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福建省福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.某次测试中，某人的成绩单位：分分别为：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数为增函数，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的体积为，，，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有且仅有个极值点、、，且，则( )
A. 为奇数 B. 为奇数
C. 若，则 D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，分别为的中点，则( )
A. B. 平面 C. D. 平面
10.已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 在区间单调递增
C. 的一个对称中心是
D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到
11.已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，直线交于另一点，则( )
A.
B. 的内心在定直线上
C. 若，则
D. 若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量，满足，则 ．
13.为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是 用数字作答
14.已知数列满足，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，．
若，求的面积；
点在边上，，为中点，且，求角的大小．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知椭圆的短轴长为，离心率为过的右焦点的直线交于，两点，过的中心的直线交于，两点．
求的方程；
若，求直线的方程．
18.本小题分
某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为
其中，．
当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．
求该顾客为幸运客户的概率；
若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围．
19.本小题分
已知平面，垂足为，直线，是内的动点，且始终在的两侧．
若，证明：是锐角三角形；
若，是线段上靠近的三等分点，．
证明：二面角为锐角；
直线与所成的角分别为，记若平面，且不是任何一个长方体的截面，求的最小值．
参考答案
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12.
13.
14.
15.解：设，由余弦定理，得，
即，，
求得或不合要求，舍去，即，
所以．
因为，为中点，所以，，
在中，由正弦定理，得，
又，即，
又，所以，
因为，所以，故，故，
其中，，
所以，所以，
所以．
因为，所以．

16.解：函数的定义域为，．
当时，因为，所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
解法一：当时，，在单调递增，此时存在，使，
不符合题意，舍去；
当时，显然成立；
当时，令，得，令，得；
所以在单调递减，在单调递增．
所以，解得．
综上所述，的取值范围为．
解法二：由已知，得．
当时，可得因为，所以，又因为时，，
所以；
当时，恒成立，所以；
当时，可得．
令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，所以．
综上所述，的取值范围为．

17.解：依题意，得
解得
所以的方程为．
因为，所以，且．
设，，，，
显然直线的斜率不为零，可设直线的方程为，直线的方程为．

由得，可得，
所以
所以．
由得，所以．
则，又因为，
所以，解得，
所以直线的方程为．

18.解：由题可知，，化简可得，
当时，，则，
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为．
设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，
则，，，．
依题意，得，，
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
所以，，
又由题意知，，且、、、两两互斥，
所以，
由得，，代入化简可得，
所以，；
设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
依题意，得，且，、、两两互斥，
所以，
由得，，
所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
，
由题意，可得，解得，
又因为，所以．

19.解：证法一：因为平面，，所以，．
不妨设，且，
因为，所以，，，
所以，所以为的最大内角．
由余弦定理，得，
所以，所以是锐角三角形．
证法二：因为平面，，所以，．
又因为，故可以为原点，分别为轴，轴和轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，所以，在中，
，所以为锐角，
，所以为锐角，
，所以为锐角，
所以是锐角三角形．
证法三：因为平面，，所以，．
又因为，所以在中，
，所以为锐角，
，所以为锐角，
，所以为锐角，
所以是锐角三角形．
因为，在上，且，
由对称性知在同一个轨迹上，且轨迹关于对称，
故以为原点，分别为轴和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，因为，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，故，即，
故，，，
依题意得，化简得，
且，即，故，又点不在直线上，故，同理，，且，
故在坐标平面中，是双曲线右支上的动点，且在轴的两侧，如图．
因为的两条渐近线分别为和，它们的夹角为，所以．
因为平面平面，，，
所以是二面角的平面角，所以二面角为锐角．
解法一：因为不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形．
证明如下：
若为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面．
由知，若是长方体的截面，则是锐角三角形，
所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形．
由知，，所以，又因为，，
所以，故．
因为，所以分别是直线与所成的角，即，
不妨设，则，且，所以，，
且．
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过，
所以，所以，
这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，
直线过点，，，求的最小值．
如图，不妨设点在第四象限，则，因为都在双曲线的右支，故，
即，所以，又，，
即且，解得，
所以，
当，即时，等号成立．
故的最小值为．
解法二：因为不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形．
证明如下：
若为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面．
由知，若是长方体的截面，则是锐角三角形，
所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形．
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过．
在平面直角坐标系中，设直线的方程为，
联立得，
依题意，有且
因为，所以．
因为，
所以
，
，
同理，
不妨设，则必有．
因为，
因为且，所以，代入上式得到
，
所以，
又因为，所以．
因为，所以分别是直线与所成的角，即，
因为，所以，所以，所以，
，
当，即时，等号成立．
故的最小值为．
解法三：因为不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形．
证明如下：
若为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面．
由知，若是长方体的截面，则是锐角三角形，
所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形．
由知，，所以，又因为，，
所以，故．
因为，所以分别是直线与所成的角，即，
不妨设，则，且，所以，，
且．
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过，
所以，所以．
这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，
直线过点，，求的最小值．
如图，不妨设点在第四象限，因为，所以点在以为直径的圆内含边界，记
圆与双曲线在第四象限的交点为，则．
因为在渐近线的上方，故，而，故，
即直线与双曲线右支有两个交点，符合条件．所以当点位于点时，最大，则最小．
联立，得，解得或舍去，
故当，即时，的最小值为．
故的最小值为．

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