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第二十一章 四边形
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B)
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
2.下列命题正确的是(A)
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
3.(2025·昭通期中)已知过n边形的一个顶点有6条对角线,一个m边形的内角和是540°,则m+n=(D)
A.11 B.12
C.13 D.14
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(C)
A.6 B.5
C.4 D.3
5.如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(A)
A. B.6
C. D.12
6.(2025·陕西中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有(C)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
7.(2025·南充中考)如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形,若正六边形的边长为2,那么矩形的面积是(B)
A.12　 B.8　
C.16　 D.12
8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为(C)
A.80° B.90° C.105° D.115°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2025·无锡期中)已知 ABCD中,∠C=4∠B,则∠A=　144　°.
10.(2025·威海一模)如图,五边形ABCDE为正五边形,则∠1+∠2=　216°　.
11.(2025·扬州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是　6　.
12.如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE交对角线AC于点F,连接DF,若∠ABE=35°,则∠CFD的度数为　80°　.
13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.若AD=1,CF=2,则BF的长为　2　.
14.如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,点M为直线BC上一动点,则MA+MD的最小值为 　.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2025·定西质检)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,BE=DF,连接EF与对角线AC相交于点O.
(1)求证:OE=OF;
(2)连接CE,G为CE的中点,连接OG.若OG=2,求AE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,
∵BE=DF,∴AE=CF,在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF;
(2)∵点G为CE的中点,OE=OF,∴OG是△EFC的中位线,
∵OG=2,∴CF=2OG=4,∴AE=4.
16.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB>2AD,点E,F分别在边AB,CD上.将△ADF沿AF折叠,点D的对应点G恰好落在对角线AC上;将△CBE沿CE折叠,点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE,FH.
求证:(1)△AEH≌△CFG;
(2)四边形EGFH为平行四边形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠EAH=∠FCG,
由折叠可得,AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B=90°,∠AGF=∠D=90°,
∴CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°,
∴AH=CG,
在△AEH和△CFG中,
,
∴△AEH≌△CFG(ASA).
(2)由(1)知∠AHE=∠CGF=90°,△AEH≌△CFG,
∴EH∥FG,EH=FG,
∴四边形EGFH为平行四边形.
17.(8分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在BA的延长线上,对角线AC与BD交于点M,EM交AD于点F,且∠EFD=105°.
(1)求∠E的度数.
(2)求证:AM=AE.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,
∴∠EAD=∠ABC=80°,∴∠E=∠EFD-∠EAD=105°-80°=25°;
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAB=180°-∠ABC=100°,
∵AC平分∠DAB,∴∠BAC=∠DAB=50°,
∴∠AME=∠BAC-∠E=50°-25°=25°=∠E,∴AM=AE.
18.(8分)如图, ABCD中,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE,BD,且CE=CD.
(1)求证:四边形DBEC是菱形;
(2)连接DE,若DA=DE,判断四边形DBEC的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,
∵BE=AB,∴BE=CD,又∵BE∥CD,
∴四边形DBEC是平行四边形,
∵CE=CD,∴四边形DBEC是菱形;
(2)四边形DBEC是正方形,理由如下:
∵DA=DE,BE=AB,∴DB⊥AE,∴菱形DBEC是正方形.
19.(10分)(2025·青海中考)如图,在△ABC中,点O,D分别是边AB,BC的中点,过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E,连接AD,BE.
(1)求证:四边形AEBD是平行四边形;
(2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状,并证明.
【解析】(1)∵点O是AB的中点,∴OA=OB.
∵AE∥BC,∴∠EAO=∠DBO,∠AEO=∠BDO,
在△AEO和△BDO中,,
∴△AEO≌△BDO(AAS),∴AE=BD,∵AE∥BD,∴四边形AEBD是平行四边形.
(2)四边形AEBD是矩形.证明如下:
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,
∵由(1)得四边形AEBD是平行四边形,
∴ AEBD是矩形.
20.(10分)【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以四边形为背景,探究非动点的几何问题.若四边形ABCD是正方形,M,N分别在边CD,BC上,且∠MAN=45°,我们称之为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.
(1)【初步尝试】如图1,将△ADM绕点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,得到△ABE,连接MN.用等式写出线段DM,BN,MN的数量关系_______;
(2)【类比探究】小明改变点的位置后,进一步探究:如图2,点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延长线上,∠MAN=45°,连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B+∠D=180°,点N,M分别在边BC,CD上,∠MAN=60°,用等式写出线段BN,DM,MN的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)MN=DM+BN.理由如下:
由旋转的性质,可知AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°,∠ABE=∠D=90°,
∴∠ABE+∠ABC=90°+90°=180°,∴E,B,C三点共线.
∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN,
在△EAN和△MAN中,,∴△EAN≌△MAN(SAS),∴EN=MN,
∵EN=BE+BN,∴MN=DM+BN.
答案:MN=DM+BN
(2)MN=BN-DM.理由如下:
如图,在BC上取BE=MD,连接AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠ADM=90°,
∴△ABE≌△ADM(SAS),
∴AE=AM,∠BAE=∠DAM,
∵∠DAM+∠DAN=45°,
∴∠BAE+∠DAN=45°,
∴∠EAN=45°=∠MAN,
在△EAN和△MAN中,
,
∴△EAN≌△MAN(SAS),
∴EN=MN,
∵EN=BN-BE,∴MN=BN-DM.
(3)MN=DM+BN.理由如下:
如图,将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE,
∴∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE,
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADE+∠ADC=180°,
∴E,D,C三点共线,
由(1)同理可得△EAM≌△NAM,
∴MN=ME=DM+DE=DM+BN.
【附加题】(10分)
如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,E是BC边上的一个动点(点E不与B,C重合),DF⊥AE,垂足为点F,过点D作DG∥AE,交BC的延长线于点G.
(1)若DF=AB,
①求证:四边形AEGD是菱形;②求四边形CDFE的周长;
(2)如图2,AM⊥DG于点M,EN⊥DG于点N,探究:
①当CE为何值时,四边形AFDM是正方形;
②点E在BC边上的运动过程中,四边形AENM的面积是否发生变化,若不变,请求出该四边形的面积;若变化,请说明理由.
【解析】(1)①∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BG,∠B=90°,∴∠DAF=∠AEB,
又∵DG∥AE,∴四边形AEGD是平行四边形,
又∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠B,
又∵DF=AB,∴△DFA≌△ABE,
∴AD=AE,∴四边形AEGD是菱形;
②在矩形ABCD中,DC=AB=4,BC=AD=5,
∵△DFA≌△ABE,
∴AF=BE,DF=AB=4,AE=BC=AD=5,
∴在Rt△ABE中,BE===3,
∴AF=BE=3,CE=EF=2,
∴四边形CDFE的周长=2(CE+DC)=12;
(2)①∵DG∥AE,DF⊥AE,
∴∠AFD=∠FDM=90°.
∵AM⊥DG,
∴∠AMD=90°,
∴四边形AFDM是矩形.
要使四边形AFDM是正方形,必须AF=DF.
∵∠AFD=90°,
∴△AFD是等腰直角三角形,
∴∠DAF=45°.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAF=45°,
又∵∠AFD=90°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴BE=AB=4,∴CE=BC-BE=5-4=1,
∴当CE=1时,四边形AFDM是正方形;
②点E在BC边上的运动过程中,四边形AENM的面积不发生变化.
∵AM⊥DG,EN⊥DG,∴AM∥EN,
∵MG∥AE,
∴四边形AENM是矩形.
∴S矩形AENM=S AEGD=S矩形ABCD=AB·BC=4×5=20,
即点E在BC边上的运动过程中,四边形AENM的面积为定值20.第二十一章 四边形
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
2.下列命题正确的是( )
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
3.(2025·昭通期中)已知过n边形的一个顶点有6条对角线,一个m边形的内角和是540°,则m+n=( )
A.11 B.12
C.13 D.14
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为( )
A.6 B.5
C.4 D.3
5.如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )
A. B.6
C. D.12
6.(2025·陕西中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
7.(2025·南充中考)如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形,若正六边形的边长为2,那么矩形的面积是( )
A.12　 B.8　
C.16　 D.12
8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2025·无锡期中)已知 ABCD中,∠C=4∠B,则∠A= °.
10.(2025·威海一模)如图,五边形ABCDE为正五边形,则∠1+∠2= .
11.(2025·扬州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是 .
12.如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE交对角线AC于点F,连接DF,若∠ABE=35°,则∠CFD的度数为 .
13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.若AD=1,CF=2,则BF的长为 .
14.如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,点M为直线BC上一动点,则MA+MD的最小值为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2025·定西质检)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,BE=DF,连接EF与对角线AC相交于点O.
(1)求证:OE=OF;
(2)连接CE,G为CE的中点,连接OG.若OG=2,求AE的长.
16.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB>2AD,点E,F分别在边AB,CD上.将△ADF沿AF折叠,点D的对应点G恰好落在对角线AC上;将△CBE沿CE折叠,点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE,FH.
求证:(1)△AEH≌△CFG;
(2)四边形EGFH为平行四边形.
17.(8分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在BA的延长线上,对角线AC与BD交于点M,EM交AD于点F,且∠EFD=105°.
(1)求∠E的度数.
(2)求证:AM=AE.
18.(8分)如图, ABCD中,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE,BD,且CE=CD.
(1)求证:四边形DBEC是菱形;
(2)连接DE,若DA=DE,判断四边形DBEC的形状,并说明理由.
19.(10分)(2025·青海中考)如图,在△ABC中,点O,D分别是边AB,BC的中点,过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E,连接AD,BE.
(1)求证:四边形AEBD是平行四边形;
(2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状,并证明.
20.(10分)【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以四边形为背景,探究非动点的几何问题.若四边形ABCD是正方形,M,N分别在边CD,BC上,且∠MAN=45°,我们称之为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.
(1)【初步尝试】如图1,将△ADM绕点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,得到△ABE,连接MN.用等式写出线段DM,BN,MN的数量关系_______;
(2)【类比探究】小明改变点的位置后,进一步探究:如图2,点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延长线上,∠MAN=45°,连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B+∠D=180°,点N,M分别在边BC,CD上,∠MAN=60°,用等式写出线段BN,DM,MN的数量关系,并说明理由.
【附加题】(10分)
如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,E是BC边上的一个动点(点E不与B,C重合),DF⊥AE,垂足为点F,过点D作DG∥AE,交BC的延长线于点G.
(1)若DF=AB,
①求证:四边形AEGD是菱形;②求四边形CDFE的周长;
(2)如图2,AM⊥DG于点M,EN⊥DG于点N,探究:
①当CE为何值时,四边形AFDM是正方形;
②点E在BC边上的运动过程中,四边形AENM的面积是否发生变化,若不变,请求出该四边形的面积;若变化,请说明理由.

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