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2026学年八年级数学下学期期中自测卷（第6-9章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．为了解某九年一贯制学校（学生人数大于1000人）学生每天的睡眠时间，下列抽样的方式比较合理的是（ ）
A．在该校餐厅随机抽取10名学生进行调查
B．在该校门口随机抽取10名学生进行调查
C．在该校六年级随机抽取50名学生进行调查
D．在全校学生中抽取学号尾数为2和9的学生进行调查
2．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图（小长方形的高度按照从高到低的顺序排列），条形统计图被弄脏了一部分．若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是（ ）
A．蓝 B．绿 C．黄 D．红
4．如图，将平行四边形沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F．若，，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．4
7．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？( )
A．12 B．16 C．24 D．25
8．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
9．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．5
10．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算：________．
12．【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为____．
13．已知，则_______．
14．图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______．
15．如图，在四边形中，，，，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长为___________．
16．在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则_______．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
18．（6分）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
(1)运用配方法将多项式进行因式分解：；
(2)试说明多项式的值总是一个正数；
(3)当________，多项式有最小值，且最小值为________．
19．（8分）为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办了名为“弘扬航天精神，共绘航天梦想”的知识竞赛，并从全校1200名学生中随机抽取了部分学生的成绩，绘制成尚未完成的频数分布表和频数分布直方图．
分组 频数 百分比
b
合计 c
根据图表信息，解答下列问题：
(1)______；______；______．
(2)补全频数分布直方图．
(3)请估计该校成绩达到80分以上的人数．
20．（8分）小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方．
例如4和5，有．
(1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据．
设m，n是连续的正整数，且，
可得；
所以 （______）
（______）
所以一定是正数n的平方．
(2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明．
21．（10分）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏：
①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个；
②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中；
③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”；
④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜．
通过游戏经验的积累，小颖发现：
(1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率；
(2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中．
22．（10分）如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求矩形的面积．
23．（12分）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ；
(2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长．
24．（12分）问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图②，若，求证：
(3)若，，求DE的长．
参考答案
一、选择题
1．D
解：仅在餐厅抽取10名学生，样本量过小且范围局限，不能代表全校学生，
故A不合理．
在校门口抽取10名学生，样本量过小，不具备广泛性，
故B不合理．
仅抽取六年级学生，无法代表其他年级学生的情况，不具备代表性，
故C不合理．
在全校抽取学号尾数为2和9的学生，覆盖了全校各年级、各班级的学生，样本具有广泛性和代表性，
故D合理，
故选：D．
2．A
解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解；
②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解；
③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解；
④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为；
∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个．
3．D
解：由扇形统计图可知：最喜欢的颜色的人数最少的是蓝色，有5人，占，
∴被调查的同学总人数为：（人），
∴喜欢红色人数为：（人），
喜欢红色和蓝色的人数为：（人），
喜欢黄色和绿色的人数为：（人），
由条形图知其中一种颜色是16人，则另一种颜色15人，
∵条形统计图中小长方形的高度按照从高到低的顺序排列，
∴丙代表的颜色的人数为14人，
∴丙代表的颜色为红色．
故选：D．
4．D
解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，，，，
∴，
设，
∴，
由翻折性质得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵
∴，
在和中，
，
，故选项C正确，不符合题意；
∵，
与不垂直，故选项D不正确，符合题意，
故选：D．
5．D
解：∵ ，是整数，
∴，，为三个连续整数，其中必有2的倍数和3的倍数，
∴能被乘积一定能被整除，
∴整数的最大值为．
故选：D．
6．D
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴．
∵F是的中点，
∴OF是的中位线，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：D．
7．D
如下图，对网格编号
情况一：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在MG上，有：
ABMI、ABQO、ABIG、AFGI、AFOQ、AFIM共6个
情况二：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在PH上，有：
AEHV、AEVN、AENZ、AEZP、ACPZ、ACZN、ACNV、ACVH共8个
情况三：其他符合条件平行四边形有：
AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVN、AOKN、AQSN共11种
故共有：6+8+11=25种
故答案为：25
8．B
解：如图所示，连接交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵菱形的面积为30，
∴，即；
∵点分别为的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
∴．
故选：B．
9．A
解：由题意知，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
∵点是的中点，点是四边形边上的动点，
∴当垂直于菱形的一边时，有最小值，
过点作于点，
当点为的中点时，连接，
则为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
∴，
解得：，
∴，
即的最小值是．
10．B
解：，，，
是直角三角形，
，故①正确；
，都是等边三角形
和都是等边三角形
，，
在与中
，故②正确；
同理可证：
四边形是平行四边形，故③正确；
，故④错误；
过作于，如图所示：

则
四边形是平行四边形
，故⑤错误．
综上所述，正确的是①②③，共3个．
故选：B
二、填空题
11．
解：原式=
，
故答案为：．
12．35
解：据题意可得：小球落在该地形图内的概率约为0.35，
设该地形图的面积为 ，
则，
解得：，
则估计该地形图的面积大约为，
故答案为：35．
13．32
解：，
，
，
∴，
∴，
∴.
14．
解：设，，
则，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
当时，如图，
则，
过点C作于点H，
∴，则，
∴在中，，
，
∵，，
∴．
当时，如图，
则，
过点作于点，
∴，则，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴．
∵O，E两点的距离减小了，
即，
∴，
∴，
∴点C的竖直高度上升．
故答案为：
15．
解：如图，过作的平行线，延长交平行线于
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
16．
解：延长、交于H，连接，

，，
四边形为平行四边形，
，平分，
，，，
为等腰三角形，
，
平行四边形为菱形，
，且均为等边三角形，
，，
，
，
为等腰三角形，
又四边形为平行四边形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）证明： ，
∴，，
在和中，
；
（2）解：在中，，
，
平分，
，
，
，
．
18．（1）解：
（2）解：
，
即多项式的值总是一个正数；
（3）解：
∵，且当时，取得最小值，为0，
∴当，多项式有最小值，且最小值为．
故答案为：；
19．（1）解：（名），
即，
，
即，，，
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）解：（人），
答：估计该校成绩达到分以上的人数为人．
20．（1）解：设m，n是连续的正整数，且，
可得；
所以（乘法分配律）
（等量代换）
，
所以一定是正数n的平方．
故答案为：乘法分配律；等量代换
（2）证明：设，m、n是连续的正整数，
所以，
所以，
所以．
所以一定是正数m的平方．
21．（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，
她下一次转出的数字大于的概率为；
（2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为，
转盘上小于的数字有个，
小颖下一次转出的数字小于的概率为，
，
小颖下一次转出的数字小于的概率大，
在十位上应该填入一个较大的数，
数字应该放在十位上．
22．（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
∴．
23．（1）解：（秒），（秒）．
当运动时间为t（）时，，，，，
根据题意得：，
解得：t，
∴当四边形是矩形时，t的值为．
故答案为：；
（2）解：当四边形为菱形时，，
∴，
解得：，
∴，
∴ ．
答：的长为．
24．（1）解：四边形是正方形．理由如下：
是由绕点B沿顺时针方向旋转得到的，，
，，
又，
，
四边形是矩形．
由旋转的性质可知，，
四边形是正方形．
（2）证明：如图，过点D作于点，
，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
由旋转的性质可知，，
∵四边形是正方形，
，
，
．
（3）解：四边形是正方形，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得（负值已舍），
，
，
如图，过点D作于点，
根据（2）可知，
，，
，
在中，由勾股定理，得．

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