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2.1 圆柱和圆锥的认识
学习重难点 学习目标
1、掌握圆柱和圆锥的特征。(重点) 2、理解圆锥的高的含义。(难点) 1、在观察、操作、交流等活动中认识圆柱和圆锥，掌握圆柱和圆锥的基本特征，增强空间观念。 2、通过观察，认识圆柱、圆锥的底面、侧面和高。 3、体会立体图形与生活的联系，感受立体图形的学习价值，提高学习数学的兴趣坚定学好数学的信心。
知识点一圆柱的基本特征
1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。
知识点二圆锥的基本特征
1、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
知识点三圆柱和圆锥的特征比较
题型一圆柱和圆锥的特征
1．圆柱和圆锥分别有什么特点？
圆柱 圆锥
底面 （ ） （ ）
侧面 （ ） （ ）
高 （ ） （ ）
【分析】圆柱的上、下两个面叫作底面，围成圆柱的由面叫作侧面，两个底面之间的距离叫作高；圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高；据此解答。
【解答】填表如下：
圆柱 圆锥
底面 两个底面完全相同，都是圆形 一个底面，是圆形
侧面 曲面，沿高剪开，展开后是长方形 曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形
高 两个底面之间的距离，有无数条 顶点到底面圆心的距离，只有一条
2．下图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状。从上面看到的形状是（ ），从左面看到的形状是（ ）。
【分析】单独观察圆柱时，从侧面看到是一个长方形或正方形，从上下面看到的两个相同的圆形；
单独观察圆锥时，从侧面看到是一个三角形，从上面看到一个有圆心的圆形，从下面看到一个圆形；
题中，圆锥在左，圆柱在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个有圆心的圆形，右边是一个无圆心的圆形；
从左面看，圆锥挡住了圆柱的一部分，可以看到三角形和长方形重合。据此解答
【解答】由分析可知：
等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状。从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。
3．一个直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米（如下图），绕着一条直角边AB旋转一周，可以得到一个圆锥体，这个圆锥体的底面半径是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
【分析】根据圆锥体的特征可知，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周，得到一个圆锥体，3厘米的直角边就是圆锥体的高，4厘米的直角边是圆锥体的底面半径。
【解答】由分析可知，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周，可以得到一个圆锥体，圆锥体的底面半径是4厘米，高是3厘米。
4．下面的图形，是圆柱的在下面画“√”，是圆锥的在下面画“”。
【分析】圆柱是由长方形绕长或宽旋转360°得到的立方体，由三个面围成分别是上底面、下底面、侧面。上、下底面是两个等圆。圆柱上下底面之间的距离叫做高。一个圆柱有无数条高，所有的高都相等。圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转360°得到的立方体，底面是一个圆，侧面是一个曲面，与圆柱不同的是圆锥只有一条高。据此解答即可。
【解答】根据分析得到
题型二运用圆柱的特征解决问题
5．要用一个长方体纸箱包装12瓶圆柱形橙汁罐，每个橙汁罐的底面直径是6厘米，高是10厘米，纸箱的长、宽、高各可以是多少？请画出纸箱草图，并说明怎样放置橙汁罐。
【分析】12瓶橙汁罐如果摆成两层,那么每层6瓶,放起来就比较高,容易倒；因此建议直接摆成一层,一层的话,那么最好的就是摆成3行4列,长是4瓶橙汁罐的直径,宽是3瓶橙汁罐的直径,高就是橙汁罐的高；因此纸箱的长24cm、宽18cm、高10cm；根据长宽高画出长方体纸箱。
【解答】6×4=24（厘米）
6×3=18（厘米）
10×1=10（厘米）
沿着宽摆3行橙汁罐，沿着长摆4列橙汁罐。
6．用丝带捆扎下面的圆柱形蛋糕盒，打结处正好是底面圆心，打结用去32厘米长的丝带，捆扎这个蛋糕盒至少用去多少厘米丝带？
【分析】看图，丝带长包括4条底面直径、4条高和打结处的长度，将这三部分的长度相加求出捆扎这个蛋糕盒至少用去多少厘米丝带。
【解答】
20×4＋15×4＋32
＝80＋60＋32
＝172（厘米）
答：捆扎这个蛋糕盒至少用去172厘米丝带。
7．如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜卷的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.02厘米，则薄膜展开后的长度是多少米？
【分析】由题图可知，缠绕在一起的塑料薄膜是空心圆柱形，已知底面外直径是20cm，底面内直径是8cm，高是100cm，根据圆柱的体积公式即可求出塑料薄膜的体积。塑料薄膜卷展开后为长方体，它的厚度即是长方体的高，空心圆柱的高即是长方体的宽，要求塑料薄膜卷展开后的长度，就是求长方体的长。因为塑料薄膜卷展开前、后的体积是不变的，所以根据“长方体的长＝长方体的体积÷长方体的宽÷长方体的高”就可以求出塑料薄膜卷展开后的长度。
【解答】20÷2＝10（厘米）
8÷2＝4（厘米）
塑料薄膜的体积：（即展开后长方体的体积）
3.14×（102－42）×100
＝3.14×（100－16）×100
＝3.14×84×100
＝263.76×100
＝26376（立方厘米）
26376÷100÷0.02
＝263.76÷0.02
＝13188（厘米）
13188厘米＝131.88米
答：薄膜展开后的长度是131.88米。
【点评】本题考查了圆柱体和长方体认识。了解薄膜展开后的长方体的宽就是圆柱的高100厘米，长方体的高就是薄膜的厚度0.02厘米，再利用长方体的体积除以宽除以高得薄膜展开后的长是解答本题的关键。
8．琳琳刚刚学习了圆柱的体积，就对家里的圆柱体卷纸做起了研究：她想知道卷纸拉开究竟有多长。于是用工具测是了一些数据，她在计算过程中，还发现有一个数据是可以不用测量的。
（1）不用测量的这个数据是（ ）。
（2）你来算算看，卷纸拉开后长度是多少米？
【分析】（1）计算卷纸拉开究竟有多长，不需要知道卷纸的高，即不用测量的数据是卷纸的高。
（2）卷纸拉开底面由圆转化成长方形，长方形的面积＝底面积，长方形的宽＝卷纸的厚度，长方形的长就是卷纸拉开后的长度，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出底面积，即长方形面积，根据长方形的长＝面积÷宽，即可求出卷纸拉开后的长度。
【解答】（1）不用测量的这个数据是卷纸的高。
（2）6÷2＝3（厘米）
（厘米）
答：卷纸拉开后长度是14.13米。
题型三运用圆锥的特征解决问题
9．将一块底面周长是12.56厘米、高是6厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半（如图），切面是什么图形？每个切面的面积是多少平方厘米？
【分析】当把一个圆锥分成形状、大小完全相同的两部分时，增加2个等腰三角形的面，等腰三角形的底和高分别是圆锥的底面直径和高。
三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据进行解答。
【解答】12.56÷3.14＝4（厘米）
4×6÷2＝12（平方厘米）
答：切面是等腰三角形，每个切面的面积是12平方厘米。
10．如今自带帐篷旅游越来越受人们欢迎。如图，一种近似圆锥形帐篷的底面直径是5米，高是2.4米。这种圆锥形帐篷占地面积是多少？
【分析】求圆锥的占地面积，就是求直径是5米的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，代入数据，即可解答。
【解答】3.14×（5÷2）2
＝3.14×2.52
＝19.625（平方米）
这种圆锥形帐篷占地面积是19.625平方米。
【点评】熟练掌握圆的面积公式是解题的关键。
11．一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米？
【分析】沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是圆锥底面直径，高是圆锥的高，也就是说底是4厘米，高是7厘米，所以每个切面的面积是14平方厘米。
【解答】2×2×7÷2＝14（平方厘米）
答：每个切面的面积是14平方厘米。
【点评】关键是熟悉圆锥特征，确定切面图形的形状。
一、选择题
1．下列图形中，以直线为轴旋转一圈，可以形成圆柱的是（ ）
A． B． C．
2．用一个半径是2厘米半圆做圆锥的侧面（接头处不记），做出的圆锥底面圆的半径为（ ）。
A．6厘米 B．3厘米 C．1厘米 D．无法计算
3．在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥型（如图）。如果圆的半径为r，扇形的半径为R，那么R是r的（ ）。
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．6倍
4．若从一个圆柱的正面看到的是正方形，则这个圆柱底面直径与高的比是（ ）。
A．1∶π B．π∶1 C．1∶1
5．根据下图物体的相关数据，联系生活想象一下，它可能是（ ）。
A．电池 B．水桶 C．水杯
二、填空题
6．如图，一个圆锥形的甜筒，把它的包装纸沿一条直线撕开，是一个（ ）形。这个圆锥的底面半径是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
7．如图，要为底面是圆形的药瓶制作一个长方体包装盒，至少需要（ ）平方厘米的硬纸板。（粘贴处忽略不计）
8．一个圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米。从它的顶点向下沿着高将它等分切成两半，表面积增加（ ）平方厘米。
9．下面物体的形状：（ ）是圆柱，（ ）是圆锥。
10．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。

（1）捆扎3个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。
（2）捆扎n个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。
三、操作题
11．指出下面圆柱的底面、侧面和高。
四、解答题
12．小丽想准确量出圆锥的高，请你结合自己的经验说说自己的测量方法。（可以写出来，也可以画出来）
13．一台压路机的滚轮直径是1.5米，向前滚动50圈压路面的长度是多少米？
14．如今自带帐篷旅游越来越受人们欢迎。如图，一种近似圆锥形帐篷的底面直径是5米，高是2.4米。这种圆锥形帐篷占地面积是多少？
15．用彩带捆扎一个圆柱形蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去彩带28厘米。捆扎这个蛋糕盒至少要用彩带多少厘米？合多少米？

16．如下图所示，一个有盖的长方体礼盒刚好能容纳6个圆柱形茶叶罐（单位：厘米），做一个这样的长方体礼盒至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处不计）
参考答案
一、选择题
1．下列图形中，以直线为轴旋转一圈，可以形成圆柱的是（ ）
A． B． C．
【分析】对于圆柱、圆锥、球以及由它们组成的几何体，都可以看做是由一个平面图形绕着一条直线旋转得到的，而圆柱是由一个长方形绕着一条边旋转得到的。
【解答】因为圆柱从正面看到的是一个长方形，所以以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是长方形；
故选： C。
【点评】此题主要考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定。
2．用一个半径是2厘米半圆做圆锥的侧面（接头处不记），做出的圆锥底面圆的半径为（ ）。
A．6厘米 B．3厘米 C．1厘米 D．无法计算
【分析】根据题意可知，半径是2厘米的圆的周长一半等于圆锥的底面周长，据此解答。
【解答】2×3.14×2÷2÷3.14÷2
＝（2×3.14×2）÷（2×3.14×2）
＝1（厘米）
故选择：C
【点评】此题考查了圆锥的特征，找出圆锥与半圆之间的关系是解题关键。
3．在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥型（如图）。如果圆的半径为r，扇形的半径为R，那么R是r的（ ）。
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．6倍
【分析】根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系。据此解答。
【解答】因为扇形的弧长等于圆锥底面周长。
故答案为：C
【点评】解答此题的关键是明白：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长。
4．若从一个圆柱的正面看到的是正方形，则这个圆柱底面直径与高的比是（ ）。
A．1∶π B．π∶1 C．1∶1
【分析】若从一个圆柱的正面看到的是正方形，则说明圆柱的底面直径和高是相等的，据此可知这个圆柱底面直径与高的比。
【解答】从一个圆柱的正面看到的是正方形，则圆柱的底面直径＝圆柱的高，所以圆柱底面直径∶高＝1∶1。
故答案为：C
【点评】本题考查圆柱的特征和比的意义，关键是掌握从正面看到圆柱的形状和圆柱底面及高的关系。
5．根据下图物体的相关数据，联系生活想象一下，它可能是（ ）。
A．电池 B．水桶 C．水杯
【分析】图中是一个圆柱，圆柱的底面直径是60mm，高是180mm。60mm＝6cm，180mm＝18cm，据此逐项分析。
【解答】A．电池的底面直径大多是1cm到3cm，长度大多是10cm以下，这个圆柱的数据太大，不符合题意；
B．水桶的底面直径应大于6cm，高应大于18cm，这个圆柱的数据太小，不符合题意；
C．底面直径6cm，高18cm，符合水杯的特点，则这个圆柱可能是水杯。
故答案为：C
二、填空题
6．如图，一个圆锥形的甜筒，把它的包装纸沿一条直线撕开，是一个（ ）形。这个圆锥的底面半径是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形。将圆锥的底面直径5厘米除以2，求出底面半径。圆锥顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，看图可知这个圆锥的高是12厘米。
【解答】5÷2＝2.5（厘米）
所以，把它的包装纸沿一条直线撕开，是一个扇形。这个圆锥的底面半径是2.5厘米，高是12厘米。
7．如图，要为底面是圆形的药瓶制作一个长方体包装盒，至少需要（ ）平方厘米的硬纸板。（粘贴处忽略不计）
【分析】由于要做成长方体包装盒，那么长方体的长应该是药瓶的底面直径，宽也是底面直径，高是药瓶的高，根据题意可知，求至少需要硬纸盒的面积，就是求这个长方体包装盒长是5厘米，宽是5厘米，高是7厘米的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【解答】长方体的包装盒的长是长是5厘米，宽是5厘米，高是7厘米。
（5×5＋5×7＋5×7）×2
＝（25＋35＋35）×2
＝（60＋35）×2
＝95×2
＝190（平方厘米）
至少需要190平方厘米的硬纸板。
8．一个圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米。从它的顶点向下沿着高将它等分切成两半，表面积增加（ ）平方厘米。
【分析】从圆锥的顶点沿着高将它切成两半，切面是两个相等的等腰三角形，这个等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，据此作答即可。
【解答】6×2×5÷2×2
＝12×5÷2×2
＝60（平方厘米）
所以表面积增加60平方厘米。
9．下面物体的形状：（ ）是圆柱，（ ）是圆锥。
【分析】圆柱体的上下底面有两个等大的圆，中间粗细一样；圆锥的底面是一个圆，上方有一个顶点，由此判断。
【解答】①，是圆柱；
②，是圆锥；
③，既不是圆柱，也不是圆锥；
④，是圆柱；
⑤，是圆锥。
下面物体的形状：①④是圆柱，②⑤是圆锥。
【点评】熟练掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题的关键。
10．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。

（1）捆扎3个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。
（2）捆扎n个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。
【分析】（1）通过观察图形可知，捆1个圆柱管时，绳子的长度就是底面圆的周长；2个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（2－1）×2个圆的直径；3个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（3－1）×2个圆的直径；
（2）同理：每增加一个圆柱管，就增加2个圆的直径，那么n个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（n－1）×2个圆的直径。
【解答】（1）3.14×8＋（3－1）×2×8
＝25.12＋2×2×8
＝25.12＋4×8
＝25.12＋32
＝57.12（厘米）
综上所述：捆扎3个圆柱管一圈需要57.12厘米长的绳子。
（2）3.14×8＋（n－1）×2×8
＝25.12＋（n－1）×16
＝25.12＋16n－16
＝（9.12＋16n）厘米
综上所述：捆扎n个圆柱管一圈需要（9.12＋16n）厘米长的绳子。
【点评】解决本题的关键是观察分析得到圆柱管的放置规律，以及圆周长的计算方法，一个圆柱体时绳子的长度就是圆的周长，以后每增加一个圆柱体，绳子的长度就会增加圆的直径的2倍。
三、操作题
11．指出下面圆柱的底面、侧面和高。
【分析】圆柱是由3个面围成的，圆柱的上、下两个面叫做底面，圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面，圆柱两个底面之间的距离叫做高，据此解答。
【解答】如图所示：
【点评】本题主要考查圆柱的认识，掌握圆柱的特征是解答题目的关键。
四、解答题
12．小丽想准确量出圆锥的高，请你结合自己的经验说说自己的测量方法。（可以写出来，也可以画出来）
【分析】根据测量圆锥高的方法进行解答即可。
【解答】测量圆锥高的方法：
①先把圆锥的底面放平
②用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面
③竖直地量出平板和底面之间的距离
【点评】此题考查了测量圆锥高的方法，应注意平时基础知识的积累。
13．一台压路机的滚轮直径是1.5米，向前滚动50圈压路面的长度是多少米？
【分析】压路机的滚轮就是一个圆柱体，向前滚动一圈就是这个圆柱的底面的周长，也就是底面的圆的周长，根据圆的周长，算出圆柱底面圆的周长，即3.14×1.5，向前滚动50圈，就是50个圆柱的底面的圆向前滚了50圈，长是多少，就有一个圆柱底面圆的周长×50，即：3.14×1.5×50，即可算出。
【解答】3.14×1.5×50
＝4.71×50
＝235.5（平方米）
答：向前滚动50圈压路机面的长度是235.5米。
【点评】本意考查圆柱体底面的特点和圆的周长，根据圆的周长公式解答问题。
14．如今自带帐篷旅游越来越受人们欢迎。如图，一种近似圆锥形帐篷的底面直径是5米，高是2.4米。这种圆锥形帐篷占地面积是多少？
【分析】求圆锥的占地面积，就是求直径是5米的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，代入数据，即可解答。
【解答】3.14×（5÷2）2
＝3.14×2.52
＝19.625（平方米）
这种圆锥形帐篷占地面积是19.625平方米。
【点评】熟练掌握圆的面积公式是解题的关键。
15．用彩带捆扎一个圆柱形蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去彩带28厘米。捆扎这个蛋糕盒至少要用彩带多少厘米？合多少米？

【分析】由图可知：所用彩带的长＝圆柱直径×8＋高×8＋打结处的长度，代入数据计算即可。
【解答】40×8＋15×8＋28
＝320＋120＋28
＝468（厘米）
468厘米＝4.68米
答：捆扎这个蛋糕盒至少要用彩带468厘米，合4.68米。
【点评】本题主要考查圆柱的特征，明确有几条直径、几条高是解题的关键。
16．如下图所示，一个有盖的长方体礼盒刚好能容纳6个圆柱形茶叶罐（单位：厘米），做一个这样的长方体礼盒至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处不计）
【分析】长方体的长是圆柱底面直径的3倍，长方体的宽是圆柱底面直径的2倍，长方体的高等于圆柱的高，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出需要包装材料的面积；
【解答】长：8×3＝24（厘米）
宽：8×2＝16（厘米）
（24×16＋24×10＋16×10）×2
＝（384＋240＋160）×2
＝784×2
＝1568（平方厘米）
答：做一个长方体礼盒至少需要1568平方厘米的包装材料。

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