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第21章《四边形》单元检测卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
4．如图，，，，则点C到的距离为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
5．如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E，F，G，H刚好在其院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
7．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得两边中点的距离，则，两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．5
9．如图，已知，按照以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于两点，连接；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③连接并延长至点；④分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点；⑤作直线分别交于点，连接．根据作图步骤，对四边形的形状判断最准确的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），D对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：① APE≌ AME；②PM＋PN＝AC；③PE2＋PF2＝PO2；④BN＝PF．其中正确结论的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．从七边形的一个顶点出发，可以画出所有对角线的条数是_____条．
12．如图，在中，，是的中点，，则的长为____________．
13．如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连结和，并分别找出它们的中点M、N．若测得，则A、B两点的距离为____．
14．如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是________．（填序号）
15．如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______．
16．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 _______°．
17．数学课上老师出示了下面一道题，请同学们据此补全结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分．
如图，在菱形中，，点、分别是、的中点，相交于点，连接，交于点． 请补全下列结论： ① ，② ，③ ，④ ，⑤ ．
小明补全的结论为：①，②，③，④，⑤．如果你给小明批卷，小明可得________分．
18．6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为____________________ ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形 和正六边形，和相交于点．求．
20．如图，在四边形中，对角线交于点，过点作交延长线于点，求证：四边形是平行四边形．
21．已知：如图，在 ABC中，，D，E，F分别是的中点．求证：．
22．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
23．如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为．
(1)当为多少时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
(2)当为多少时，以点为顶点的四边形是矩形？
24．【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接、，如图②．求证：四边形是平行四边形．
25．解答下列各题：
(1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由．
26．综合与实践．
问题背景：平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用．例如图在建筑装饰中，常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果．为了更多地了解平面密铺，七（2）班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题．
问题一：
(1) “对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是为”，其中体现的数学思想主要是______；
A．整体思想
B．转化思想
C．方程思想
D．类比思想
(2)填表：
正多边形的边数
正多边形每个内角的度数 ______ ______ ______
问题二
(3)给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；用上述正多边形中的一种能够铺满地面的是______；（填序号）
(4)用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是______；
A．内角都是整十数度数
B．边数都是的整数倍
C．内角整除
D．内角整除
问题三
(5)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有个正三角形个正六边形，请探究之间满足的关系式，并说明理由；
(6)图是图中的一个基本图形，若，，则______．
参考答案
一、选择题
1．D
解：由题意得，
∴．
2．C
解：A、∵，，
∴一组对边平行，另一组对边不平行，
∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵，，
∴一组对边平行，另一组对边相等，
∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴一组对边平行且相等，
∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意；
D、∵，
∴一组对边相等，
∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意．
3．D
解：∵在中，，点D是边的中点，，
∴，
∴，
故选：D
4．A
解：∵，，
∴，
∴点C到的距离为，
故选：A．
5．B
解：延长与直线交于点，
∵正六边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．A
解：如图，连接，，
∵E、F、G、H分别是菱形各边的中点，
∴由三角形中位线定理得，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，即，
∴平行四边形是矩形．
7．D
解：∵点，是， 的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，
故选：D．
8．A
解：由题意知，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
∵点是的中点，点是四边形边上的动点，
∴当垂直于菱形的一边时，有最小值，
过点作于点，
当点为的中点时，连接，
则为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
∴，
解得：，
∴，
即的最小值是．
9．C
解：如图，设与交于点，
由作图可知，平分，垂直平分，
∴，，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵不一定是直角，
∴菱形不一定是正方形，
综上，四边形是菱形．
10．C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
∵在△APE和△AME中，
∵，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
又∵在△APE中，AE＝PE，
∴PE＋PF＝AE+OE=OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM＋PN＝AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2＋PF2＝PO2，
∴PE2＋PF2＝PO2，故③正确．
∵∠CDB=45°，PF⊥BD，
∴△BNF是等腰直角三角形，
∴BN=NF，
∵FP＝FN，
∴BN＝PF．
故④错误．
综上所述：正确的有3个．
故选：C．
二、填空题
11．4
解：七边形有7个顶点，从一个顶点出发，除去自身和两个相邻顶点，剩余4个顶点，每个顶点连接一条对角线，
因此可以画出4条对角线．
故答案为：4．
12．4
解：∵，是的中点，，
∴，
故答案为：4．
13．
解：、分别是和的中点，
是 ABC的中位线，
．
故答案为：．
14．①③
解：∵直线，
∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确；
∵，的长随点P的移动而变化，
∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误；
∵点到直线的距离不变，的长度不变，
∴的面积不会随点的移动而变化，故③正确；
综上，不会随点的移动而变化的是①③．
故答案为：①③．
15．7
解：如图，连接、两点，过点作于点．
∵，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∴，
∴，
同理，
∴．
∵，，
∴，
故阴影部分的面积．
故答案为：7．
16．
解：∵由折叠的性质可得，
∴点恰好在同一条直线上，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
17．70
解：∵菱形中，
∴，
∵，
∴，
∴ ABC和是等边三角形，
∴，，
∵点E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，①正确；
∵，，
∴，
同理，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，②错误；
，③正确；
∵，
∴，
∴，④正确；
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，⑤正确；
∴小明得分为：分，
故答案为：70．
18．
解：∵，，四边形是正方形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵是的中点，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．解：在正五边形中，
每个内角的度数为，
∴，
同理可得正六边形每个内角的度数为，
∴，，
∴，
∴．
20．证明：，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形．
21．证明：，E是的中点，
．
，F分别是的中点，
是 ABC的中位线，
，
．
22．（1）证明：连接，
垂直平分，
，
四边形为菱形，
和关于对角线对称，
，
；
（2）解：连接，
和分别是和的中点，点为中点，
，即
当点与菱形对角线交点重合时，最小，
即此时最小，
菱形边长为，，
为等边三角形，，
即的最小值为．
23．（1）解：当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
由题意得，
则．
要使以点为顶点的四边形是平行四边形，
则，
，
解得（符合题意），
答：当时，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（2）解：当时，四边形是矩形，
，解得（符合题意）．
答：当时，以点为顶点的四边形是矩形．
24．解：[探究发现]
四边形是菱形，理由如下：
将△沿翻折得到△，
，，
，
，
四边形是菱形；
[探究证明]
证明：如图：
将△沿翻折得到△，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
为边的中点，为边的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
四边形是平行四边形．
25．（1）解：，理由：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
；
（2）解：，理由：
四边形和四边形是正方形，
，，，
∠GBE -∠ABE=∠ABC -∠ABE，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：，与所在直线所夹锐角的度数为，理由：
四边形和四边形是菱形，
，，
∵∠GBE=∠ABC，
∴∠GBE -∠ABE=∠ABC -∠ABE，
，
在和中，
，
，
，，
如图，延长交的延长线于点，交于点，
∵∠ATH=∠CTB,∠H+∠ATH+∠GAB=180 ，∠ABC+∠CTB+∠ECB=180 ,
∴∠H=∠ABC=60 ，
与所在直线所夹锐角的度数为．
26．（1）解：∵对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，且每个三角形的内角和为，
∴这个三角形的内角的总和为，
∴这个n边形的内角和为，这体现的数学思想主要是转化思想；
（2）解：正五边形的内角和为，
∴正五边形的每个内角的度数为；
正六边形的内角和为，
∴正六边形的每个内角的度数为；
正n边形的内角和为，
∴正n边形的每个内角的度数为；
填表如下：
填表：
正多边形的边数
正多边形每个内角的度数
（3）解：由（2）可知，正三角形的每个内角的度数为，正五边形的每个内角的度数为，正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为，
∵，，，，
∴用上述正多边形中的一种能够铺满地面的是正三角形和正六边形；
（4）解：由题意得，用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是内角整除；
（5）解：理由如下：
由题意得
即
（6）解：由题意得，，
∵，，
∴，
∴．

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