资源简介

2025～2026学年高三4月质量检测卷
数 学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无·效·，·在试·题·卷·、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.设集合M={2,3,4},N={1,2,3},则集合M∩N中的元素个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设复数z满足(1+zi)(1—i)=2i,则z=
A.2—i B.1-2i C.2+i D.1+2i
3.已知向量a=(1,—1),b=(x,—5),若a⊥b,则|a+b|=
A.2√13 B.√34 C.2√15 D.3√3
4.已知等差数列{an}的各项都是整数，且a +a2=2,a =5,则{an}的前5项和为
A.5 B.10 C.5或8 D.8或10
5.已知a∈(0,π),且2cos 2a—cosa=1,则sin(a+3)=
A.√2-16 B.√2+√6 c.3√5-√7 D.7-3√3
6.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),当x∈(0,1)时，f(x)=x2,则当x∈
(一4,96)时，函数y=2f(x)-x-1的零点个数为
A.95 B.96 C.97 D.98
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7.已知F ,F 分别是双曲线E:二=1的左、右焦点，点M在E的一条渐近线上，MF 与
r轴垂直，cos∠MF F =232,,则E的离心率为
A.√2 B.√3 c. D.3
8.已知函数f(x)=(√x+a)In2x+xln x-x,若0围是
A.(1,+∞) B.(0,1) C.[一，0] D.(一∞,一3]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90,92,95,96,98,95,95,95,93,95,则
A.该组数据的平均数为94 B.该组数据的众数与中位数相同
C.该组数据的极差为8 D.该组数据的方差为4.44
10.已知函数f(x)=sin (az+4>(u>0,Iφl<受)的最小正周期为π,若将其图象向左平移-4
个单位长度后得到的g(x)图象关于直线x=3对称，则
A.函数f(x)的图象关于点(6,0)对称
B.函数f(x)的图象关于直线：x=12对称
C.g()>f(笞)
D.g(x)在((9,35)上单调递增
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F斜率为2的直线与C交于A,B两点，
|AB|=10,过点F与AB不重合的直线与C交于D,E两点，分别以D,E为切点的C的两
条切线的交点为T,则下列结论正确的是
A.p=2 B.F(2,0)
C. |TF|的最小值为4 D.点T到AB中点的距离为5
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若定义在R上的奇函数f(x)满足x≥0时，f(x)=√x+1+a,则f(a)=____.
13.有4张相同的卡片，有一张卡片上标有数字0,有两张卡片上分别标有数字1,2,另一张卡片
的两面分别标有数字3,4,将这4个卡片摆在一起，使4张卡片上4个数字组成一个四位数，
则这样的四位数共有_____个.
14.已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为240,AB=2,△BCD是边
长为3的正三角形，AC=AD,则四面体ABCD的体积为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2(a+c)(sin A-sin C)=(2b—c)sin B.
(1)求sin A;
(2)若a=√15,求b+c的最大值.
16.(本小题满分15分)
有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用A,B,C三类药物.服药一段时
间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表：
A 5.2 5.5 6.2 6.5 6.3 5.8 5.4 6.0 5.3 5.8
B 5.5 6.0 5.6 5.0 5.7 6.2 6.4 5.9 5.7 5.1
C 5.1 4.9 5.3 5.2 5.5 6.2 5.7 5.5 5.8 5.6
已知该生理指标正常范围是(3.9,6.1).
(1)从服用A,B,C类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内
的概率；
(2)30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5,6.3,6.4,5.6,5.2,现从
这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分
布列和数学期望.
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17.(本小题满分15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形，AD⊥CD,
BC⊥CD,E为AD的中点，AP=AD=2,BC=CD=1.
(1)求证：BE⊥平面PAD; P
(2)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值；
(3)求平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值.
A D
B C
18.(本小题满分17分)
已知椭圆Ci:+=1(a >bi>0)与椭圆(Cz:+=1(a >b >0),过C2的右顶点A
与x 轴垂直的直线与C 的一个交点为B(2,25⑤),过C 的右焦点F作x 轴的垂线与C
的一个交点为(1,2).
(1)求C ,C 的方程；
(2)若斜率为k的直线OM交C 于点M,O是坐标原点，垂直于OM的直线ON交C 于
点N.
(i)求|MN|的最小值；
(ii)是否存在一个与直线MN相切的定圆 若存在，求出这个圆的标准方程；若不存
在，请说明理由.
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=(x+a)e,a∈R.
(1)判断函数f(x)在(一2,2)上的单调性；
(2)当一2是f(x)的一个极值点时，g(x)=(x—b)2 f(x),b∈R.
(1)求曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程(用b表示);
(ii)若x ,x ,x 是g(x)的3个极值点，将x ,x ,x 经过一定顺序排列后成等比数列，
且b∈(-∞,一2)u(2,3),求b的值.
【高三4月质量检测卷·数学 第4页(共4页)】2025～2026学年高三4月质量检测卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 因为M={2,3,4},N={1.2.3},所以M∩N={2,3},集合M∩N中的元素个数为2.故选B.
2.D 由(1+zi)(1—i)=2i得(1+i)z=-1+3i,所以z==1+3=(-1+2(1-=1+2i..故选D.
3.A 由a⊥b得x+5=0,所以x=-5,a+b=(-4,一6),|a+b|=√16+36=2√13.故选A.
4.A 设{a>的公差为d,由a +a2=2,a =5得a +(a +d)2=2,a +3d=5,所以a1=-—,d=Z或a =
一7,d=4.因为an是整数，所以a =-7,d=4,S=5u +524d=5..故选A.
5.D 由2cos 2a—cosa=1得4cos2a—cos a-3=0,又a∈(0,π),所以cosa=—2,sin a=7,所以
sin(a+号)= sin a+cosa=7-313.故选D.
6.B 因为当x∈(-1,0)时，x+1∈(0,1),2f(x)=f(x+1)=(x+1)2,2f(x)-x—1=0,x=-1,y=2f(x)
-x—1的零点为一1,当x<-1时，x+1<0,f(x)≥0,y=2f(x)-x—1没有零点，当0≤x<1时，f(x)=
x2,方程2x2=x+1无解，当n≤xr<96时，2f(x)=x+1有95个解，所以当x∈(-4,96)时，y=2f(x)-x—1的零点个数为96.故选B.
7.C E的渐近线方程为y=±x,,令F (一c,0),则|MF:I=,IFF |=2c.又 cos∠MF F =232,,所以
PF I=3、2..因为|PF I2=|PF I2+|F F I2,所以22=2+42,,所以a2=262=2(c2—a2),2c2=3u2,
所以离心率=△-..故选C.
8.D 令g(x)=xrln x—x,则g'(x)=In x,0g(x)>g(1)=-1,当a≥0时，(√x+a)In2x≥0,从而f(x)>-1,与0时，r()=-+4+-1na+tn =++学+2 nxi设h(x)=In x+4+4+2√x,h'(x)=
+√-2>0.h(x)在(0,+∞)上单调递增：b(1+a2)=In (1+42)+4++2√1+=
In(1+a2)+4+21+a3>0.,取x为—2a与e '中较小的值时，h(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一
一个零点xa,h(xn)=0,当0x时，h(x)>0,
①若“=-2,,则x =1,当x>0时，了(x)≥0.f(x)单调递增，所以0题意；
②若一30,则0f(1)=
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第1页(共6页)】
-1,与0③若a<-号，h(1)=6+4a<0,则x>1,当00,f(x)单调递增，所以0f(x)9.BCD 由90+92+95+96+98+95+95+95+93+95=944得该组数据的平均数为94.4,A错误；将该组数
据由小到大排列知该组数据的众数与中位数都是95,极差为98-90=8,BC正确；由(90-94.4)2+(92一
94.4)2+ +(95—94.4)2=44.4知方差s2=4.44,D正确.故选BCD.
10.BD 因为f(x)的最小正周期为π,所以2=π,①=2,所以f(x)的图象向左平移4个单位长度后得到
g(x)=sin[2(x+2)+4]=cos(2x+q)的图象，又g(x)的图象关于直线x=3对称，所以3+φ=kπ,
k∈Z,又lφl<2,所以k=1,φ=3,所以f(x)=sin(2x+),g(x)=cos(2x+3),f(晋)=sin3,A
错误；因为f()= sin 笞=-1,,所以f(x)的图象关于直线x=>对称，B正确；g()=cos=
cos2=一章，f(否)=sin8=sin2=3>g(笞),,C错误；由2kπ一π<2x+3<2kπ,k∈Z得kπ一
311. BC F(号，0),直线AB的方程为y=2(x一去),,直线AB的方程与C的方程联立，消去y得4.x2-6px+
p2=0,设A(xri,y ),B(r ,y ),则.x +x =3,xx =B.IAB|=x +x +p=笠=10,p=4,F(2,0),A
错误，B正确；设直线 DE的方程为x=1y+2,与y2=8x联立，消去x得y2-8ty—16=0,设DCx ,ys),
E(r ,y ),则y +y =8t,ysy =—16,以D为切点的C的切线方程为x一8=4(y-y),以E为切点的
C的切线方程为x一8=4(y-y),,两条切线方程联立，解得T(-2,41),所以|TF|的最小值为4,AB中
点为(3,2),当切点为A,B时，T(-2,2),所以点T到AB中点的距离大于5,C正确，D错误.故选BC.
12.1-√2 f(0)=1+a=0,a=-1,f(a)=f(一1)=-f(1)=—(√2-1)=1-√2.
13.36 标有数字3.4的卡片排首位时，四位数有2A=12个，标有数字1,2分别排在首位时，四位数有4A3=
24个，共36个.
14.3或3√ 取CD中点E,连接AE,BE,则CD⊥平面ABE,设球心为(,过( 作(XO ⊥平面BCD,垂
足为( ,则( 是△BCD的外心，O B=√3,取AB中点F,则OF⊥AB,在四边形(OBF中，OB等于球的
半径R,BF=1.由 4πR2=240,R2=0.,由OF2+BF2=R2=OC+O B得OF=—∞=3.
an ∠O BO= tan∠OBF=1,当点F与O 在OB两侧时，tan ∠O BA=tan(∠O BO+∠OBF)
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第2页(共6页)】
=-.,sin ∠0,BA=2号点A到平面BCD的距离d=ABsin ∠O BA=√,四面体ABCD的体积
为-3× 43a=34;当点F与O 在OB同侧时 tan ∠O,BA= tan(∠OBF-∠O,BO)=.
sin ∠O0.BA=5号,点A到平面BCD的距离d=ABsin ∠OBA=2√33,四面体ABCD的体积为3×
95=3√厘.
15.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及2(a+c)(sin A-sinC)=(2b—c)sin B,得2a2—2c2=262—bc, 1分
所以bc=2(b2+c2-a2), 2分
所以由余弦定理得cos A=+2e“=4,, 3分
由A∈(0,π)知 sin A>0,又 sin2A+cos2 A=1,
所以sin A=15 5分
(2)法一：在△ABC中，sinA=4,,由正弦定理得sin B sinC=4, 7分
所以b+c=4(sin B+sin C)=4sin B+4sin(A+B)=4sin B+4sinAcosB+4cosAsin B=5sin B+√15cosB
·9分
=2√10(1sin B+cos B)=2√10sin(B+0.其中锐角满足cos o=1 11分
当B+θ=2时，b+c取得最大值2√10,此时 cos B=sinθ=4, 12分
所以b+c的最大值2√10. 13分
法二：因为a=√15,bc=2(b2+c2-a2)=2(2+c2)-30,
所以(b+c)2=5(2+c2)—60, 7分
因为B+c2≥2hc,当且仅当b=c时，取等号，所以2(2+c2)≥(b+c)2, 9分
所以(b+c2=5(B+2)-60≥5(b+c)2-60,(b+c)2≤40, 11分
所以b+c≤2√10,b=c时，b+c的最大值为2√10. 13分
16.解：(1)因为服用A类药物的10名患者中，有7人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在
正常范围内的概率为 P =10, 2分
因为服用B类药物的10名患者中，有8人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范
围内的概率为 P =8=亏，, 4分
因为服用C类药物的10名患者中，有9人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范
围内的概率为P=10· 6分
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第3页(共6页)】
(2)因为5名患者中，3人生理指标在正常范围内，2人生理指标不在正常范围内，所以X的可能取值为0,
1,2 7分
P(X=0)=C=30 9分
P(X=1)=C=3, 11分
P(X=2)=C=1 13分
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P 30 35 1
故E(X)=0×3+1×3+2×÷=亏 15分
17.(1)证明：因为E为AD的中点，AD=2,所以AE=DE=1,
因为BC=CD=1.AD⊥CD,BC⊥CD,所以四边形BCDE是正方形，所以BE⊥AD 2分
因为PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以BE⊥PA,
因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以BE⊥平面PAD 3分
(2)解：如图，在平面ABCD中，过点A作AD的垂线为x轴，以A为坐标原点，向量2个p
AD,AP方向分别为y、≈轴建立空间直角坐标系.
则P(0,0,2),E(0,1,0),B(1,1,0),C(1,2,0) 4分
设平面PBE的法向量为m=(x,y,z),EB=(1,0,0),EP=(0,-1,2), A E Dy
PC=(1,2,-2), 5分xb
B
有声m--+2-.取z=1,得m=(0,2,1) 7分
设直线 PC与平面PBE所成的角为0则sin o—1cos1m一 9分
(3)解：在(2)的空间直角坐标系中，A(0,0,0),AP=(0,0,2),AB=(1.1,0) 10分
设平面PAB的法向量为n=(a,b,c),
则:-=4-一=取a=1,得n=(1,—1,0) 12分
cos(m:n>=-mn--可 14分
故平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值为√1-号=5. 15分
18.解：(1)由题意知C 的右焦点是F(1,0),由对称性知Ci的左焦点是F (一1,0),则|BF|+|BF |=2ai·
1分
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第4页(共6页)】
因为B(2,2√5)),所以|BF I=√ +专=75,IBFI=√1+4=355.
所以2a =755+35=2√5,a=√5, 2分
又a2—b=1,所以b=4,C 的方程为+星=1; 3分
由题意知a2=2,又((1.2)在C 上，所以4+46=1,,所以6=号，,所以C 的方程为+-1.
5分
(2)(i)当k=0,M为C 长轴端点，则N为C 短轴的端点，|MN|=√4+4=2√2, 6分
当k≠0时，设直线0M.y-kr.与+长-1联立·
解得 2=6k2+52=620+5,|OMI2=x2+y2=26k2+52,, 7分
因为OM⊥ON,所以直线ON的方程为y=-方x,与亏+4=1联立，
解得2=420+52=4k2+5,ION2=x2+y2=204k2+5, ·8分
所以|MNI2=|0MI2+1ONI2=(62°+5(4k2+5,, 9分
因为IMNI2-(2√22=(620+5)4R2+5)-8=(6+542+5>0,,所以|MNI>2√2, 10分
所以当k=0时，|MN|取得最小值，|MN|的最小值为2√2. ·11分
(ii)过原点O作OD⊥MN,垂足为D,OD是Rt△MON的斜边上的高，|MN||OD|=|OM||ON|,
当k=0时，|OM|=|ON|=2,|MN|=2√2,所以|OD|=√2, 13分
当k≠0时，由(1)知IOMI IoNI=√2O61+5).206+5=√(6E+5)-+4K8+5·
又IMNI=√620+5)(4R2+5,所以IOD|=1OMION=√2, 15分
所以k变化时，点O到直线MN的距离都是√2, 16分
所以存在圆x2+y2=2与直线MN相切. 17分
19.解：(1)f(x)的定义域为R.了'(x)=e+a(x+a)e=(ax+a2+1)e”, 1分
当a>0时，由f'(x)>0得>-a-—,f(x)在(-a-一，+∞)上单调递增， 2分
因为a>0时，a+1≥2,当且仅当a=1时取等号，所以-a-≤-2,· 3分
所以(-2,2)是(-a-一，+∞)的一个子区间，所以f(x)在(-2,2)上单调递增； 4分
当a=0时，f(x)=x在(-2,2)上单调递增； ·5分
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第5页(共6页)】
当a<0时，由f(x)>0得x<-a-—,,所以f(x)在(-∞,-a-!)」上单调递增， 6分
因为a<0时，.一a>0.-a-1≥2,当且仅当-a=-—a=-1时，取等号，
所以(-2,2)是(-∞,-u-!)的一个子区间，所以f(x)在(-2,2)上单调递增. 7分
综上，对于任意实数a,f(x)在(—2,2)上单调递增. 8分
(2)(i)因为一2是f(x)的一个极值点，所以了(—2)=(-2a+a2+1)c 2=0,所以a=1, 9分
所以g(x)=(r—b)2f(x)=(x—b)2(x+1)e,
g(x)的定义域为R,g'(x)=2(x—b)(x+1)e+(x—b)2(x+2)e=(x—b)(x2+4x—bx+2-2b)e,
10分
g(0)=B,g'(0)=2b-2b,所以曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程为y-B2=(262-2b)x,
即(262—2b)r-y+b2=0. ·11分
(ii)方程x2+4x—br+2—2b=0,
即x2+(4-b)x+2(1—b)=0的两个实数根为b-4-、√B2+8,b-4+、√B+8,
所以g'(x)=0的3个根为b.-4-2B+8,b-4+2√B+8,
因为g(x)有3个极值点，所以上述3个根互不相等，从而b≠-1,
z=b-4-√6+8.=b-4+√B+8.,=b.
将x ,r ,x 经过一定排列后成等比数列，则x r =x或xx=或r x =x2. 13分
当x r2=x经时，(b-4)2—(2+8=B,B2+2b-2=0,b=-1±√3.x,xr 成等比数列； 14分
当x xs=r时，.(b-4-2B+8b=(h-4+√B+8).
所以(2—b)√B2+8=6,(2—b)2(b2+8)=36,令h(x)=(2—x)2(x2+8),则h'(x)=2(x—2)(x2+8)+
2.r(r—2)2=2(r—2)(2x2-2x+8),
当x<2时，h'(r)<0,h(x)在(-∞,2)上单调递减，
因为h()=(2-去)2(1+8)<36,h(一去)=(2+÷)2(4+8)>36,又b∈(-∞,一—)U
(÷.3).,所以满足条件的b不存在； 15分
当r xs=xi时，(b-4+、B+8b=(2-4-26+8).(b-2)√G+8=6.
由h(x)在(2,+∞)上单调递增，b(3)=17<36,又b∈(-∞,一2)u(2,3),,所以满足条件的b不存在.
16分
综上，b=-1±√3. 17分
【高三4月质量检测卷·数学参考答案 第6页(共6页)】

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