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第二十章 勾股定理
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2025·永州期中)以下列线段长为边,不能构成直角三角形的是( )
A.5,12,13 B.1,1,
C.32,42,52 D.1,,
2.下列命题的逆命题成立的是( )
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2
D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等
3.在△ABC中,BC2-AC2=AB2,若∠B=25°,则∠C=( )
A.35° B.65° C.75° D.90°
4.如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是( )
A.(5,4) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3)
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AB,AC为边向外作正方形,若这两个正方形的面积分别为20和4,则BC的长为( )
A.16 B.8
C.2 D.4
6.(2025·绵阳质检)甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P,航行的速度都是40 m/min,甲客轮30 min到达点A,乙客轮用40 min到达点B,若A,B两点的直线距离为2 000 m,甲客轮沿北偏西60°的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是( )
A.南偏西30° B.北偏东60°
C.南偏东30° D.南偏西60°
7.如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是( )
A.- B.-
C.2-2 D.2-
8.(2024·南充中考)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为( )
A. B.
C.-1 D.-2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=,则AC的长为 .
10.在平面直角坐标系xOy中,已知点P的坐标是(2,4),则点P到原点O的距离为 .
11.(2025·福州质检)如图,在数轴上点A表示的实数是 .
12.(2025·合肥期中)一直角三角形的三边分别为8,15,x,那么以x为边长的正方形的面积为 .
13.如图,在△ABC中,以A为圆心,AC长为半径作弧,交BC于C,D两点,分别以点C和点D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧交于点P,作直线AP,交CD于点E,若AC=5,CD=6,则AE= .
14.如图,四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点E,AB=8,DE=,BC=2,CD=5,则四边形ABCD的面积为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=2,BC=2,BD=4.
(1)求证:△ABD是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
16.(8分)(2025·长沙期中)在数学活动——《测量学校旗杆高度》中,聪聪想到了一种新颖的求解方式,聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为30°(即∠ACB=30°),接着往前走10米到达点D,观察旗杆顶端的仰角为60°(即∠ADB=60°).
(1)请你帮助聪聪判断△ACD的形状,并说明理由;
(2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度AB.(人的身高忽略不计,结果保留根号)
17.(8分)观察图形,回答下列问题:
(1)如图①,△DEF为直角三角形,正方形P的面积为9,正方形Q的面积为15,则正方形M的面积为_______;
(2)如图②,分别以Rt△ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆,请写出这三个半圆的面积之间的关系并证明你的结论(用图中字母表示);
(3)如图③,如果直角三角形两直角边的长分别为3和4,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆.请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积.
18.(8分)(2025·潍坊期中)如图,在四边形ABCD中,AB=12,CD=5,AD=13,AE⊥BC,点E是BC的中点,且AE=9,连接AC.
(1)判断△ADC的形状并证明;
(2)求四边形ABCD的面积.
19.(10分)如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,a2=13,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水.
(1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明)
(2)经预算,修建水厂需30万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.
20.(10分)(2025·广东中考)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数,则a,b,c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181
4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,99,101
5,12,13 9,40,41 13,84,85 17,144,145 21,220,221
6,8,10 10, ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花
【附加题】(10分)
在学习勾股定理时,我们学会运用图(Ⅰ)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为:(a+b)2,也可表示为:c2+4·(ab),即(a+b)2=c2+4·(ab),由此推出勾股定理a2+b2=c2,这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.
(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数学家大会会徽)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等);
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证(x+y)2=x2+2xy+y2;
(3)请你自己设计图形的组合,用其面积表达式验证:(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.第二十章 勾股定理
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2025·永州期中)以下列线段长为边,不能构成直角三角形的是(C)
A.5,12,13 B.1,1,
C.32,42,52 D.1,,
2.下列命题的逆命题成立的是(C)
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2
D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等
3.在△ABC中,BC2-AC2=AB2,若∠B=25°,则∠C=(B)
A.35° B.65° C.75° D.90°
4.如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是(D)
A.(5,4) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3)
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AB,AC为边向外作正方形,若这两个正方形的面积分别为20和4,则BC的长为(D)
A.16 B.8
C.2 D.4
6.(2025·绵阳质检)甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P,航行的速度都是40 m/min,甲客轮30 min到达点A,乙客轮用40 min到达点B,若A,B两点的直线距离为2 000 m,甲客轮沿北偏西60°的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是(A)
A.南偏西30° B.北偏东60°
C.南偏东30° D.南偏西60°
7.如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是(B)
A.- B.-
C.2-2 D.2-
8.(2024·南充中考)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为(A)
A. B.
C.-1 D.-2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=,则AC的长为　2　.
10.在平面直角坐标系xOy中,已知点P的坐标是(2,4),则点P到原点O的距离为　2　.
11.(2025·福州质检)如图,在数轴上点A表示的实数是　-　.
12.(2025·合肥期中)一直角三角形的三边分别为8,15,x,那么以x为边长的正方形的面积为　289或161　.
13.如图,在△ABC中,以A为圆心,AC长为半径作弧,交BC于C,D两点,分别以点C和点D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧交于点P,作直线AP,交CD于点E,若AC=5,CD=6,则AE=　4　.
14.如图,四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点E,AB=8,DE=,BC=2,CD=5,则四边形ABCD的面积为　4+　.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=2,BC=2,BD=4.
(1)求证:△ABD是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)∵CD=2,BC=2,BD=4,
∴CD2+BD2=22+42=20,BC2==20,∴CD2+BD2=BC2,
∴△BDC是直角三角形,∠BDC=90°,∴∠ADB=180°-90°=90°,∴△ABD是直角三角形;
(2)设AB=AC=x,则AD=AC-CD=x-2,
在Rt△ADB中,根据勾股定理得,AB2=AD2+BD2,即x2=(x-2)2+42,
解得:x=5,∴S△ABC=AC·BD=×5×4=10.
16.(8分)(2025·长沙期中)在数学活动——《测量学校旗杆高度》中,聪聪想到了一种新颖的求解方式,聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为30°(即∠ACB=30°),接着往前走10米到达点D,观察旗杆顶端的仰角为60°(即∠ADB=60°).
(1)请你帮助聪聪判断△ACD的形状,并说明理由;
(2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度AB.(人的身高忽略不计,结果保留根号)
【解析】(1)∵∠ACB=30°,∠ADB=60°,
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=60°-30°=30°,
∴∠CAD=∠ACB,
∴CD=AD,
∴△ACD是等腰三角形.
(2)由(1)可知CD=AD=10米,∠ADB=60°,∠ABC=90°,
∴∠DAB=30°,
∴DB=AD=5米,
在Rt△ADB中,AB==5(米).
17.(8分)观察图形,回答下列问题:
(1)如图①,△DEF为直角三角形,正方形P的面积为9,正方形Q的面积为15,则正方形M的面积为_______;
(2)如图②,分别以Rt△ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆,请写出这三个半圆的面积之间的关系并证明你的结论(用图中字母表示);
(3)如图③,如果直角三角形两直角边的长分别为3和4,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆.请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积.
【解析】(1)根据正方形的面积公式,结合勾股定理可得DF2=DE2+EF2,即正方形M的面积=9+15=24;
答案:24
(2)S1+S2=S3;
∵S1=π·×,S2=π·×,S3=π·×,由勾股定理可知AC2+BC2=AB2,所以S1+S2=S3;
(3)设两个小半圆的面积分别为S4,S5,大半圆的面积为S6,三角形的面积为S,则S阴影=S4+S5+S-S6=S=×3×4=6.
18.(8分)(2025·潍坊期中)如图,在四边形ABCD中,AB=12,CD=5,AD=13,AE⊥BC,点E是BC的中点,且AE=9,连接AC.
(1)判断△ADC的形状并证明;
(2)求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)△ADC是直角三角形,证明如下:
∵AE⊥BC,点E是BC的中点,∴AE垂直平分BC,
∴AC=AB=12,∵CD=5,AD=13,
∴AC2+CD2=122+52=169=133=AD2,
∴∠ACD=90°,即△ADC是直角三角形;
(2)∵AE⊥BC,AB=12,AE=9,
∴BE===3.
∵点E是BC的中点,
∴BC=2BE=6,
∴S△ABC=BC·AE=×6×9=27,
∵S△ACD=AC·CD=×12×5=30,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=27+30.
19.(10分)如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,a2=13,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水.
(1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明)
(2)经预算,修建水厂需30万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.
【解析】(1)如图,作点A关于直线CD的对称点A',连接A'B,交CD于点M,点M即为所求作.
(2)如图,连接A'A,交CD于点H,过点B作BP⊥AH,连接AM,
由题意可知:AH=A'H=1千米,PH=3千米,AB=千米,
∴PA=PH-AH=2千米,PA'=PH+A'H=4千米,
∴在Rt△APB中,BP===3(千米),
∴在Rt△A'PB中,A'B===5(千米),
由对称性质可知:AM=A'M,水管长AM+BM=A'M+BM=A'B=5千米,完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50(万元).
20.(10分)(2025·广东中考)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数,则a,b,c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181
4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,99,101
5,12,13 9,40,41 13,84,85 17,144,145 21,220,221
6,8,10 10,　　,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花
【解析】(1)由表中勾股数的规律可知,令a=10,c=26,
则由勾股数定义可知a2+b2=c2,
即102+b2=262,
∴b2=262-102=(26+10)(26-10)=36×16,
解得b=24或b=-24(舍去);
(2)令n为正整数,则由表中规律可知,
表中第一行、第三行中a为奇数:a=2n+1,
则b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1,
证明如下:
∵a2=(2n+1)2,b2=[2n(n+1)]2,c2=[2n(n+1)+1]2,
∴c2-b2=[2n(n+1)+1]2-[2n(n+1)2]2
={[2n(n+1)+1]+[2n(n+1)]}{[2n(n+1)+1]-[2n(n+1)]}
=4n(n+1)+1
=4n2+4n+1
=(2n+1)2=a2;
表中第二行、第四行中a为偶数:a=2n,
则b=n2-1,c=n2+1,
证明如下:
∵a2=4n2,b2=(n2-1)2,c2=(n2+1)2,
∴c2-b2=-
=[(n2+1)+(n2-1)][(n2+1)-(n2-1)]
=2n2×2
=(2n)2=a2;
(3)由于该图案是由四个全等的直角三角形组成,下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可,如图所示:
∴AC∵仅在三角形边上种花,三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m,三角形最短边种21株花,
∴AC=20 m,
由表中规律知,当最短边为偶数时,a=2n=20,解得n=10,
∴b=n2-1=102-1=99,c=n2+1=102+1=101,
即BC边上种植100株花,AB边上种植102株花,
∴每个三角形上种植21+100+102-3=220(株)花,
则如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植220×4=880株花.
【附加题】(10分)
在学习勾股定理时,我们学会运用图(Ⅰ)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为:(a+b)2,也可表示为:c2+4·(ab),即(a+b)2=c2+4·(ab),由此推出勾股定理a2+b2=c2,这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.
(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数学家大会会徽)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等);
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证(x+y)2=x2+2xy+y2;
(3)请你自己设计图形的组合,用其面积表达式验证:(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.
【解析】(1)大正方形的面积为c2,中间空白部分正方形面积为(b-a)2;
四个阴影部分直角三角形面积和为4×ab;
由图形关系可知,大正方形的面积=空白正方形面积+四个直角三角形的面积,即有c2=(b-a)2+4×ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2.
(2)如图所示,大正方形边长为(x+y),所以面积为(x+y)2,它的面积也等于两个边长分别为x,y的正方形面积和两个长为x、宽为y的矩形面积之和,即x2+2xy+y2,
所以(x+y)2=x2+2xy+y2成立.
(3)如图所示,大矩形的宽、长分别为(x+p),(x+q),则其面积为(x+p)(x+q),从图形关系上可得大矩形由一个边长为x的正方形和三个小矩形构成,则其面积又可表示为x2+px+qx+pq,则有(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.

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