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6.2 认识反比例的量
学习重难点 学习目标
1、认识成反比例的量,初步理解反比例的意义。(重点) 2、理解成反比例的两种量的变化规律。(重点) 3、能根据反比例的意义判断两种相关联的量是否是成反比例的量。(难点) 1、理解反比例的意义,会正确判断两种相关联的量是否成反比例。 2、观察并理解成反比例的两种量的变化规律,培养观察、判断能力。
知识点一反比例的意义
1、反比例的意义。
（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫作成反比例关系。
（2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，则反比例关系可以表示为x×y=k（一定）。
知识点二反比例的判断方法
1、反比例关系的判断方法。
（1）看这两种量是不是相关联的量。
（2）再看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。积一定，这两种量就成反比例，否则就不成反比例。
题型一反比例的意义和辨识
1．一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行70千米，那么5小时到达；如果每小时行87.5千米，那么4小时到达。这辆汽车第一次行驶的速度和时间的积是( )千米，第二次行驶的速度和时间的积是( )千米。( )一定，( )和( )成( )比例。
【答案】350 350 路程 速度 时间 反
【分析】用速度×时间，分别求出这辆汽车第一次行驶的速度和时间的积和第二次行驶的速度和时间的积；两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果这两种量的积一定，这两种量就成反比例关系，据此分析。
【解答】70×5＝350（千米）、87.5×4＝350（千米），速度×时间＝路程
这辆汽车第一次行驶的速度和时间的积是350千米，第二次行驶的速度和时间的积是350千米。路程一定，速度和时间成反比例。
2．已知A、B、C三种量的关系式是A×C＝B（B≠0），如果C一定，那么A和B成( )比例；如果B一定，那么A和C成( )比例。
【答案】正 反
【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。
【解答】已知A、B、C三种量的关系式是A×C＝B（B≠0），如果C一定，B÷A＝C（一定），那么A和B成正比例；如果B一定，A×C＝B（一定），那么A和C成反比例。
3．一个长方形的面积是48平方米。（先填表，再答题）
宽/米 1 2 3 4 5 …
长/米 48 24 …
表中（ ）和（ ）是两种相关联的量，长和宽的乘积总是（ ）平方米。因为（ ）×（ ）＝（ ）（一定），所以（ ）和（ ）成（ ）比例。
【答案】填表见详解；
长；宽；48；长；宽；面积；长；宽；反
【分析】根据长方形面积＝长×宽，可以推出长方形的长＝面积÷宽，将长方形的面积是48平方米这个数据代入，求出当宽等于3、4、5米时，分别对应的该长方形的长，据此填表即可。
两种相关联的量，若两种量的比值一定，两种量成正比例，若两种量的乘积一定，则两种量成反比例，因为长×宽＝长方形面积，并且本题中面积等于48平方米，面积是一定的，据此判断成什么比例即可。
【解答】48÷3＝16（米）
48÷4＝12（米）
48÷5＝9.6（米）
填表如下：
宽/米 1 2 3 4 5 …
长/米 48 24 16 12 9.6 …
表中长和宽是两种相关联的量，长和宽的乘积总是48平方米。因为长×宽＝面积（一定），所以长和宽成反比例。
题型二根据反比例填表
4．A和B是两种相关联的量，并且成反比例关系，将下表填写完整。
A 2 4 8 10 16 …
B 25 12.5 …
【答案】见详解
【分析】两种相关联的量成反比例关系，意味着这两种量相对应的两个数的乘积一定。我们先根据已知的一组A和B的值求出它们的乘积，再用这个乘积分别除以其他已知的A值，就可以得到对应的B值；除以已知的B值，就可以得到对应的A值。
【解答】A×B＝4×25＝100
当A＝2时，100÷2＝50
当A＝10时，100÷10＝10
当A＝16时，100÷16＝6.25
A 2 4 8 10 16 …
B 50 25 12.5 10 6.25 …
5．如表，如果m与n成正比例，那么“？”是( )；如果m与n成反比例，那么“？”是( )。
m 6 ？
n 10 6
【答案】3.6 10
【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分别写出正比例和反比例算式，计算即可。
【解答】6÷10＝？÷6
解：？÷6＝0.6
？÷6×6＝0.6×6
？＝3.6
6×10＝？×6
解：？×6＝60
？×6÷6＝60÷6
？＝10
如果m与n成正比例，那么“？”是3.6；如果m与n成反比例，那么“？”是10。
6．下表中与两个量成反比例关系，请把表格填完整。
2 0.1 ( ) ( )
5 ( ) 2.5 ( )
【答案】4 12 100 50
【分析】x与y成反比例关系，也就是x与y的乘积是一定（相等）的。根据对应的x与y都是已知的一栏，可求出乘积，然后根据已知项，求出未知项填入。
【解答】
填表如下：
2 0.1 4 12
5 100 2.5 50
【点评】掌握反比例的意义及反比例的应用解答本题的关键。
题型三反比例的简单应用
7．一项工程，若每天工作8小时，则15天可以完成任务。要想12天完成任务，平均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答）
【答案】10小时
【分析】设平均每天要工作x小时；根据题意可知，工作时间和工作天数成反比例；根据计划工作时间×计划工作天数＝实际工作时间×实际工作天数，列比例：8×15＝12x，解比例，即可解答。
【解答】解：设平均每天要工作x小时。
8×15＝12x
12x＝120
x＝120÷12
x＝10
答：平均每天要工作10小时。
8．运输队运送一批救灾物资到汶川灾区。原计划每小时行60千米，5小时可以到达。由于道路受损严重，实际平均每小时比原计划少行20千米。实际到达灾区需要多少小时？
【答案】7.5小时
【分析】根据路程＝速度×时间；由于路程不变；行驶的速度和时间成反比例；设实际到达灾区需要x小时；列比例：（60－20）x＝60×5，解比例，即可解答。
【解答】解：设设实际到达灾区需要x小时。
（60－20）x＝60×5
40x＝300
x＝300÷40
x＝7.5
答：实际到达灾区需要7.5小时。
9．一间房子要用方砖铺地，用面积是36平方分米的方砖，需用96块，如果改用边长为8分米的方砖，需用多少块？（用比例解）
【答案】54块
【分析】根据题意，一块方砖的面积×方砖的块数＝这间房子地面的面积（一定），所以一块方砖的面积与方砖的块数成反比例。由此设需用x块，列出比例式（8×8）×x＝96×36即可解决问题。
【解答】解：设需要x块砖。
（8×8）×x＝96×36
64x＝3456
64x÷64＝3456÷64
x＝54
答：需要54块。
题型四反比例的复杂应用
10．运输一批水果，下表是每箱的质量与所需要的箱数之间的关系。
每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15
所需的箱数/箱 100 75 60 50 （ ） （ ）
（1）请把上表补充完整。从上面的表中，你发现那个量没有变化？
（2）每箱水果的质量与箱数之间成什么比例？为什么？
（3）当水果的质量为25千克时，你知道需要多少个箱子吗？
【答案】（1）30；20；发现水果总质量没有变化；
（2）成反比例；因为每箱水果质量与箱数的乘积一定；
（3）12个
【分析】（1）根据表中前4列中的数据可知，每箱水果的质量与所需的箱数的积一定，据此填表；
（2）根据每箱水果的质量与所需的箱数的积一定，判定每箱水果的质量与箱数之间成反比例；
（3）用这批水果总千克数除以25即可。
【解答】（1）
每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15
所需的箱数/箱 100 75 60 50 30 20
这批水果的总千克数没有变化。
（2）3×100＝4×75＝5×60＝6×50＝10×30＝15×20
每箱水果的质量与箱数之间成反比例，因为每箱的质量与所需的箱数的积一定。
（3）3×100÷25
＝300÷25
＝12（个）
答：需要12个箱子。
【点评】解答本题需熟练掌握正比例和反比例的意义，能正确判断两种相关联的量成正比例还是成反比例，灵活利用比例知识解决问题。
11．银河电子厂要装配一批电脑，每天装配的台数与需要的天数如下表。
每天装配的台数 360 180 144 120 80 60
需要的天数 10 20 25 30 45 60
（1）每天装配的台数与需要的天数成什么比例？为什么？
（2）如果每天装配50台，那么需要多少天？如果75天装配完，那么平均每天装配多少台？
【答案】（1）成反比例；因为每天装配的台数×需要的天数=总装配的台数（一定）。
（2）72天；48台。
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量对应是的比值一定，还是对应的乘积一定；如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，则成反比例；（2）通过之间的关系列出比例，通过比例的基本性质进行解比例即可求解。
【解答】（1）360×10＝3600（台）；180×20＝3600（台）；144×25＝3600（台）；120×30＝3600（台）；80×45＝3600（台）；60×60＝3600（台）。由此可知：每天装配的台数×需要的天数＝总装配的台数（一定），即每天装配的台数与需要的天数乘积一定，成反比例。
（2）解：设每天装配50台，那么需要X天；75天装配完，那么平均每天装配Y台。
则50∶360＝10∶X
50X＝360×10
50X＝3600
X＝3600÷50
X＝72
Y∶360＝10∶75
75Y＝360×10
75Y＝3600
Y＝3600÷75
Y＝48
答：每天装配50台，那么需要72天；75天装配完，那么平均每天装配48台。
【点评】熟练掌握正、反比例的概念以及比例的基本性质才是解题的关键。
12．一辆汽车开往240千米外的目的地，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。
时间/时 2 3 4 5 6 …
速度/（千米/时） ……
（1）相对应的两个数的乘积分别是多少？
（2）这个乘积表示什么意义？用式子表示它与行驶时间和速度之间的关系。
（3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？
【答案】填表见详解
（1）240
（2）见详解
（3）见详解
【分析】根据，代入数据计算即可填空。
（1）用速度乘时间分别求出积。
（2）根据可知，乘积表示的是路程，据此解答。
（3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。
【解答】（千米/时）
（千米/时）
（千米/时）
（千米/时）
（千米/时）
时间/时 2 3 4 5 6
速度（千米/时） 120 80 60 48 40
（1）（千米）
（千米）
（千米）
（千米）
（千米）
相对应的两个数的乘积都是240。
（2）答：这个乘积表示的意义是两地之间的路程；表示它与行驶时间和速度之间的关系的式子是速度×时间＝路程（一定）
（3）答：行驶时间和速度成反比例；因为它们是两个相关联的量，而且乘积一定。
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）。
①被除数一定，商和除数成反比例；
②一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系；
③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系；
④飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例。
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
2．下列各式中，与（、均不为0）成反比例关系的是（ ）。
A． B． C． D．
3．下面说法正确的是（ ）。
A．自然数都有倒数 B．分子一定，分数值与分母成反比例
C．分母是100的分数叫百分数 D．钟面上分针的运动是平移
4．甲、乙两名运动员在百米短跑比赛中，速度比是11∶12，则甲、乙两名运动员所用的时间比是（ ）。
A．11∶12 B．11∶23 C．12∶11 D．23∶11
5．下表中如果X和Y成反比例，空缺处填（ ）；如果X和Y成正比例，空缺处填（ ）。
X 8 10
Y 12
A．9.6；10 B．15；9.6 C．9.6；15 D．10；15
二、填空题
6．（c≠0），当c一定时，a和b成( )比例；当a一定时，b和c成( )比例；当b一定时，a和c成( )比例。
7．如表中，如果与成正比例，那么“？”是( )；如果与成反比例，那么“？”是( )。
3 ？
36 180
8．如果＝（y不为0），那么x和y成( )比例；如果x×3＝y÷（x、y都不为0），那么x和y成( )比例。
9．机械手表中不同的齿轮以不同的速度旋转，驱动指针显示时间。如图，大齿轮的齿数是54个，小齿轮的齿数是36个，大、小两个齿轮的齿数比是( )。旋转时，大齿轮和小齿轮相互咬合的齿数是一定的。大齿轮旋转2周，小齿轮需要旋转 ( )周。如果一个手表中大齿轮的直径是6毫米，将它画在比例尺是20∶1的图纸上，图纸中大齿轮的直径是 ( )厘米，图纸中大齿轮的齿数是( )个。
10．甲、乙两人的速度比是8∶5，已知乙从A地到B地用了40分钟，那么甲行这段路需要用( )分钟。
三、解答题
11．自来水公司修建自来水管道，用8米长的新管更换原来5米长的旧管。现在有240根新管，可更换旧管多少根？
12．王丽要用计算机打一份稿件，她的打字速度和所用时间如下表。
打字速度/（字/分） 50 75 90 45 125
所用时间/分 90 60 50 100 36
表中的两个量是否成比例？成什么比例？为什么？
13．给一间办公室铺地砖，每块地砖的面积与所需的地砖数量如表。
每块地砖的面积/平方厘米 300 400 600 800
所需地砖的数量/块 3200 2400 1600 1200
（1）所需地砖的数量与每块地砖的面积成正比例关系还是反比例关系？为什么？
（2）如果使用面积为1500平方厘米的地砖，那么铺完这间办公室需要多少块地砖？
14．一辆汽车准备从甲地开往乙地。根据下表提供的信息，把表格填写完整。
时间/时 8 10 16 20 32 40
速度（千米/时） 100 80
（1）行驶的时间和速度成什么比例关系？说明理由。
（2）试着在方格纸上画图表示表中的数据。
（3）如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时，根据上面表格，估计这辆汽车的速度大约是多少？
参考答案
1．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。
【解答】①商×除数＝被除数（一定），所以商和除数成反比例；原题说法正确；
②一个人的年龄和体重既不成比例关系，说法正确；
③圆柱的底面积＝圆柱的体积÷圆柱的高，所以圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系，原题说法错误；
④因为速度＝路程÷时间，所以飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例，说法正确。
所以说法正确的有①②④。
故答案为：B
2．【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。
【解答】A．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意；
B．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意；
C．由可得：（一定），积一定，则与成反比例，符合题意；
D．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意。
故答案为：C
3．【分析】根据0是自然数，但0没有倒数判断A选项；根据反比例的定义进行判断B选项；根据百分数是一种特殊的分数形式，通常不写成分数的形式，而采用符号“%”（叫做百分号）来表示进行判断C选项；根据平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动进行判断D选项即可。
【解答】A．因为0是自然数，但0没有倒数，所以自然数都有倒数是错误的；
B．因为如果是乘积一定，则成反比例，所以分子一定，分数值与分母成反比例是正确的；
C．因为百分数是一种特殊的分数形式，通常不写成分数的形式，而采用符号“%”（叫做百分号）来表示，所以分母是100的分数叫百分数是错误的；
D．由分析可知，钟面上分针的运动是旋转，不符合平移的定义，所以钟面上分针的运动是平移是错误的。
故答案为：B
【点评】此题考查对自然数、倒数、百分数、反比例、平移等知识要点，掌握相关定义性质是解题的关键。
4．【分析】根据“速度×时间＝路程”可知，路程一定时，速度与时间成反比例关系，所以甲、乙两名运动员所用的时间比等于他们速度的反比。
【解答】甲、乙两名运动员在百米短跑比赛中，速度比是11∶12，则甲、乙两名运动员所用的时间比是12∶11。
故答案为：C
5．【分析】如果X和Y成反比例，则XY的乘积一定，求出8与12的积，再除以10即可；如果X和Y成正比例，则XY的比值一定，求出8与12的比值，再用10除以比值即可
【解答】8×12÷10
＝96÷10
＝9.6
8∶12＝8÷12＝
10÷
＝10×
＝15
即如果X和Y成反比例，空缺处填9.6；如果X和Y成正比例，空缺处填15。
故答案为：C
【点评】本题主要考查正反比例的简单应用。
6．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】（一定），是比值一定，所以a和b成正比例；
（一定），是乘积一定，所以b和c成反比例；
（一定），是比值一定，所以a和c成正比例。
因此，在（c≠0）中，当c一定时，a和b成正比例；当a一定时，b和c成反比例；当b一定时，a和c成正比例。
7．【分析】如果两个量成正比例，那么这两个量的比值一定，所以，求出；如果两个量成反比例，那么这两个量的乘积一定，所以，求出。
【解答】如果与成正比例，那么再根据比例的基本性质，，算出；
如果与成反比例，那么，求出。
8．【分析】两种相关联的量，若两种量的比值（商）一定，两种量成正比例；若两种量的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。
【解答】由＝得：xy＝5×8＝40，x和y的积一定，x和y成反比例；由x×3＝y÷得：x×3＝y×7，＝，x和y的比值一定，x和y成正比例。
【点评】辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看这两种量是存在比值（商）一定还是乘积一定。
9．【分析】求大、小两个齿轮的齿数比，用54∶36，再根据比的性质化简即可；无论是大齿轮还是小齿轮，由于相互咬合的齿数是一定的，所以转过的总齿数相同，大齿轮转2圈的齿数为（2×54）个，小齿轮也要转（2×54）个齿，需要转（2×54÷36）圈；根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算出图纸中大齿轮的直径；按一定比例放大或缩小，只改变图形的大小，不改变形状。
【解答】①54∶36
＝（54÷18）∶（36÷18）
＝3∶2
②2×54÷36
＝108÷36
＝3（周）
③6×20＝120（毫米）
120毫米＝12厘米
④按一定比例放大或缩小，只改变图形的大小，不改变形状，图纸中大齿轮的齿数是54个。
因此大、小两个齿轮的齿数比是3∶2；小齿轮需要旋转3周；如果一个手表中大齿轮的直径是6毫米，将它画在比例尺是20∶1的图纸上，图纸中大齿轮的直径是12厘米，图纸中大齿轮的齿数是54个。
10．【分析】根据题意，甲、乙两人的速度比是8∶5，把甲的速度看作是“8”，乙的速度看作是“5”，根据乙从A地到B地用了40分钟，由于距离不变，速度和时间成反比例，甲行驶的路程＝乙行驶的路程；设甲行这段路需要x分钟，列比例：8x＝5×40，解比例，即可求出甲行这段路需要的时间。
【解答】解：设甲行这段路需要x分钟。
8x＝5×40
8x＝200
x＝200÷8
x＝25
甲、乙两人的速度比是8∶5，已知乙从A地到B地用了40分钟，那么甲行这段路需要用25分钟。
【点评】熟练掌握反比例的意义和辨识是解答本题的关键。
11．【分析】根据题意可知，自来水管道的全长不变，即每根管道的长度×根数＝自来水管道的全长（一定），乘积一定，那么每根管道的长度与根数成反比例，据此列出反比例方程，并求解。
【解答】解：设可更换旧管根。
5＝8×240
5＝1920
＝1920÷5
＝384
答：可更换旧管384根。
12．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据长方形的面积公式和圆周长公式求解即可。
【解答】
50×90＝4500（字）
75×60＝4500（字）
90×50＝4500（字）
45×100＝4500（字）
125×36＝4500（字）
由分析可得：表中的两个量成比例，成反比例；因为她的打字速度和所用时间是两种相关联的量，打字时间随着打字速度的变化而变化，且这两种量的乘积一定，所以打字速度和打字时间成反比例。
13．【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。
（2）用这间办公室的总面积除以每块地砖的面积，据此解答。
【解答】（1）成反比例关系，理由如下：
因为300×3200＝400×2400＝600×1600＝800×1200＝960000，也就是每块地砖的面积×所需地砖的数量＝这间办公室的总面积，总面积是一定，乘积一定，因此所需地砖的数量与每块地砖的面积成反比例关系。
答：成反比例关系，理由是每块地砖的面积×所需地砖的数量＝办公室的总面积（一定）。
（2）300×3200÷1500
＝960000÷1500
＝640（块）
答：铺完这间办公室需要640块地砖。
14．【分析】（1）因为路程一定，所以行驶的时间和速度成反比例关系；
（2）根据路程、时间、速度三者之间的关系，求出对应的速度，填写表格。
（3）因为18小时介于16小时与20小时之间，那么速度就介于50与40之间，估算即可；
【解答】补充表格如下：
时间（时） 8 10 16 20 32 40
速度（千米/时） 100 80 50 40 25 20
（1）因为8×100＝800（千米），10×80＝800（千米），即路程一定，时间与速度成反比例；
（2）画图表示表中的数据：
（3）800÷18≈44（千米）
答：这辆汽车的速度大约是每小时44千米。
【点评】运用表中给出的数据，结合路程、时间、速度三者之间的关系，解决问题。

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