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4.2 比例的基本性质
学习重难点 学习目标
1、认识比例的内项和外项，掌握比例的基本性质。(重点) 2、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例。(重点) 3、理解用比例的基本性质解比例的过程和方法。(重点) 4、会用比例的基本性质解决简单的实际问题。(难点) 1、认识比例的内项和外项，探索并掌握比例的基本性质。 2、会用比例的基本性质判断两个比能否组成比例、解比例及解决简单的实际问题。 3、培养应用数学的意识和灵活解决问题的能力。
知识点一比例的各部分名称及比例的基本性质
1、组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
2、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。如果用字母表示比例的四个项，即a：b=c：d，那么这个规律可以表示成：axd=bxc。
知识点二解比例
1、解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。求比例中的未知项的过程是解比例，解比例时先利用比例的基本性质把比例转化成乘法，再利用等式的性质解方程。
题型一比例的基本性质
1．如果 a∶和b∶能组成比例，那么（ ）。
A．a＝b B．a＝6b C．b＝a
【答案】B
【分析】比例的意义：比值相等的两个比能组成比例。比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
已知a∶和b∶能组成比例，那么它们的比值相等，即a∶＝b∶，再根据比例的基本性质，改写成a×＝b×，进而得出a与b的关系。
【解答】a∶＝b∶
a×＝b×
a＝b×÷
a＝b××
a＝6b
b＝a
如果 a∶和b∶能组成比例，那么a＝6b。
故答案为：B
2．已知（A、B均不为0），那么A∶B＝（ ）。
A．3∶4 B．4∶3 C．3∶7
【答案】A
【分析】根据比例的基本性质，把等式改写成比例的形式，使A和做比例的外项，B和做比例的内项，再根据比的基本性质化简即可。
【解答】由知：A∶B＝∶
∶＝（）∶（）＝3∶4
故答案为：A
3．甲数的等于乙数的（甲乙两数均不为0），甲、乙两数的最简比是（ ）。
A．3∶7 B．7∶3 C．2∶7 D．4∶21
【答案】A
【分析】由“甲数的等于乙数的”可得出等式：甲×＝乙×，然后利用比例的基本性质改写成比例式，再化简比即可。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【解答】甲×＝乙×
甲∶乙＝∶
＝（×21）∶（×21）
＝6∶14
＝（6÷2）∶（14÷2）
＝3∶7
甲、乙两数的最简比是3∶7。
故答案为：A
题型二根据比例的基本性质判断比例
4．一个比例的两个内项都是4，且两个比的比值都是5，这个比例是( )。
【答案】20∶4＝4∶
【分析】比例中，两内项之积等于两外项之积；比值×后项＝前项，所以用4×5求出其中一个外项，再用两内项之积（4×4）除以其中一个外项即可得到另一个外项，最后写出比例即可。
【解答】4×4÷（4×5）
＝16÷20
＝
所以，4×4＝20×＝16，则这个比例的两个内项都是4，且两个比的比值都是5，这个比例是（20∶4＝4∶）。
5．有2、5、8三个数，再添上( )就可以组成比例，组成的比例是( )。（写出一种情况即可）
【答案】20 2∶5=8∶20
【分析】表示两个比相等的式子，叫做比例。已知有三个数，可先计算其中两个数的比值，例如2与5的比值，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。8为另一个比的前项，则可用8除以2得出扩大到到原来的几倍，再用5乘几，即可得另一个比的后项，据此写出比例即可。
【解答】
组成的比例是：2∶5=8∶20
有2、5、8三个数，再添上20就可以组成比例，组成的比例是2∶5=8∶20。（答案不唯一）
6．在一个比例里，两个比的比值都等于5，这个比例的两个内项分别为和，那么这个比例是( )或( )。
【答案】∶＝∶ ∶＝∶
【分析】可令比例的两个外项为a和b，分别写出两种情况：a∶＝∶b，a∶＝∶b，两个比的比值都等于5，由此可以分别计算出a和b，从而写出比例。
【解答】由分析可得：
第一种情况：
a∶＝∶b
a∶＝5，则a＝5×＝
∶b＝5，则b＝÷5＝×＝
则该比例写成：∶＝∶；
第二种情况：
a∶＝∶b
a∶＝5，则a＝5×＝
∶b＝5，则b＝÷5＝×＝
则该比例写成：∶＝∶；
综上所述：在一个比例里，两个比的比值都等于5，这个比例的两个内项分别为和，那么这个比例是∶＝∶或∶＝∶。
题型三根据比例的基本性质求某个项
7．在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.25，另外一个内项是( )。
【答案】4
【分析】倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；据此解答。
【解答】两个内项互为倒数，则它们的乘积是1，
1÷0.25＝4
在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.25，则另一个外项是4。
8．比例5∶3＝15∶9的内项3增加6，要使比例成立，外项9应该增加( )。
【答案】18
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。内项3增加6变为9，根据比例的基本性质，求出现在两个内项的积，再除以其中的一个外项5，求出现在的另一个外项，最后用现在的外项减去9即可解答。
【解答】3＋6＝9
15×9÷5－9
＝135÷5－9
＝27－9
＝18
则外项9应该增加18。
9．在一个比例中，两个内项正好互为倒数，已知一个外项是，另一个外项是( )。
【答案】
【分析】根据题意，两个内项互为倒数，即两个内项的积等于1，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，则两个外项的积也等于1，用1除以其中一个外项，即可求出另一个外项，据此解题。
【解答】1÷
＝1×
＝
所以另一个外项是。
题型四解比例
10．解比例。
∶36＝3∶54
【答案】；；
【分析】（1）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以54，计算即可得解；
（2）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解；
（3）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。把等式转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解。
【解答】∶36＝3∶54
解：
解：
解：
11．解方程（比例）。
1.2∶x＝0.3∶4.5 1－40%x＝
【答案】x＝18；x＝2
【分析】（1）根据比例的基本性质，把等式转化为，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以0.3，计算即可得解；
（2）根据减数等于被减数减差，把等式转化为40%x＝1－，先计算等式右边的减法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以0.4，计算即可得解。
【解答】1.2∶x＝0.3∶4.5
解：0.3x＝1.2×4.5
0.3x＝5.4
0.3x÷0.3＝5.4÷0.3
x＝18
1－40%x＝
解：0.4x＝1－
0.4x＝0.8
0.4x÷0.4＝0.8÷0.4
x＝2
12．解方程或比例。

【答案】；
【分析】（1）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。将比例转化为一般方程，先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以3，计算即可得解；
（2）先计算等式左边的加法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解。
【解答】
解：
解：
题型五比例的应用
13．一种洗衣液，洗涤1千克衣物要放入12毫升洗衣液。妈妈要洗涤3千克衣物，应放入这种洗衣液多少毫升？
【答案】36毫升
【分析】根据题意可知，洗涤液的用量与洗涤衣物的质量的比值一定，据此可列出比例方程，并求解。
【解答】解：设放入这种洗衣液毫升。
12∶1＝∶3
1×＝12×3
＝36
答：放入这种洗衣液36毫升。
14．调两杯红糖水，第一杯放了18克红糖和200克水，第二杯放了300克水。要使两杯红糖水同样甜，应在第二杯中加入多少克红糖？
【答案】27克
【分析】由题意可知，要使两杯红糖水同样甜，我们可以设应在第二杯中加入克红糖，根据等量关系“红糖∶水＝18：200”列出比例解答即可。
【解答】解：设要使两杯红糖水同样甜，应在第二杯中加入克红糖。
∶300＝18∶200
200＝300×18
200＝5400
200÷200＝5400÷200
＝27
答：要使两杯红糖水同样甜，应在第二杯中加入27克红糖。
15．一段圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，小强和小盛想通过做实验来求得圆柱形钢材的体积。小强将圆柱形钢材全部取出后，观察到水面下降了10厘米。小刚又将圆柱形钢材竖直插入水中12厘米，发现水面上升了6厘米。现在只知道圆柱形钢材的底面半径是4厘米，你能帮小强和小刚算出圆柱形钢材的体积吗？
【答案】
1004.8立方厘米
【分析】由题意知：整段圆柱形钢材的体积对应着10厘米水的体积；竖直插入水中12厘米，发现水面上升了6厘米，则12厘米圆柱形钢材的体积对应着6厘米高的水的体积，可设钢材高x厘米，据此可写出比例：，解此比例求得钢材的高度，再根据圆柱的体积公式，将数值代入计算即可求得钢材的体积。据此解答。
【解答】解：设圆柱形钢材高厘米。
6x＝10×12
6x＝120
6x÷6＝120÷6
x＝20
＝
＝
＝1004.8（立方厘米）
答：圆柱形钢材的体积是1004.8立方厘米。
一、选择题
1．比例5∶3＝15∶9的内项“3”增加6，要使比例成立，外项“9”应增加（ ）。
A．6 B．18 C．27
2．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是5，另一个内项是（ ）。
A．1 B．0.2 C．5 D．0.5
3．在一个比例中，一个内项乘4，要使比例仍然成立，下面说法正确的是（ ）。
A．另一个内项乘4 B．一个外项乘4 C．一个外项乘 D．另一个内项减4
4．如果x∶＝∶，那么x＝（ ）。
A． B． C．1 D．
5．一种农药的药液和水的比是1∶2000，现有药液650g，应该加水（ ）kg。
A．325 B．1300000 C．1300 D．0.325
二、填空题
6．一个比例的两个内项都是4，且两个比的比值都是5，这个比例是（ ）。
7．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。
15∶3＝（ ）∶1 2∶0.5＝1.2∶（ ）

8．在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是（ ）和（ ）。
9．明明调制两杯红糖水。第一杯放了18克红糖和200克水。第二杯中有水300克，如果和第一杯一样甜，应在其中加入红糖（ ）克。
10．如果在10升水里加入18毫升的一种洗衣液效果最好，那么在80升水里加入这种洗衣液，要使效果最好，要加入 毫升洗衣液。
三、计算题
11．解比例。

四、解答题
12．两个铜制品，一个体积是15立方厘米，重133.5克。另一个体积是20立方厘米，重多少克？
13．两个外项的积加上两个内项的积的和是180，其中一个外项是5，另一个外项是多少？一个内项是6，另一个内项是多少？
14．根据比例24∶8＝9∶3回答下列问题。
（1）如果第一项24减6，第二项变成几才能使等式成立？
（2）如果第三项乘2，第四项应该怎样变化才能使等式成立？
15．王强按表中的比例配制一种盐水。
盐的质量/克 水的质量/克
5 20
（1）如果用12克盐配制这样的盐水，需要加入多少克水？
（2）如果要配制这样的盐水2千克，需要加入多少千克盐？
16．李叔叔每个月的工资收入是元，如图是他五月份工资的安排情况统计图。
（1）购书费占工资的_________。
（2）李叔叔四、五月份的生活费之比为，四月份他的生活费是多少钱？（用比例解答）
（3）李叔叔将五月份的储蓄金存入银行，存期为两年定期，年利率为，到期支取时，他可以得到多少利息？
参考答案
1．【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积；内项3增加6，现在的内项为（3＋6＝9），则现在两个内项的积为：9×15＝135；两个外项的积也是135，外项5不变，用135除以5计算出另一个外项；最后用现在的另一个外项减去9，即为外项9应该增加多少。
【解答】3＋6＝9
现在两个内项的积：9×15＝135
外项5不变，现在另一个外项是：135÷5＝27
外项9应增加：27－9＝18
因此比例5∶3＝15∶9的内项“3”增加6，要使比例成立，外项“9”应增加18。
故答案为：B
2．【分析】根据比例的基本性质可知，外项之积等于内项之积，结合倒数的意义，乘积为1的两个数互为倒数，所以两个外项的乘积为1，已知一个内项为5，即可求出另一个内项。
【解答】1÷5＝0.2
另一个内项是0.2。
故答案为：B
3．【分析】比例的两内项积＝两外项积，一个内项乘4，根据积的变化规律，则两内项积乘4，要使比例仍然成立，两外项积也要乘4，即其中一个外项乘4，或另一个内项除以4，据此分析。
【解答】根据分析，在一个比例中，一个内项乘4，要使比例仍然成立，一个外项乘4或另一个内项除以4。
故答案为：B
4．【分析】根据比例的基本性质，内项积＝外项积，解比例即可。
【解答】x∶＝∶
解：x＝×
x＝
x÷＝÷
x＝×
x＝1
故答案为：C
【点评】本题主要考查根据比例的基本性质来解比例。
5．【分析】根据题意，这种农药中药液和水的比是1∶2000，现有650g药液，要求需加多少kg水，可设需加入xg水，列比例为1∶2000＝650∶x，求解即可。
【解答】解：设需加入xg水。
1∶2000＝650∶x
x＝650×2000
x＝1300000
1300000g＝1300kg
所以，需要加入1300kg水才能配成这种农药。
故答案为：C
【点评】解答此题的关键是根据药液和水按1∶2000比例配制，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出比例解答。
6．【分析】比例中，两内项之积等于两外项之积；比值×后项＝前项，所以用4×5求出其中一个外项，再用两内项之积（4×4）除以其中一个外项即可得到另一个外项，最后写出比例即可。
【解答】4×4÷（4×5）
＝16÷20
＝
所以，4×4＝20×＝16，则这个比例的两个内项都是4，且两个比的比值都是5，这个比例是（20∶4＝4∶）。
7．【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。
【解答】15∶3＝（）∶1
15×1÷3
＝15÷3
＝5
2∶0.5＝1.2∶（）
0.5×1.2÷2
＝0.6÷2
＝0.3
＝
0.3×32÷4
＝9.6÷4
＝2.4
∶（）＝∶
×÷
＝÷
＝×2
＝
15∶3＝5∶1
2∶0.5＝1.2∶0.3
＝
∶＝∶
8．【分析】10以内的相邻的两个合数分别是8和9、9和10，再根据题意，可知组成比例的两个比，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，进而根据比各部分之间的关系，分别求出两个比的后项或前项，再写出比例得解。
【解答】当两个外项分别是8和9时，
前一个比的后项：8÷
＝8×
＝3.2
后一个比的前项：×9＝22.5
这个比例是8∶3.2＝22.5∶9
当两个外项分别是9和10时，
前一个比的后项：9÷
＝9×
＝3.6
后一个比的前项： ×10＝25
这个比例是9∶3.6＝25∶10
在一个比例式中两个比的比值等于，而这两个比例的两个外项是10以内的相邻的两个合数，这个比例是8∶3.2＝22.5∶9和9∶3.6＝25∶10。
【点评】此题主要考查比的前项＝比值×比的后项，比的前项÷比的后项＝比值的运用；也考查了合数的意义及比例的意义。
9．【分析】由题意可知，要使两杯红糖水同样甜，我们可以设应在第二杯中加入克红糖，根据等量关系“红糖∶水＝18∶200”列出比例解答即可。
【解答】解：设如果和第一杯一样甜，应在第二杯中加入克红糖。
明明调制两杯红糖水。第一杯放了18克红糖和200克水。第二杯中有水300克，如果和第一杯一样甜，应在其中加入红糖27克。
10．【分析】水与洗衣液的比是一定的，设要加入x毫升洗衣液，根据“水∶洗衣液＝10∶18”即可列比例解答。
【解答】解：设要加入x毫升洗衣液。
80∶x＝10∶18
10x＝80×18
x＝
x＝144
则要加入144毫升洗衣液。
【点评】此题是考查比的应用。列比例解答应用题与列方程相同，关键是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
11．【分析】根据比例的两个外项之积等于两个内项之积，将比例转化成方程后，方程两边同时除以2.5；
根据比例的两个外项之积等于两个内项之积，将比例转化成方程后，方程两边同时除以；
根据比例的两个外项之积等于两个内项之积，将比例转化成方程后，方程两边同时除以26；据此解答。
【解答】
解：
解：
解：
12．【分析】根据题意，铜的密度是一定的，即铜制品的质量与体积的比值是一定的，据此可以列出比例。比例的基本性质是两个外项的积等于两个内项的积，再据此解比例即可。
【解答】解：设重x克。
133.5∶15＝x∶20
15x＝133.5×20
15x＝2670
x＝2670÷15
x＝178
答：重178克。
13．【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此用180除以2可以求出两个外项的积，也是两个内项的积。用两个外项的积除以其中的一个外项，即可求出另一个外项；用两个内项的积除以其中的一个内项，即可求出另一个内项。
【解答】180÷2＝90
90÷5＝18
90÷6＝15
答：一个外项是5，另一个外项是18；一个内项是6，另一个内项是15。
14．【分析】（1）如果第一项24减6，第一项变成18，用两个外项的积除以第三项，求出第二项变成几才能使等式成立即可。
（2）根据比例的基本性质，如果第三项乘2，第四项应该乘2才能使等式成立。
【解答】（1）（24－6）×3÷9
＝18×3÷9
＝54÷9
＝6
答：第二项变成6才能使等式成立。
（2）（9×2）×8÷24
＝18×8÷24
＝144÷24
＝6
由3到6，第四项应该乘2才能使等式成立
答：第四项应该乘2才能使等式成立。
【点评】此题主要考查了比例的意义和基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出两个外项或两个内项的积的变化情况。
15．【分析】（1）要配制同样的盐水，可以根据比例的意义解答，据此设用12克盐配制这样的盐水，需要加入水克。根据盐∶水＝5∶20，列出比例为5∶20＝12∶，然后解出比例即可。
（2）同理，设要配制这样的盐水2千克，需要加入千克盐。根据盐∶盐水＝5∶（20＋5），列出比例为5∶（20＋5）＝∶2，然后解出比例即可。
【解答】（1）解：设需要加入水克。
5∶20＝12∶
5＝20×12
＝20×12÷5
＝48
答：需要加入48克水。
（2）解：设需要加入千克盐。
5∶（20＋5）＝∶2
5∶25＝∶2
25＝5×2
＝5×2÷25
＝0.4
答：需要加入0.4千克盐。
16．【分析】（1）将五月份的工资看作单位“”，再用“”减去生活费、储蓄、其他、水电费房租费解答即可；
（2）根据五月份的工资为元，生活费所占百分数为可知五月份的生活费，再根据四月份与五月份的生活费之比为即可解答；
（3）根据五月份的工资为元，储存所占百分数为可知五月份储存的金额为，再根据利息本金年利率存期解答即可。
【解答】（1）
答：购书费占工资的；
（2）设四月份李叔叔的生活费为元，
答：四月份李叔叔的生活费为元；
（3）
（元）
答：他可以得到元利息。
【点评】本题考查了扇形统计图，比例方程与实际问题，利息本金年利率存期，审清题意找准数量关系是解题的关键。

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