01）
15．三条边长分别为2，3，8的等腰梯形的周长是_____．
16．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以生成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中13，18，14分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131418．
（1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是_____；
（2）已知多项式，当分别取正整数时，用上述方法生成的密码的前两个因式码为4，14，则第三个因式码是_____．
17．如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____．
18．如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，其中，．将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，则的长为________．两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是________．
三、解答题（本题共8小题，共78分。）
19．（8分）分解因式：(1)；(2)；(3)
20．（8分）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表：
每批棵数 50 100 150 400 800 1000
成活的棵数 37 77 316 640 800
成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80
(1)完成上述表格：_____，_____；
(2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）．
(3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？
21．（10分）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了．
例如：分解因式．
解：将看成一个整体，令，则原式_______，将还原得，原式．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)请补全横线上的步骤：___________；(2)分解因式：．
22．（10分）为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级全体学生参加了以“格物致知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛，调查小组从中随机选取若干名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下图表：
成绩x分 频数/人 百分比
6
15
9
(1)求这次抽样调查的总人数；(2)先分别求出的值，再补全频数分布直方图；(3)调查小组将调查结果绘制成扇形统计图，若将成绩x在分的学生评为“科普达人”，求“科普达人”所在扇形圆心角的度数．
23．（10分）如图矩形，作，，垂足分别是，．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求四边形的面积．
24．（10分）在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了．
(1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式：
①分解因式：_____；②填空：（_____）；
(2)计算：_____；(3)若，，求的值．
25．（10分）阅读理解，并完成下列各题：
【教材回顾】(1)苏科版教材八下第九章《平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，与有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】(2)如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时．证明．
【拓展应用】(3)如图3，学校内有一块四边形的花圃，满足，，，花圃内铺设了一条小路，平分，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点A的距离的长 ．
26．（12分）探究：【证法回顾】
(1)证明：三角形中位线定理．
已知：是 ABC的中位线，求证：．
证明：添加辅助线，如图，在 ABC中，延长（点分别是的中点）至点，使得，连接．请继续完成证明过程；
【问题解决】(2)如图，在正方形中，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长；
【拓展研究】(3)如图，在四边形中，，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A．，不是因式分解，故不符合题意；
B．是因式分解，符合题意；
C．是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意；
D．中含有分式，不是因式分解，故不符合题意；故选：B．
2．D
解：A、自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件，故该选项不符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件是不可能事件，故该选项不符合题意；
C、“我市明天降雨的概率为”，表示我市明天很大概率是降雨，但不是一定降雨，故该选项不符合题意；
D、小陈夺冠的概率是，表示小陈夺冠的可能性很大，故该选项符合题意；故选：D
3．D
解：A、不具有普遍性，故本选项不符合题意；B、不具有普遍性，故本选项不符合题意；
C、不具有普遍性，故本选项不符合题意；D、该抽样调查的方式合适，故本选项符合题意；
4．C
解：∵
又∵对应“我”，对应“爱”，对应“德”，对应“州”，
∴结果呈现的密码信息是“我爱德州”．故选：C．
5．A
解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅对角线相互垂直的四边形不一定是菱形（例如筝形），∴A说法不正确．
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，∴B说法正确．
∵四个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，∴C说法正确．
∵有一组邻边相等的矩形是正方形，符合正方形的判定定理，∴D说法正确．
6．D
解：A：根据扇形统计图的占比及条形统计图对应的人数，
可知样本容量为，故错误；
B：根据扇形统计图的占比，可知所调查的学生参加志愿活动服务次数为8次的占比为，故错误；
C：根据扇形统计图可知，所调查的学生参加志愿活动服务次数为6次的占比为，
故所在扇形对应的圆心角为，故错误；
D：根据扇形统计图可知，所调查的学生参加志愿活动服务次数不少于7次（即7次，8次和9次）的占比为，
该校共有3000名学生，所以估计该校获“志愿者勋章”的学生人数为（人），故正确．
7．A
解：过点M作于点N，作交延长线于点E，
∵在平行四边形中，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，，∴，
∵M是的中点，∴，∴，∴，
∵，∴，∴是直角三角形，，
∵，∴，∴．
8．C
【详解】解：，
∵n为任意整数，，既能被2整除又能被4整除，
又∵、是连续整数，∴、必有一个是偶数，
∴能被8整除，即能被8整除，故选：C．
9．A
解：是的中点，是上的动点，与不一定垂直，故A错误；
四边形是平行四边形，，分别是，的中点，
，，且，，，，
在和中，，，，故B正确；
，，，
，四边形是平行四边形，故C正确；
∵∴
又∵∴四边形是平行四边形∴
又∵∴，故D正确．
10．A
解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，∴，，
∴是等边三角形，∴；
由旋转的性质可得，∴，
∴，∴，∴，∴点F在射线上运动，
∴由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时，
∵菱形的对角线交于点O，∴，∴，即的最小值为，故选：A。
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：若另一项可以为，则二项式为；或另一项可以为，
则二项式为．故答案为：（答案不唯一）．
12．不一定高于
解：虽然2025年增长率高于，但是不知道两者的基数，故无法确定销量高低．
因此2025年品牌销售量不一定高于品牌销售量．故答案为：不一定高于．
13．
解：由题意可得：，，∴，
∴，故答案为：．
14．0.50
解：根据试验获得的数据可知，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.50左右，
∴可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为0.50 ．故答案为：0.50 ．
15．
解：如图所示，在等腰梯形中，过点作腰的平行线，交于点．则四边形是平行四边形．在等腰梯形中，
（1）若腰长，则，．那么故不成立．
（2）若腰长，则，．那么．故不成立．
（3）若腰长，则，．符合三角形的两边之和大于第三边．
所以等腰梯形的周长．故答案为：．
16． 1014148 106
解：（1），
当，时，计算各因式：
，，，
因式码为：10、14、148，按从小到大顺序排列形成密码1014148；故答案为：1014148；
（2）因式码为、、，∵、为正整数，∴，
∵前两个因式码为4和14，∴，解方程组得：，
∴第三个因式码为：．故答案为：106．
17．
解：连接，交于点，连接，过点作垂足分别为，延长，交于，
∵正方形，，
∴四边形是矩形，∴，
∵∠PED=∠PFD=90 ，∠EPD=∠EDP=45 ，，
则四边形为正方形，PE=PF,∠EPF=90 ，
，∴∠APE=∠QPF，
在和中 ，，
∵正方形；，为等腰直角三角形，
，，，
∵正方形，是中点，
，，在等腰三角形中，
∵PF CQ，∴CF=FQ=3，∵是中点，是中点，OM=CQ=CF=3．
18． 2
解：连接，，过点作，点M如图，
根据题意可知，，∴四边形为矩形，∴，
在平行四边形中，，，且，
∵，，∴，
在与中，，∴，∴；
∵，，∴，∵，，
在与中，，∴，∴，
设，∵，，在中，，
∵，，∴，∴，
在中，，即，解得，
∴，∴阴影部分的面积是．
三、解答题
19．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
20．（1）解：，；
（2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为，
所以这种树苗成活的概率估计值是，（精确到）；
（3）解：（棵），答：在相同条件下至少需要买棵树苗．
21．（1）解：，故答案为：；
（2）解：令，则原式
将还原，得原式．
22．（1）解：，所以这次抽样调查的总人数是50人；
（2）解：；；；补全频数分布直方图如下：
（3）解：“科普达人”所在扇形圆心角的度数为．
23．（1）证明：四边形是矩形，，，，
，，，，
∴ AEB≌ CFD（AAS），，四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，，，
，，的面积，
，，
，由（1）可知，，
，，
四边形是平行四边形，四边形的面积．
24．（1）解：①；故答案为：
②；故答案为：；
（2）解：
；故答案为：；
（3）解：由条件可知，∴，
∵，∴当时，；
当时，；故的值为．
25．（1）解：如图，；在正方形中，，
∵，∴，∴，∴；
（2）证明：如图，取中点H，连接，
在菱形中，，即，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，
∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（3）解： 如图，延长到点H，使，
∵平分，∴，
∴是等边三角形，∴ ，
∵，∴，
∴，∴，∴，
在中，，∴，∴．
26．（1）解：如图，延长到点，使得，连接，
∵，∴，∴，，∴，
∵，∴，∴四边形是平行四边形，
∴，，∴，；
（2）解：如图，取的中点，连接，延长交于点，
∵四边形是正方形，∴，
∵，，∴，∴，，
∵是的中点，∴是的中位线，∴，
∵， ∴；
（3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接，
∵，∴，∴，，
过点作，交的延长线于点，连接，
∵，∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，∴，
∵是的中位线，∴，∵，∴．

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