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6.1 认识成正比例的量
学习重难点 学习目标
1、认识成正比例的量，初步理解正比例的意义。（重点） 2、发现两种相关联的量的变化规律。（难点） 3、能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例关系。（难点） 4、初步认识正比例的图像是一条直线。（重点） 5、能利用给出的成正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线。（重点） 6、能根据正比例的图像上的一个点估计它的一个量或两个量的数值。（难点） 1、理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。 2、通过观察、思考，发现两种相关联的量的变化规律，体会函数思想。 3、培养用发展、变化的观点分析问题的能力，培养概括能力和分析判断能力。
知识点一正比例的意义
1、正比例的意义。
（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。
（2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，则正比例关系可以表示为=k（一定）。
知识点二正比例的判断方法
1、正比例关系的判断方法。
（1）首先判断这两种量是不是相关联的量。
（2）再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定。比值一定，这两种量成正比例；反之，不成正比例。
知识点三正比例图像
1、正比例图像。
（1）表示成正比例的两种量中相对应的各点在同一条直线上，即正比例的图像是一条经过原点的直线。
（2）从图像中可以直观地看出两种量的变化情况。
（3）借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值。
题型一正比例的意义和辨识
1．已知y＝x（x、y均不为0），那么x和y（ ）。
A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例
【答案】B
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；如果两种关系都不满足，则这两种量不成比例；据此解答。
【解答】因为y＝x，所以＝（一定），x和y的比值一定，它们成正比例。
故答案为：B
2．《小学生数学报》单价一定，订阅份数和总价（ ）。
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
【答案】A
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；如果两种关系都不满足，则这两种量不成比例；据此解答。
【解答】订阅《小学生数学报》的总价÷订阅份数＝单价（一定），订阅总价和订阅份数的比值一定，所以它们成正比例关系。
故答案为：A
3．下面题的三种量中，当其中一种量一定时，另外两种量成什么比例？
A×B＝C（A、B、C均不为0）。
（1）当A一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例。
（2）当B一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例。
【答案】（1）B C 正
（2）A C 正
【分析】根据正比例的意义，两种相关联的量，一种量变化时，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（或商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。所以当A一定时，C÷B的商一定，所以B和C成正比例；当B一定时，C÷A的商一定，所以A和C成正比例。
【解答】（1）当A一定时，B和C成正比例。
（2）当B一定时，A和C成正比例。
题型二正比例图像
4．如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是（ ），它们成（ ）比例。
【答案】60 正
【分析】根据比和除法的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，统计图可知，用行驶的路程÷行驶的时间，即可求出这辆汽车行驶的路程与时间的比值，也就是这辆车的速度；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】60÷1＝60（千米/时）
120÷2＝60（千米/时）
180÷3＝60（千米/时）
240÷4＝60（千米/时）
300÷5＝60（千米/时）
这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60；
60∶1＝120∶2＝180∶3＝240∶4＝300∶5＝60（一定），这辆汽车行驶的路程与时间成正比例。
这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60，它们成正比例。
5．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，（ ）的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为（ ）分钟，学校到图书馆的距离是（ ）米。
【答案】小芳 5 840
【分析】表示小芳的路程与时间之间的关系图像是从学校出发的，所以这个图像成正比例；小明在小芳出发后3分钟后出发，到小芳出发8分钟时追上小芳，据此可以求出小明追上小芳所需的时间；小芳3分钟走了210米，用210÷3求出小芳一分钟走多少米，再根据到图书馆用了12分钟，用速度×时间，求出学校到图书馆的距离即可。
【解答】根据图像可以判断，小芳的路程与时间成正比例；
（分钟）
（米）
小芳的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为5分钟，学校到图书馆的距离是840米。
6．小刚骑行的基本信息如图。根据图像显示，小刚骑行的（ ）和时间成正比例。看图可知，他骑行3千米，需要（ ）分钟；骑行5分钟，大约骑了（ ）米（保留整数）。
【答案】路程 9 1667
【分析】根据正比例图像的特点：正比例的图像是一条经过原点的射线，由此即可知道小刚骑行的路程和时间成正比例；通过图观察，当骑行3千米的时候，用了9分钟；根据正比例的含义，两个相关联的量比值一定，则成正比例，即＝＝，由此即可知道路程＝×时间，当骑行5分钟的时候，把时间等于5分钟代入式子，×5，算出结果再保留到整数即可。
【解答】由分析可知小刚骑行的路程和时间成正比例；
他骑行3千米，需要9分钟；
×5＝≈1667（米）
【点评】熟练掌握正比例的图像并灵活运用。
题型三正比例的简单应用
7．用100千克黄豆可以榨油16千克，照这样计算，50吨黄豆可以榨油多少吨？（用比例解）
【答案】8吨
【分析】根据题意，100千克黄豆可以榨油16千克，每千克黄豆榨油的千克数一定，则油的千克（或吨）数与黄豆的千克（或吨）数成正比例，设50吨黄豆可以榨油x吨，列比例：100∶16＝50∶x，解比例，即可解答。
【解答】解：设50吨黄豆可以榨油x吨。
100∶16＝50∶x
100x＝16×50
100x＝800
x＝800÷100
x＝8
答：50吨黄豆可以榨油8吨。
8．江苏省淮盐产场是中国四大盐场之一。其中，一个晒盐场用100克海水可以晒出6克盐。如果一块盐田一次放入650吨海水，可以晒出多少吨盐？
【答案】39吨
【分析】根据题意知道，海水的质量和盐的质量的比值一定，所以海水的质量和盐的质量成正比例，由此列式解答即可。
【解答】解：设可以晒出x吨盐。
100∶6＝650∶x
100x＝6×650
100x＝3900
100x÷100＝3900÷100
x＝39
答：可以晒出39吨盐。
9．黄豆有很高的营养价值。据测定，50克黄豆的蛋白质含量相当于150克鸡蛋或600克牛奶的蛋白质含量。多少千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量？（列比例解答）
【答案】1千克
【分析】设x多少千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量，已知50克黄豆的蛋白质含量相当于600克牛奶的蛋白质含量，列出正比例算式解答即可。
【解答】600克＝0.6千克 50克＝0.05千克
解：设x千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量。
0.05∶0.6＝x∶12
0.6x＝0.05×12
0.6x＝0.6
0.6x÷0.6＝0.6÷0.6
x＝1
答：1千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量。
题型四正比例的复杂应用
10．下面是某工程队修路情况统计图像，表示时间和工程量的关系。
（1）工程量与时间成正比例关系吗？为什么？
（2）这个图像有什么特点？
（3）利用图像估计一下，修完一条75千米的道路需要多少天？
【答案】（1）成正比例关系；因为工程量与时间的比值一定，所以它们成正比例关系。
（2）图像是一条直线。
（3）15天
【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量中对应的两个数的比值一定，它们的关系叫作正比例关系。图中横轴表示时间，纵轴表示工程量，可计算出几组相对应的工程量与所用时间的比值，如果比值一定，则工程量与时间成正比例关系；
（2）观察统计图可知，这个图像是一条直线；
（3）由（1）问可知，工程量与时间成正比例关系，工程量和时间的比值为5，即工程量÷时间＝5，所以时间＝工程量÷5，据此解答。
【解答】（1）
……
综上可知，
所以工程量与时间成正比例关系，因为工程量与时间的比值一定。
（2）观察统计图可知，这个图像是一条直线；
（3）（天）
答：修完一条75千米的道路需要15天。
11．如图，一根弹簧挂上物体（质量不超过40千克）后长度会成比例伸长，下图表示一个物体的质量和弹簧伸长的长度之间的关系。
（1）物体的质量与弹簧伸长的长度成（ ）比例。
（2）如果挂上8千克的物体，那么弹簧应伸长（ ）厘米。
（3）要使弹簧伸长8厘米，应挂上（ ）千克的物体。
【答案】（1）正
（2）2
（3）32
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，由题，2∶0.5＝4∶1＝4（一定），即物体的质量∶弹簧伸长的长度＝4（一定），所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例；
（2）挂上8千克的物体，8千克＜40千克，弹簧长度会成比例伸长，那么弹簧伸长的长度＝物体的质量÷4，据此代入数据解答；
（3）由（1）可知，物体的质量＝弹簧伸长的长度×4，据此代入数据解答。
【解答】（1）2∶0.5＝4∶1＝4（比值一定）
所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。
（2）8÷4＝2（厘米）
所以挂上8千克的物体，弹簧应伸长2厘米。
（3）8×4＝32（千克）
所以要使弹簧伸长8厘米，应挂上32千克的物体。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量以及正比例的应用题；两个量是对应的比值一定，这两个量成正比例关系；两个量的乘积一定，则这两个量成反比例关系。
12．一种彩带每米售价5元，购买2米、3米各需要多少元？
（1）把下表填写完整。
长度米 1 2 3 4 5
总价元 5
（2）根据表中的数据，在下图中描出长度和总价所对应的点，再把它们按顺序连起来。
（3）购买彩带的长度和需要的钱数成什么比例？你是根据什么判断的？
（4）根据图象判断，购买3.5米彩带需要多少元？
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）正比例；正比例意义
（4）17.5元
【分析】（1）彩带每米5元，由此可知，2米10元；3米15元；4米20元；5米25元，据此填上表格；
（2）根据表格提供的信息，1米5元；2米10元；3米15元；4米20元；5米25元，据此描点连线；
（3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；据此解答；
（4）根据图象，找出3.5米对应的钱数。
【解答】（1）
长度米 1 2 3 4 5
总价元 5 10 15 20 25
（2）
（3）钱数÷米数＝5（一定），长度和需要的钱数成正比例；根据正比例意义进行辨别；
（4）从统计图看出，3.5米彩带需要的钱数是17.5元。
【点评】根据题意，找出先关单量，填表格，画出图像；以及正比例意义和辨别、反比例意义和辨别进行解答。
一、选择题
1．下面的式子，（ ）中与成正比例。
A． B． C． D．
2．甲、乙、丙进行400米赛跑（假设他们的速度保持不变）。当甲到达终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有58米。那么，乙到达终点时，丙离终点还有（ ）米。
A．18 B．20 C．22 D．24
3．10枚硬币摞在一起高1.9厘米，照这样推算，一百万枚1元硬币摞在一起大约有多高（ ）。
A．190米 B．1900米 C．19千米 D．190千米
4．如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油关系。根据图像判断，行驶125千米耗油（ ）升。
A．9 B．10 C．11 D．12
5．①订阅《小学生学习报》的钱数和份数；
②一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数；
③正方形的周长和边长；
④圆的半径和面积。
在上面各题中，两种相关联的量成正比例关系的有（ ）个。
A．1 B．3 C．2 D．4
二、填空题
6．下面题的三种量中，当其中一种量一定时，另外两种量成什么比例？
A×B＝C（A、B、C均不为0）。
(1)当A一定时，( )和( )成( )比例。
(2)当B一定时，( )和( )成( )比例。
7．小芳买6本同样的练习本用去9元，小吴买同样的9本练习本用去13.5元。他们买练习本的本数比是( )，买练习本的总价比是( )。( )一定，( )和( )成( )比例。
8．上午11：00在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是 米。
9．一个弹簧的长度与所挂物质的质量之间的关系如下表所示。表格中，如果所挂物体的质量是8千克，那么弹簧的长度是( )厘米，如果弹簧的长度是21.6厘米，那么所挂物体的重量是( )千克。
弹簧的长度cm 13.6 14.4 16.8 x 21.6
所挂物体的质量kg 2 3 6 8 y
10．小刚骑行的基本信息如图。根据图像显示，小刚骑行的( )和时间成正比例。看图可知，他骑行3千米，需要( )分钟；骑行5分钟，大约骑了( )米（保留整数）。
三、解答题
11．一辆汽车行驶的时间和路程情况如下图：
根据图像判断，这辆汽车行驶的路程和时间成什么比例？
12．兰兰坐爸爸的车去看望爷爷，她每过10分钟记录一次汽车里程表上的读数，结果如下：
时刻 9：10 9：20 9：30 9：40 9：50 …
里程表读数/km 31220 31235 31250 31265 31280 …
（1）这辆汽车行驶的路程和时间成正比例关系吗？为什么？
（2）如果9：50离爷爷家还有45千米，照这样的速度，他们什么时刻可以到达爷爷家？
13．下面是某工程队修路情况统计图像，表示时间和工程量的关系。
（1）工程量与时间成正比例关系吗？为什么？
（2）这个图像有什么特点？
（3）利用图像估计一下，修完一条75千米的道路需要多少天？
14．订阅《小学科技报》的数量和总价如下表：
数量份 1 2 3 4 5
总价元 25 50 75 100 125
（1）写出几组相对应的订阅的总价和数量的比，并求出比值。
（2）这个比值表示的实际意义是什么？
（3）订阅的总价和数量成正比例吗？为什么？
参考答案
1．【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。根据以上知识逐项进行分析即可得到答案。
【解答】A．，与的和一定，故与不成正比例；
．，即与的商一定，故与成正比例；
．，即与的乘积一定，故与不成正比例；
．，即与的乘积一定，故与不成正比例。
故答案为：B
2．【分析】根据题意，当甲到达终点时，甲跑了400米，乙跑了米，丙跑了米。他们的速度保持不变，所以速度比不变，速度＝路程÷时间，故相同的时间，他们的路程比不变。假设当乙到达终点时，丙跑了米，根据乙和丙的路程比不变，列比例方程为，400米减去丙跑的路程，即可算出此时丙离终点还有多少米。
【解答】当甲到达终点时，乙跑了：（米）
当甲到达终点时，丙跑了：（米）
设当乙到达终点时，丙跑了米，
（米）
即当乙到达终点时，丙离终点还有20米；
故答案为：B
3．【分析】根据题意可知，硬币的总高度÷硬币的数量＝每枚硬币的高度（一定），据此可知硬币的总高度和硬币的数量成正比例，列比例为x∶1000000＝1.9∶10，然后解比例即可，最后把单位换算。
【解答】解：设一百万枚1元硬币摞在一起大约有x厘米高。
x∶1000000＝1.9∶10
10x＝1000000×1.9
10x＝1900000
x＝1900000÷10
x＝190000
190000厘米＝1900米＝1.9千米
一百万枚1元硬币摞在一起大约1900米高。
故答案为：B
【点评】本题可用比例解决问题，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。
4．【分析】根据图可知，这个直线是经过原点的直线，由此即可知道耗油量和路程成整正比例关系，可以设行驶125千米耗油量x升，即16∶200＝x∶125，再解比例方程即可。
【解答】根据图可知，耗油量和路程成正比例关系。
解：设行驶125千米耗油x升
16∶200＝x∶125
200x＝16×125
200x＝2000
x＝2000÷200
x＝10
故答案为：B
【点评】解答此题的关键是根据图中数据分析出路程与耗油量的关系，根据此关系即可解决问题。
5．【分析】比值（商）一定的两个量成正比例关系。据此分析解题。
【解答】①总价÷数量＝单价（一定），那么订阅《小学生学习报》的钱数和份数成正比例关系；
②吃掉的大米＋剩下的＝一袋大米，那么一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数不成比例；
③周长÷边长＝4，那么正方形的周长和边长成正比例关系；
④面积÷半径÷半径＝3.14，那么圆的半径和面积不成正比例关系。
所以，两种相关联的量成正比例关系的有2个。
故答案为：C
6．【分析】根据正比例的意义，两种相关联的量，一种量变化时，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（或商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。所以当A一定时，C÷B的商一定，所以B和C成正比例；当B一定时，C÷A的商一定，所以A和C成正比例。
【解答】（1）当A一定时，B和C成正比例。
（2）当B一定时，A和C成正比例。
7．【分析】两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，分别写出本数比和总价比，化简即可。两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系。
【解答】6∶9＝（6÷3）∶（9÷3）＝2∶3
9∶13.5＝90∶135＝（90÷45）∶（135÷45）＝2∶3
9÷6＝1.5（元）、13.5÷9＝1.5（元），总价÷本数＝单价（一定）
他们买练习本的本数比是2∶3，买练习本的总价比是2∶3。单价一定，总价和本数成正比例。
8．【分析】根据题意可知，在同一时间、同一地点，影长与实际长度的比值一定，那么影长与实际长度成正比例关系，由此列出正比例方程，并求解。
【解答】解：设学校旗杆的高度是米。
25∶50＝4.5∶
25＝50×4.5
25＝225
＝225÷25
＝9
学校旗杆的高度是9米。
9．【分析】用14.4厘米减去13.6厘米，计算出弹簧增加的长度，再除以这两个长度所对应的质量差，即可计算出每增加1千克，弹簧伸长了多少。再算出弹簧的原长即可。
【解答】（14.4－13.6）÷（3－2）
＝0.8÷1
＝0.8（厘米）
13.6－0.8×2
＝13.6－1.6
＝12（厘米）
12＋8×0.8
＝12＋6.4
＝18.4（厘米）
（21.6－12）÷0.8
＝9.6÷0.8
＝12（千克）
如果所挂物体的质量是8千克，那么弹簧的长度是18.4厘米，如果弹簧的长度是21.6厘米，那么所挂物体的重量是12千克。
10．【分析】根据正比例图像的特点：正比例的图像是一条经过原点的射线，由此即可知道小刚骑行的路程和时间成正比例；通过图观察，当骑行3千米的时候，用了9分钟；根据正比例的含义，两个相关联的量比值一定，则成正比例，即＝＝，由此即可知道路程＝×时间，当骑行5分钟的时候，把时间等于5分钟代入式子，×5，算出结果再保留到整数即可。
【解答】由分析可知小刚骑行的路程和时间成正比例；
他骑行3千米，需要9分钟；
×5＝≈1667（米）
【点评】熟练掌握正比例的图像并灵活运用。
11．【分析】观察图形，纵轴表示时间，横轴表示路程，判断路程和时间成何比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，据此解答。
【解答】用路程除以时间：
60÷1＝180÷3＝240÷4＝60（一定）
也就是路程÷时间＝速度（一定）
所以路程和时间成正比例。
答：这辆汽车行驶的路程和时间成正比例。
12．【分析】（1）这辆汽车行驶的路程随着时间的变化而变化。计算每10分钟汽车行驶的路程可知，31235－31220＝15（千米），31250－31235＝15（千米），31265－31250＝15（千米），31280－31265＝15（千米）。这辆汽车行驶的路程和时间成正比例关系。因为汽车行驶的路程和时间是两个相关联的量，汽车行驶的路程和时间的比值一定，所以这辆汽车行驶路程和时间成正比例关系。
（2）由（1）可知，10分钟的路程为15千米，45里面有多少个15就有多少个10分钟，再用9：50加上走45千米的时间即可解答。
【解答】（1）这辆汽车行驶的路程和时间成正比例关系；因为汽车行驶的路程和时间是两个相关联的量，汽车行驶的路程和时间的比值一定，所以这辆汽车行驶路程和时间成正比例关系。
（2）（45÷15）×10
＝3×10
＝30（分）
9：50＋30分钟＝10：20
答：他们10：20可以到达爷爷家。
13．【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量中对应的两个数的比值一定，它们的关系叫作正比例关系。图中横轴表示时间，纵轴表示工程量，可计算出几组相对应的工程量与所用时间的比值，如果比值一定，则工程量与时间成正比例关系；
（2）观察统计图可知，这个图像是一条直线；
（3）由（1）问可知，工程量与时间成正比例关系，工程量和时间的比值为5，即工程量÷时间＝5，所以时间＝工程量÷5，据此解答。
【解答】（1）
……
综上可知，
所以工程量与时间成正比例关系，因为工程量与时间的比值一定。
（2）观察统计图可知，这个图像是一条直线；
（3）（天）
答：修完一条75千米的道路需要15天。
14．【分析】（1）写出订阅的总价和数量的比，求出比值即可；
（2）总价与数量的比值表示的是单价，可根据比的意义写出数量关系．
（3）根据正比例的意义进行解答即可。
【解答】（1）25∶1＝50∶2＝75∶3＝125∶5＝25
（2）订阅的总价和数量的比值表示的实际意义是《小学科技报》的单价；
（3）因为单价一定，所以订阅的总价和数量成正比例。
【点评】本题主要考查了学生对正比例意义的掌握情况。

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