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第十九章 二次根式
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2025·福建中考)若在实数范围内有意义,则实数x的值可以是(D)
A.-2　　　　　　　B.-1　　　　　　　　C.0　　　　　　　　D.2
2.在根式,,,,中,最简二次根式有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列计算正确的是(D)
A. =-2 B. =×
C.×= D.÷=
4.若p=-,则表示实数p的点会落在数轴的(A)
A.①段上 B.②段上 C.③段上 D.④段上
5.观察分析下列各数:0,,,3,,,,…根据其中的规律,第10个数是(C)
A. B. C. D.
6.(2024·乐山中考)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
7.古希腊数学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边长求面积的公式,称为海伦-秦九韶公式,内容是:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么三角形的面积S=.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积S=(C)
A.6 B.30 C.6 D.45
8.如图,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+=(C)
A. B.2 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2025·天津质检)比较大小:-4　<　-3.(填写“>”“<”或“=”)
10.(2025·威海中考)计算:() -1--=　1-2　.
11.已知实数m,n满足(m+2)2+=0,则3n-2m的平方根为　±4　.
12.如果=1-2a,则a的取值范围是　a≤　.
13.边长为a,b的长方形如图所示,若它的周长为2+2,面积为,则a2b+ab2的值为　5+　.
14.已知y=-x+5,当分别取1,2,3,…,2 024时,所对应y值的总和是　2 036　.
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:
(1)-÷+×;　　　　　　(2)++-15.
【解析】(1)-÷+×=-2-+=-2-2+4=0.
(2)++-15=2+3+-5=.
16.(8分)计算:
(1)(-)÷-;(2)(2+)(2-)-(-)2.
【解析】(1) (-)÷-=--×3=2--2=-2;
(2)(2+)(2-)-(-)2=12-6-(3-2+2)=6-5+2=1+2.
17.(8分)如图,点A表示的数为,一只蚂蚁从点A沿数轴向左移动2个单位后到达点B,设点B所表示的数为m.
(1)m的值为_______;
(2)求|m|+·m的值.
【解析】(1)m=-2;
答案:-2
(2)|m|+·m=|-2|+·(-2)=2-+3-2=5-3.
18.(8分)化简求值:(1)(2025·六安质检)已知m=2-1,n=2+1,求下列代数式的值.
①m2n+m2;
②m2+n2-mn.
(2)已知x=+2,求代数式x2-4x+3的值.
【解析】(1)①∵m=2-1,n=2+1,
∴m2n+m2=m2(n+1)=(2-1)2×(2+1+1)
=(9-4)×(2+2)=18+18-16-8=10+2.
②∵m=2-1,n=2+1,∴m+n=(2-1)+(2+1)=4,
mn=(2-1)(2+1)=(2)2-12=8-1=7,
∴m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=(4)2-3×7=32-21=11.
(2)∵x=+2,∴x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1=(+2-2)2-1=3-1=2.
19.(10分)(2025·浙江中考)【阅读理解】
同学们,我们来学习利用完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2近似计算算术平方根的方法.
例如求的近似值.
因为64<67<81,所以8<<9,
则可以设成以下两种形式:
①=8+s,其中0②=9-t,其中0小明以①的形式求的近似值的过程如图.
因为=8+s,所以67=(8+s)2,即67=64+16s+s2.
因为s2比较小,将s2忽略不计,所以67≈64+16s,
即16s≈67-64,得s≈=,故≈8+≈8.19.
【尝试探究】(1)请用②的形式求的近似值(结果保留2位小数).
【比较分析】(2)你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高,请说明理由.
【解析】(1)设=9-t,其中0∴=(9-t)2,∴67=81-18t+t2,
∵t2比较小,将t2忽略不计,
∴67≈81-18t,∴t≈=,
∴≈9-≈8.22.
(2)用①的形式得出的的近似值的精确度更高.理由如下:
8.192=67.076 1,8.222=67.568 4,|67.076 1-67|=0.076 1,|67.568 4-67|=0.568 4,
∵0.076 1<0.568 4,
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高.
20.(10分)【问题背景】
已知x2+x+x=-1(x≠0),求 x2+的值.
【问题解决】
(1)小颖通过思考,形成如下解题思路:先将等式两边都除以x,得到 x+的值,再利用完全平方公式求出x2+的值.请按照该思路,写出上述题目完整的求解过程;
【拓展应用】
(2)已知x2-x-x-1=0(x≠0),求 x2+的值;
(3)已知x2+1=3x(x>0),求 - 的值.
【解析】(1)∵ x2+x+x=-1(x≠0),∴x++1=-, ∴x+=--1,
∴x2+=(x+) 2-2=(--1)2-2=2+2,∴x2+的值为2+2;
(2)x2-x-x-1=0(x≠0),∴x--1-=0,
∴x-=+1, ∴x2+=(x-) 2+2=(+1)2+2=2+8,∴x2+的值为2+8;
(3) x2+1=3x(x>0),
∴x+=3,
∴(-) 2=x+-2=3-2=1,
∴-=±1,
∴-的值为±1.
【附加题】(10分)
阅读下面材料:
将边长分别为a,a+,a+2,a+3的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4.
则S2-S1=-a2
=[(a+)+a]·[(a+)-a]
=(2a+)·
=b+2a.
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2=_______,S4-S3=_______;
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 并证明你的猜想;
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.
【解析】(1)S3-S2=-
=a2+4a+4b-(a2+2a+b)
=a2+4a+4b-a2-2a-b
=2a+3b,
当a=1,b=3时,
原式=2+9;
S4-S3=-
=a2+6a+9b-(a2+4a+4b)
=a2+6a+9b-a2-4a-4b
=2a+5b,
当a=1,b=3时,
原式=2+15;
答案:2+9　2+15
(2)猜想:Sn+1-Sn=6n-3+2,
证明:Sn+1-Sn=-
=[2+(2n-1)]×
=3(2n-1)+2
=6n-3+2;
(3)T=t1+t2+t3+…+t50
=S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S50
=S51-S1
=-1
=7 500+100.第十九章 二次根式
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2025·福建中考)若在实数范围内有意义,则实数x的值可以是( )
A.-2　　　　　　　B.-1　　　　　　　　C.0　　　　　　　　D.2
2.在根式,,,,中,最简二次根式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列计算正确的是( )
A. =-2 B. =×
C.×= D.÷=
4.若p=-,则表示实数p的点会落在数轴的( )
A.①段上 B.②段上 C.③段上 D.④段上
5.观察分析下列各数:0,,,3,,,,…根据其中的规律,第10个数是( )
A. B. C. D.
6.(2024·乐山中考)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
7.古希腊数学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边长求面积的公式,称为海伦-秦九韶公式,内容是:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么三角形的面积S=.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积S=( )
A.6 B.30 C.6 D.45
8.如图,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+=( )
A. B.2 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2025·天津质检)比较大小:-4 -3.(填写“>”“<”或“=”)
10.(2025·威海中考)计算:() -1--= .
11.已知实数m,n满足(m+2)2+=0,则3n-2m的平方根为 .
12.如果=1-2a,则a的取值范围是 .
13.边长为a,b的长方形如图所示,若它的周长为2+2,面积为,则a2b+ab2的值为 .
14.已知y=-x+5,当分别取1,2,3,…,2 024时,所对应y值的总和是 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:
(1)-÷+×;　　　　　　(2)++-15.
16.(8分)计算:
(1)(-)÷-;(2)(2+)(2-)-(-)2.
17.(8分)如图,点A表示的数为,一只蚂蚁从点A沿数轴向左移动2个单位后到达点B,设点B所表示的数为m.
(1)m的值为_______;
(2)求|m|+·m的值.
18.(8分)化简求值:(1)(2025·六安质检)已知m=2-1,n=2+1,求下列代数式的值.
①m2n+m2;
②m2+n2-mn.
(2)已知x=+2,求代数式x2-4x+3的值.
19.(10分)(2025·浙江中考)【阅读理解】
同学们,我们来学习利用完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2近似计算算术平方根的方法.
例如求的近似值.
因为64<67<81,所以8<<9,
则可以设成以下两种形式:
①=8+s,其中0②=9-t,其中0小明以①的形式求的近似值的过程如图.
因为=8+s,所以67=(8+s)2,即67=64+16s+s2.
因为s2比较小,将s2忽略不计,所以67≈64+16s,
即16s≈67-64,得s≈=,故≈8+≈8.19.
【尝试探究】(1)请用②的形式求的近似值(结果保留2位小数).
【比较分析】(2)你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高,请说明理由.
20.(10分)【问题背景】
已知x2+x+x=-1(x≠0),求 x2+的值.
【问题解决】
(1)小颖通过思考,形成如下解题思路:先将等式两边都除以x,得到 x+的值,再利用完全平方公式求出x2+的值.请按照该思路,写出上述题目完整的求解过程;
【拓展应用】
(2)已知x2-x-x-1=0(x≠0),求 x2+的值;
(3)已知x2+1=3x(x>0),求 - 的值.
【附加题】(10分)
阅读下面材料:
将边长分别为a,a+,a+2,a+3的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4.
则S2-S1=-a2
=[(a+)+a]·[(a+)-a]
=(2a+)·
=b+2a.
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2=_______,S4-S3=_______;
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 并证明你的猜想;
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.

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