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分课时教学设计
第八课时《21.2.3 三角形的中位线》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是平行四边形知识的延伸与拓展，是三角形的重要性质定理，承接平行四边形的性质与判定，是连接三角形与平行四边形的关键纽带．本节课通过定义三角形中位线，探究并证明中位线定理，既是对平行四边形判定的综合运用，也是对三角形线段关系的深度拓展，为后续学习相似三角形、梯形中位线、几何证明与实际测量奠定重要基础．通过本节课的学习，学生能进一步掌握“观察—猜想—证明—应用”的几何探究方法，深化对转化思想的理解，提升逻辑推理与几何应用能力，完善平面几何知识体系，在初中几何教学中起到承上启下、巩固提升的重要作用，同时培养学生的直观想象与数学建模核心素养．
学习者分析 学生已掌握平行四边形的性质与判定、全等三角形等知识，具备一定的几何推理与动手探究能力，对三角形的中线等概念有基础认知．但学生易混淆三角形中位线与中线的概念，对中位线定理的证明思路（构造平行四边形）理解不够透彻，在运用定理解决线段平行、长度计算及复杂图形问题时，难以快速提炼中位线模型，部分学生证明步骤不规范，需要教师通过对比辨析、引导探究，帮助学生深化理解，提升知识的综合应用能力．
教学目标 1．理解三角形中位线的定义； 2．掌握三角形中位线定理； 3．能运用三角形中位线定理解决线段平行与长度计算问题．
教学重点 理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理，并能运用定理解决线段平行与长度计算问题．
教学难点 通过构造平行四边形证明三角形中位线定理，灵活运用定理解决复杂几何问题与实际应用问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解三角形中位线的定义； 2．掌握三角形中位线定理； 3．能运用三角形中位线定理解决线段平行与长度计算问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：平行四边形的性质和判定有哪些？ 预设： 性质： 平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等． 平行四边形的对角线互相平分． 判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 导言：前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题．下面利用平行四边形研究三角形的有关问题．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习平行四边形的性质和判定，为应用平行四边形相关知识探究三角形中位线做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 指出：由D、E 分别是 AB、AC 的中点可得DE 为△ABC 的中位线. 反之也成立. 追问：一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？ 预设：一个三角形有三条中位线. 如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF. 相同点：都是与中点有关的线段. 不同点： 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 探究：观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 猜想：DE//BC，DE＝BC． 已知：如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE//BC，且DE＝BC． 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半． 如图所示，将DE延长一倍（得到点F）后，可以将证明DE//BC，且DE＝BC转化为证明DFBC，而这只要证明以B，C，F，D为顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形．由于DE＝EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明． 证明：如图所示，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF． ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴CFDA． 又D是AB的中点， ∴CFBD． ∴四边形DBCF是平行四边形． ∴DFBC． 又DE＝DF， ∴DE//BC，且DE＝BC． 归纳：三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 符号语言： 在△ABC中， ∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE//BC，DE =BC． 例1：如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 证明：∵点D、点E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴. ∵， ∴． 例2：求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． 已知：如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形． 证明：连接AC． ∵AH＝HD，CG＝GD， ∴HG//AC，且HG＝AC． 同理EF//AC，且EF＝AC． ∴HGEF．学生活动3： 学生认真听老师讲解三角形中位线的定义后，小组合作完成教材中的探究和思考，并班内交流，然后认真听老师的点评和讲解 活动意图说明： 引导学生经历观察、猜想、证明的过程，推导三角形中位线定理，渗透转化思想，发展逻辑推理能力；通过例题，强化定理应用，培养学生构造辅助线、运用定理解决几何问题的能力，落实核心素养环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：21.2.3 三角形的中位线 一、定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 二、定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 2．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 答案：8 3．如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 选做题： 4．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，四边形中，． (1)若，求的度数 (2)若M，N，E，F分别是，，，的中点，求证：． 解：（1）∵， ∴， ∴； （2）连接 又∵分别是的中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（ ） A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米 答案：D 2．如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为_______． 答案：10 3．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形， ∵， ∴． 选做题： 4．如图，在中，，，为斜边的中点，延长至点，使，连接，为的中点，连接，则的长为_________． 答案： 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 证明：（1），分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． （2）连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为．
教学反思 本节课通过探究、证明与应用，多数学生能掌握中位线的定义与定理．但部分学生易混淆中位线与中线，对定理的证明思路理解不透彻，运用定理解决复杂问题时思路不清晰．后续需加强概念对比辨析，强化定理推导的过程引导，增加变式练习，规范证明书写，提升学生的逻辑推理与知识迁移能力，落实核心素养培养．
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第二十一章 四边形
21.2.3 三角形的中位线
1．理解三角形中位线的定义；
2．掌握三角形中位线定理；
3．能运用三角形中位线定理解决线段平行与长度计算问题．
平行四边形的性质和判定有哪些？
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
平行四边形的对角线互相平分．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
性质
判定
前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题．下面利用平行四边形研究三角形的有关问题．
如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
D、E 分别是 AB、AC 的中点
DE 为△ABC 的中位线
中点
中点
如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？
如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
中点
一个三角形有三条中位线.
如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF.
中点
中点
如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
中点
中点
中点
不同点：
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
相同点：都是与中点有关的线段.
探究：观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
猜想：DE//BC，DE＝BC．
已知：如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE//BC，且DE＝BC．
分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．
已知：如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE//BC，且DE＝BC．
分析：如图所示，将DE延长一倍（得到点F）后，可以将证明DE//BC，且DE＝BC转化为证明DF BC，而这只要证明以B，C，F，D为顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四
边形．由于DE＝EF，E是AC的中点，所以四
边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线
互相平分的四边形是平行四边形”证明．
证明：如图所示，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴CF DA．
又D是AB的中点，
∴CF BD．
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF BC．
又DE＝DF，
∴DE//BC，且DE＝BC．
已知：如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE//BC，且DE＝BC．
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
符号语言：
在△ABC中，
∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE//BC，DE =BC．
证明：∵点D、点E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴.
∵，
∴．
例2：求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形．
已知：如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形．
例2：求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形．
已知：如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC．
∵AH＝HD，CG＝GD，
∴HG//AC，且HG＝AC．
同理EF//AC，且EF＝AC．
∴HG EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形．
【知识技能类练习】必做题：
C
【知识技能类练习】必做题：
8
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
C
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
三角形的中位线
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
【知识技能类作业】必做题：
D
【知识技能类作业】必做题：
10
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 21.2.3 三角形的中位线 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解三角形中位线的定义； 2．掌握三角形中位线定理； 3．能运用三角形中位线定理解决线段平行与长度计算问题．
重点 理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理，并能运用定理解决线段平行与长度计算问题．
难点 通过构造平行四边形证明三角形中位线定理，灵活运用定理解决复杂几何问题与实际应用问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：平行四边形的性质和判定有哪些？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助平行四边形研究三角形的有关问题．。 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 由D、E 分别是 AB、AC 的中点可得DE 为△ABC 的中位线. 反之也成立. 想一想：一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？ 探究：观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 猜想：DE//____，DE＝． 已知：如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE//BC，且DE＝BC． 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半． 如图所示，将DE延长一倍（得到点F）后，可以将证明DE//BC，且DE＝BC转化为证明DFBC，而这只要证明以B，C，F，D为顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形．由于DE＝EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明． 归纳：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的_______，并且等于第三边的________． 符号语言： 在△ABC中， ∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE//____，DE =． 例1：如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 例2：求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． 已知：如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 3．如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 选做题： 4．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，四边形中，． (1)若，求的度数 (2)若M，N，E，F分别是，，，的中点，求证：．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（ ） A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米 2．如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为_______． 3．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 选做题： 4．如图，在中，，，为斜边的中点，延长至点，使，连接，为的中点，连接，则的长为_________． 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离．
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