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2026 昌平二中初三年级数学统练 5
2026.4.09
一、单选题
1．中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 如意纹 B． 风车纹
C． 冰裂纹 D． 柿蒂纹
2．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为 4 B．最小值为 4 C．最大值为 6 D．最小值为 6
3．如图，在 中，O是边 的中点．按下列要求作图：①以点 B为圆心、适当长为半径画弧，交线段 于点 D，
交 于点 E；②以点 O为圆心、 长为半径画弧，交线段 于点 F；③以点 F为圆心、 长为半径画弧，交前一
条弧于点 G，点 G与点 C在直线 同侧；④作直线 ，交 于点 M．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4． 是由中国 初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的 模型，于 2024年 12
月发布，它具有 架构，总共有 个参数．这里“ ”的含义是 ，即 等于十亿．将
用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等腰直角三角形 中， ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接
，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，则随着 的增大， 的度数（ ）
A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小
5题 6题 7题
6．如图，在 中， ， ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，
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，作直线 分别交 ， 于点 ， ．以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接 、 ．则下
列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线 、 相交于点 ， ．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系 中， ，点 为平面内的动点，若点 满足 ，则点 为线段
的“好点”，则下列说法正确的有（ ）
① 是“好点”；②所有“好点”围成的区域面积为
③当 且 时，直线 上有两个“好点”．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．要使二次根式 有意义，则 的取值范围是_____．
10．分解因式： ________．
11．方程 的解为________．
12．如图， 在 中，点 在边 上， ， 的延长线交于点 ．若 ， ， 则 ．
12题 13题 14题
13．如图， 与 相切于点 ．点 分别在 ， 上，四边形 为正方形，若 ，则 _________
．
14．（2019年北京市中考数学试题）把图 1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼
成如图 2，图 3所示的正方形，则图 1中菱形的面积为______．
15．如图，点 O是正方形 的中心， ．在 中， ， 过点 D， ， 分别交
， 于点 G，M，连接 ， ， ．若 ， ，则 的值为_________________ ．
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16．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有 40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可
以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现 40盏小灯中，已知有 15盏灯亮，其余都是暗的．要
求玩家蒙上双眼，将 40盏小灯分成 2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战
成功．
（1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有 5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功．
（2）小云的做法是：从 40盏灯中任意选出 n盏作为一组，然后将这 n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么
________．
三、解答题
17．计算： 18．解不等式组：
19．已知 ，求代数式 的值．
20．某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有 ， 两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本 书籍和
每本 书籍厚度的比为 ，根据图中所给出的数据信息，求每本 书籍的厚度．
21．（2024年北京市大兴区九年级中考一模数学试题）如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，
，连接 ，射线 和线段 的延长线交于点 ．
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(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求线段 的长．
22．在平面直角坐标系 中，函数 的图象是由函数 的图象平移得到，且经过点 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也大于函数 的值，直
接写出 的取值范围．
23．某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该
校从七、八两个年级中各随机抽取 10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动
的部分信息．
a．七、八两个年级各 10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b．学生每周志愿服务时长
与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于 3
志愿服务得分/分 60 70 80 90
c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于 160分的学生可获得“北京小使者”奖
章．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在两个年级分别抽取的 10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为 ， ，则 _____
，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为 ， ，则 _____ （填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)某年级所抽取的 10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分 6组：第 1组 ，第 2组
，第 3组 ，第 4组 ，第 5组 ，第 6组 ：
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①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组；
(3)该校七年级有 120名学生，八年级有 100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使
者”奖章的学生总人数为_____．
24．如图， 是 的直径，点 为 一点，过点 作 的切线交 的延长线于点 D．连接 ，过点 作
的垂线，交 于点 ，交 于另一点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂 A和添加剂 B）对面包保质期的影响．添加剂 A的效果在一定浓度范围内
随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂 B的作用机理不同，通过实验
发现，在测试浓度范围内 ，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系： ．
在固定工艺下，改变添加剂 A的添加浓度（单位： ），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：
添加剂浓度
0 20 40 60 80 100 120
保质期 （天） 3 5 8 10 9 7 4
(1)以添加剂浓度 为横坐标，保质期 为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接．
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(2)①工厂分析发现，每增加 添加剂，成本增加 2元；而每延长 1天 保质期，可减少 5元的损失．若增加
添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）．
②若 面包从生产到售出的时间为 10天，若保质期不足 10天，则每短缺 1天会造成 5元的损失（不足 1天的部分按
比例计算）．当添加剂 A浓度为 时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元．
(3)①若要求面包保质期至少为 8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____
的添加剂（保留整数）．
②当浓度 在____ ____范围内时，添加剂 A的保质期至少比添加剂 B的保质期多 1天（保留整数）．
26．在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与 x轴交于点 和点 B，与 y轴交于点 ，
直线 经过点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点 作 x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线 于点 N．
①若 ，求 的长；
②若点M在抛物线上的点 A与点 B之间，连接 ，当四边形 的面积随 m的增大而减小时，求
m的取值范围．
27．已知，在 中， ， ，D为 边上一动点（不与 B，C重合），将线段 绕
点 D顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
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(1)如图 1，当 ，且点 E在 边上时，连接 ，判断线段 与 之间的关系，并证明；
(2)如图 2，当点 E在 内部时，在射线 上有一点 F，连接 ，使 ，依据题意补全图形，并用等式表
示线段 与 的数量关系，并证明．
28．（北京清华大学附属中学 2025--2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试卷）在平面直角坐标系 中，对于封
闭图形 ，若存在两条平行直线 和 使得图形 被分为面积相等的三个部分，则称直线 和 为图形 的一组“三分
平行线”，且称直线 和 间的距离为图形 的一个“三分距离”，记为 ．
如图，点 ；
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(1)若图形 为正方形 ，其中点 在第四象限，
①已知直线 和 是正方形 的一组“三分平行线”，则 ， ，此时对应的“三分距离”
（正方形为 ） ；
②直接写出正方形 的“三分距离” 的取值范围： ；
(2)若图形 为菱形 （ 在 上方），点 为其边上的一点，若直线 和直线 为菱形 的一组“三分平行
线”，且其对应的“三分距离” （菱形 ） ，直接写出点 纵坐标 取值范围．
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初三年级统练 5 答案
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D D C D C A
9． 10． 11． 12． 13． 14．12 15． 16. 5 ；15
17．
解：
．
18．
解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∴原不等式组的解集为 ．
19．
解：∵ ，
∴ ，
∴
．
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
20．每本 书籍厚度为
解：设每本 书籍厚度为 ，桌子高度为 ，
由题意可得： ，
解得 ，
答：每本 书籍厚度为 ．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明： 四边形 是正方形，
， ．
，
．即 ．
又 ，
四边形 是平行四边形．
（2）解： 四边形 是正方形，
， ， ．
， ，
．
在 中，
， ，
．
．
．
在 中，
，
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
．
22．(1) ；
(2) 且 ．
23．(1)<，>
(2)①八；②4
(3)78
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵ 是切线， 是直径，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．(1)见解析
(2)① ；②18
(3)①60；②20；80
（1）解：描点并连线为：
（2）解：①设增加 添加剂能使保质期延长 x天，增加浓度是有利的，则
，
解得 ，
即增加 添加剂能使保质期延长超过 天，增加浓度是有利的．
②由题意可得，当 时， ，
即当添加剂 A浓度为 时，保质期为 8天，
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
此时总成本为： （元）．
（3）解：①由表格可知，若选择添加剂 A，当 时， ，
即当保质期至少为 8天时，添加剂 A至少需要 ；
若选择添加剂 B，当 时， ，解得 ，
即当保质期至少为 8天时，添加剂 B至少需要 ，
所以选择添加剂 A比选择添加剂 B可以节省添加剂为 ；
②当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
由上可知，当 时， ，
∴当浓度 在 范围内时，添加剂 A的保质期至少比添加剂 B的保质期多 1天．
26．(1)
(2)①6；②
（1）解：∵抛物线 （ ）与 x轴交于点 ，与 y轴交于点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）解：①∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 作 x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线 于点 N，
∴当 时， ，
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
∴ ，
∴ ;
②∵过点 作 x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线 于点 N，
∴ ，
∴ ，
对 ，
令 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ，
∵ ，
∴当 时，
四边形 的面积随 m的增大而减小，
∵点 M在抛物线上的点 A与点 B之间，
∴ ，
∴ ，
∴m的取值范围是 ．
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
【点睛】根据四边形 的面积 的图象开口向下，可知当 时，四边形 的面积随 m的增
大而减小，加上点 M在抛物线上的点 A与点 B之间， 的限制．
27．(1) ， ，证明见解析
(2)图见解析， ，证明见解析
（1）解： ， ；
证明：由题意得 ， ， ，
，
，
是等边三角形，
，
，即 ，
，即 ；
（2）解：依据题意补全图形如解图，
．
证明：如图，连接 ，取 中点 H，连接 ，
，H是 的中点，
．
， ，
，
，
，
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
，
．
28．(1)
， ，
(2) ．
（1）解： ∵四边形 是正方形， ， ，点 在第四象限，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵直线 和 是正方形 的一组“三分平行线”，
∴直线 和 将正方形 分成三个面积为 的区域，
，
设直线 与 交于 ，则 ，
解得 ，
∴直线 过点 ，
∴ ，
∴把 代入 得， ，
∴ ，
设直线 与 交于 ，则 ，
解得 ，
∴直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
∴ ，
∴ ．
根据题意可知，当 、 平行于正方形 的对角线时，正方形 的“三分距离” 最小，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
设 ， 交 于点 ，交 于点 ， 交 于点 ，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离 ，
同理可得，点 到 的距离为 ，
∴正方形 的“三分距离” 的最小值为 ，
当 、 平行于正方形 的边时，正方形 的“三分距离” 最大，
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
∴正方形 的“三分距离” 的最大值为 ，
∴ ．
（2）解：∵图形 为菱形 （ 在 上方）， ，
∴ ， ，
∵直线 和直线 为菱形 的一组“三分平行线”，
∴点 在 或 上，
设 到 的距离为 ，
若点 在 上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，交 于点 ，则四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴直线 为 所在直线，
作 于点 ，
∵ （菱形 ） ，
∴ ，
当 时， ，
∴平行四边形 的最小内角的最小值为 ，
在线段 上取 ，则四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴点 在 上方，以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
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∴当 时，点 的纵坐标 取最大值， 的最大值为 ，
当点 在点 左侧时，过点 作 ，
若 ， ，则 ，
∴ ，
此时点 的纵坐标 取最小值，
作 于点 ，作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ ；
设 到 的距离为 ，
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若点 在 上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在 上方，以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
∴当 时，点 的纵坐标 取最大值， 的最大值为 ，
过点 作 ，交 于点 ，则四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴直线 为 所在直线，
作 于点 ，
∵ （菱形 ） ，
∴ ，
当 时， ，
∴平行四边形 的最小内角的最小值为 ，
当点 在点 左侧时， ，过点 作 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得 ， （舍去），
作 于点 ，
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ ，
综上所述，点 的纵坐标 的取值范围是 ．
初三年级统练 5参考答案（第 1页/共 2页）

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