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第二十三章 一次函数
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列函数中,y是x的正比例函数的是(B)
A.y= B.y=2x
C.y=x2-1 D.y=x-2
2.(2025·广西中考)已知一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3),则b=(D)
A.3 B.4
C.6 D.7
3.关于一次函数y=-3x+2,下列说法正确的是(B)
A.图象过点
B.图象经过第一、二、四象限
C.y随着x的增大而增大
D.其图象可由y=-3x的图象向下平移2个单位长度得到
4.两条直线y=x+b与y=bx+1在同一平面直角坐标系中的图象位置可能是(C)
5.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x≥ax+4的解集为(A)
A.x≥ B.x≤3 C.x≤ D.x≥3
6.某电信公司推出两种不同的收费标准:A种方式是月租20元;B种方式是月租0元.一个月本地网内打出电话费y(元)与打出时间t(分)的函数图象如图所示,当打出150分钟时,这两种方式的电话费相差(B)
A.5元 B.10元 C.15元 D.20元
7.如图,已知一次函数y=kx+2的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,与正比例函数y=x交于点C,已知点C的横坐标为2,下列结论:①关于x的方程kx+2=0的解为x=3;②对于直线y=kx+2,当x<3时,y>0;③对于直线y=kx+2,当x>0时,y>2;④方程组的解为,其中正确的是(B)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
8.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点P以每秒1 cm的速度从点A出发,沿折线AC-CB运动,到点B停止,过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD的长y(cm) 与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示.当PD的长是1.2 cm时,点P运动的时间为(D)
A.1.5秒 B.3秒 C.5秒 D.1.5秒或5秒
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知y=(m+3)+3是一次函数,则m=　3　.
10.(2025·湖北中考)已知一次函数y=kx+b,y随x的增大而增大.写出一个符合条件的k的值是　2(答案不唯一)　.
11.已知,正比例函数y=kx的图象经过点(a,b),且=2,则k的值等于 　.
12.P(a,b)是直线y=x-2上的点,则6b-2a+3的值是　-9　.
13.一次函数y=mx+|m-1|的图象过点(0,2),且y随x的增大而增大,则m=　3　.
14.对于一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则一次函数的解析式为　y=x+2或y=-x+7　.
三、解答题(共52分)
15.(6分)已知一次函数y=(2m+4)x+(3-m).
(1)当y随x的增大而增大时,求m的取值范围;
(2)若图象经过第一、二、三象限,求m的取值范围;
(3)若m=1,当-1≤x≤2时,求y的取值范围.
【解析】(1)根据题意得2m+4>0,解得m>-2;
(2)根据题意得,解得-2(3)将m=1代入y=(2m+4)x+(3-m)得,y=6x+2,
当x=-1时,y=-4;当x=2时,y=14;
因为k=6>0,所以y随x的增大而增大,所以-4≤y≤14.
16.(6分)已知y与3x-4成正比例,当x=1时,y=2.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)若(m,-2)在此函数图象上,求m的值.
【解析】(1)由题意,设y=k(3x-4),
∵当x=1时,y=2,∴(3-4)k=2,
解得k=-2,则y=-2(3x-4)=-6x+8,
故y与x的函数解析式为y=-6x+8;
(2)由题意,将(m,-2)代入y=-6x+8得:-6m+8=-2,解得m=.
17.(8分)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A,B,与x轴,y轴相交于点C,D.
(1)结合函数图象,直接写出kx+b>-2的解集为_______;
(2)求一次函数y=kx+b的表达式;
(3)求△AOB的面积.
【解析】(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点B,∴根据函数图象可知,当x>-3时,kx+b>-2;
答案:x>-3
(2)将A(1,6),B(-3,-2)代入y=kx+b(k≠0),得,解得:,
∴一次函数的解析式为y=2x+4;
(3)∵一次函数的解析式为y=2x+4,与x轴相交于点C,∴C(-2,0),∴CO=2,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×6+×2×2=8.
18.(8分)(2025·烟台中考)2025年6月5日是第54个“世界环境日”,为打造绿色低碳社区,某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域,升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元,购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价;
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏,且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的,请通过计算设计一种购买方案,使所需费用最少.
【解析】(1)设甲种路灯的单价是x元,乙种路灯的单价是y元,
根据题意得:,解得:.
答:甲种路灯的单价是60元,乙种路灯的单价是80元.
(2)设购买m盏甲种路灯,则购买(40-m)盏乙种路灯,该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元,
根据题意得:w=60m+80(40-m)=-20m+3 200,
∵-20<0,∴w随m的增大而减小,
又∵m≤(40-m),
∴m≤10,
∴当m=10时,w取得最小值,此时40-m=40-10=30.
答:当购买10盏甲种路灯,30盏乙种路灯时,所需费用最少.
19.(12分)如图,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是OB的中点.
(1)求直线AC的解析式;
(2)在x轴上有一点D,使得S△ACD=S△ABC,求点D的坐标.
【解析】(1)将x=0代入y=2x+4得,y=4,所以点B坐标为,因为点C是OB的中点,
所以OC=OB=2,所以点C的坐标为.将y=0代入y=2x+4得,x=-2,所以点A坐标为(-2,0).令直线AC的函数解析式为y=kx+b,则,解得,
所以直线AC的函数解析式为y=x+2.
(2)因为S△ACD=S△ABC,且S△ABC=×(4-2)×2=2,所以S△ACD=2,则AD·2=2,
所以AD=2.因为点A的坐标为(-2,0),所以点D的坐标为或(-4,0).
20.(12分)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息如表所示:
项目 成本(单位:元/个) 销售价格(单位:元/个)
A种型号 35 a
B种型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求a,b的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值.
注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.
【解析】(1)根据题意,得,解得,
∴a的值是40,b的值是50;
(2)因为购买A种型号吉祥物的数量为x个,则购买B种型号吉祥物的数量为(90-x)个.
根据题意,得,解得≤x≤60;
y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720,
∵-3<0,∴y随x的增大而减小,
∵≤x≤60且x为整数,
∴当x=52时,y的值最大,y最大=-3×52+720=564,∴y的最大值是564元.第二十三章 一次函数
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列函数中,y是x的正比例函数的是( )
A.y= B.y=2x
C.y=x2-1 D.y=x-2
2.(2025·广西中考)已知一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3),则b=( )
A.3 B.4
C.6 D.7
3.关于一次函数y=-3x+2,下列说法正确的是( )
A.图象过点
B.图象经过第一、二、四象限
C.y随着x的增大而增大
D.其图象可由y=-3x的图象向下平移2个单位长度得到
4.两条直线y=x+b与y=bx+1在同一平面直角坐标系中的图象位置可能是( )
5.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x≥ax+4的解集为( )
A.x≥ B.x≤3 C.x≤ D.x≥3
6.某电信公司推出两种不同的收费标准:A种方式是月租20元;B种方式是月租0元.一个月本地网内打出电话费y(元)与打出时间t(分)的函数图象如图所示,当打出150分钟时,这两种方式的电话费相差( )
A.5元 B.10元 C.15元 D.20元
7.如图,已知一次函数y=kx+2的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,与正比例函数y=x交于点C,已知点C的横坐标为2,下列结论:①关于x的方程kx+2=0的解为x=3;②对于直线y=kx+2,当x<3时,y>0;③对于直线y=kx+2,当x>0时,y>2;④方程组的解为,其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
8.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点P以每秒1 cm的速度从点A出发,沿折线AC-CB运动,到点B停止,过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD的长y(cm) 与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示.当PD的长是1.2 cm时,点P运动的时间为( )
A.1.5秒 B.3秒 C.5秒 D.1.5秒或5秒
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知y=(m+3)+3是一次函数,则m= .
10.(2025·湖北中考)已知一次函数y=kx+b,y随x的增大而增大.写出一个符合条件的k的值是 .
11.已知,正比例函数y=kx的图象经过点(a,b),且=2,则k的值等于 .
12.P(a,b)是直线y=x-2上的点,则6b-2a+3的值是 .
13.一次函数y=mx+|m-1|的图象过点(0,2),且y随x的增大而增大,则m= .
14.对于一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则一次函数的解析式为 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)已知一次函数y=(2m+4)x+(3-m).
(1)当y随x的增大而增大时,求m的取值范围;
(2)若图象经过第一、二、三象限,求m的取值范围;
(3)若m=1,当-1≤x≤2时,求y的取值范围.
16.(6分)已知y与3x-4成正比例,当x=1时,y=2.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)若(m,-2)在此函数图象上,求m的值.
17.(8分)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A,B,与x轴,y轴相交于点C,D.
(1)结合函数图象,直接写出kx+b>-2的解集为_______;
(2)求一次函数y=kx+b的表达式;
(3)求△AOB的面积.
18.(8分)(2025·烟台中考)2025年6月5日是第54个“世界环境日”,为打造绿色低碳社区,某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域,升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元,购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价;
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏,且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的,请通过计算设计一种购买方案,使所需费用最少.
19.(12分)如图,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是OB的中点.
(1)求直线AC的解析式;
(2)在x轴上有一点D,使得S△ACD=S△ABC,求点D的坐标.
20.(12分)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息如表所示:
项目 成本(单位:元/个) 销售价格(单位:元/个)
A种型号 35 a
B种型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求a,b的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值.
注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.

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