资源简介

2026年天津市部分区高考数学质检试卷（一）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是( )
A.
B. 成绩在的频数为
C. 成绩中位数在内
D. 成绩平均数在内
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
9.已知球是棱长为的正方体的内切球，则球与三棱锥的公共部分的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，复数______．
11.在的展开式中，的系数为 结果用数字表示
12.已知圆：，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则 ．
13.现有名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这名学生中至少有人用英语回答问题的概率为 ；记用英语回答问题的学生人数为，则的数学期望 ．
14.已知是内一点，若，，且，，三点共线，则的值为 ；若，，向量在向量上的投影向量为，则 ．
15.函数，若恰有四个不同零点，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与轴交于点，过点与直线平行的直线交轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程．
19.本小题分
已知是单调递增的等差数列，其前项和为，为等比数列，，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ若，记数列的前项和为．
求；
求证：．
20.本小题分
设函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ讨论的单调性；
Ⅲ设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.解：Ⅰ因为，
由余弦定理可知；
Ⅱ由，
因为，
由，
由Ⅰ可知，
所以，
于是；
Ⅲ由Ⅱ可知：，
在中，因为，所以，
因此，
于是，
，
由Ⅰ可知，由可知，所以．
17.解：证明：取中点，连接，，如下图所示：
因为为中点，为中点，所以，
又因为，所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因为为中点，为中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
因为，则以为原点，所在直线为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，则，故，
所以，取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，则，故，
所以，取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，又，
所以；
因为，为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，
所以点到平面的距离为．
18.解：Ⅰ因为椭圆过点，且离心率为，
所以，解得，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ设的方程为，设，，
联立方程组，可得，
解得，则，
因为直线与椭圆有唯一公共点，所以直线与椭圆相切，
得到，解得，
由题意得，则的斜率是，
而过点与直线平行的直线交轴于点，则该直线方程为，
令，解得，得到，
设线段的中点为，由中点坐标公式得，
因为在直线上，所以，
化简得，而，，故解得，
代入中，得到，解得，
则的方程为或．
19.解：Ⅰ因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为．
设数列的公比为．
由，，，
得，
又，解得，
所以，；
Ⅱ由Ⅰ知，
所以，
，
同理，，，
，
所以；
证明：，
，
设，
则，
得，
所以
，
则，所以．
20.解：Ⅰ函数，有，
，有，
所以切线方程为，
即曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ函数，，，
令，，，
令，得，
令，得，所以在上单调递减，
令，得，所以在上单调递增，
所以，
当时，，
所以，即，
所以在上单调递增；
当时，，
所以，即，
当时，，，从而，
当时，，，
与相比，指数函数呈爆炸性增长，从而，
所以有两根，记为，，
当变化时，与的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
在和上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，有两根，记为，，
在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
Ⅲ证明：由知，，
因为函数在上有两个不同的零点，，
所以，，即，即，
两式相除得，令，
，所以，代入式得，
，
令，，则，
令，则，
因为，所以，
所以在区间上单调递增，所以，
所以在区间上单调递增，所以，
从而，成立．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑