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安徽铜陵市2026届普通高中高三下学期4月模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则( )
A. 经验回归直线必过点 B.
C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为
4.在中，点为边的中点，过点的直线与，两边或其延长线分别交于点，，设，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.某同学计划在高考结束以后外出毕业旅行，他准备在某地的处景点中选择处景点游玩，其中的景点和因距离相近，或者都去游玩，或者都不去，而景点和因景观相似，至多只去其中一处游玩则符合要求的选法种数为( )
A. B. C. D.
6.定义域为的偶函数满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列的首项，且满足，令，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
8.已知，为双曲线的左、右焦点，直线交双曲线右支于，两点，设，分别为和的内心，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 的图象关于中心对称
C. 在内单调递增
D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.如图，正方体的棱长为，点为棱的中点，点在正方体表面及其内部运动，则( )
A. 存在点，使得平面
B. 当时，直线与直线所成角的余弦值为
C. 当时，三棱锥的体积最小值为
D. 当点与点重合时，三棱锥的外接球表面积为
11.已知函数，若实数，满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数是 ．
13.已知是等比数列，，，则 ．
14.在复平面中，已知，，复数，对应的点分别为，，且满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
已知为边上一点，，若，求的值
若，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，．
求证：平面
若，，点在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆：．
若的焦距为，求的方程；
设的右顶点为，点在轴正半轴上．
若，且上存在一点，满足，求的值：
设线段的垂直平分线的斜率为，且与椭圆交于两点．若为钝角，求的取值范围．
18.本小题分
某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用若首次测试通过，即合格，若测试未通过，则需进行第二次测试，测试通过，即合格否则为不合格，不能投入使用已知测试通过率为，测试通过率为．
若某批次生产了辆无人投递车，合格的数量为计算随机变量的期望与方差
已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试的概率
该工厂声称其随机抽取的辆无人投递车合格率为，请结合材料和材料说明该工厂提供的合格率是否可信
材料设随机变量的期望为，方差为，则对任意正数，均有．
材料当随机事件发生的概率小于时，可称该事件为小概率事件．
19.本小题分
已知函数．
时，对任意，有“”是“”的充分条件，求的取值范围；
若对任意，函数有两个零点．
求的范围；
在的条件下，求当两个零点距离最小时的值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：设，由得，．
在中，由余弦定理得：，
即，化简得：，
在中，由余弦定理得：，
即，化简得：，
在中，由余弦定理：，
即，解得；
同理，即，解得 ，
将代入：，化简得，解得，
在中，由余弦定理得
由正弦定理，因，故，
则，化简得，
即，解得．
由余弦定理，
即，解得或，
当时，，，，由得，
此时，，，，矛盾，舍去；
故．
16.解：证明：连接，，设，连接，
菱形中，，，且，
因，所以，
，平面，，
所以平面
，所以，又，，
所以，，三直线两两互相垂直，从而以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立图示空间直角坐标系，
，，则是等边三角形，所以，，
又，从而，
所以，
设，
，，
因平面，则，解得，
从而，，
设平面的法向量为，
则，取，
又知平面平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：由题可得，，，所以，
故的方程为．
如图，作出符合题意的图形，
若，则的方程为，
因为，所以，且，
将代入，解得．
如图，作出符合题意的图形，
因为，则，即．
设线段的中点为，则，
可得直线的方程为，即．
设，，联立
得，
所以，．
又，，
所以
，
又，所以解得．

18.解：设事件为“测试通过”，事件为“测试通过”，则车辆合格的概率为：
由于辆无人投递车的合格情况相互独立且每辆车合格概率为，故．
，
．
设事件为“车辆合格”，
．
当时，，．
工厂声称合格率为，即合格数量．
．
因为，根据材料，该事件为小概率事件，故工厂提供的合格率不可信．
19.解：当时，，
又任意，有“”是“”的充分条件，
所以，所以在上单调递增，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
令，，所以在上单调递减，
所以，所以．
因为，
所以有两个不相等的根，且两根均不为零，故．
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
所以对任意都成立，
设，，
当时，；当时，，
所以当时，取最大值为，
所以；
由中条件及结论可得，
结合中结论可得．
因为为的两个非零实数根，
故，，
不妨设，则，故，
故，故，故，
所以，
设，，，
，当时，；当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
故当时，且．
而，
设，则，
故在上为减函数，故，故，
故在上为减函数，且时，，时，，
故在上的值域为．
又中，且，
故在上为减函数，
而，时，，故的值域为．
故取最小值当且仅当取最大值，
即当且仅当取最小值即当且仅当取最小值即．
所以最小时，．

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