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期中素养评估(第十九至第二十一章)
(120分钟　120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2025·武汉期中)下列二次根式中,是最简二次根式的是(C)
A. B.
C. D.
2.下列各式计算正确的是(C)
A.+=　 B.4-3=1　
C.×=　 D.÷2=
3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是(D)
A.AD=BC B.∠ABD=∠BDC
C.AB=AD D.∠A=∠C
4.如图,在菱形ABCD中,过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点,已知∠A=134°,则∠BEC的大小为(A)
A.67° B.57° C.33° D.23°
5.如图,数轴上点A表示的数是-2,点B表示的数是0,CB⊥AB于点B,且BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交数轴的正半轴于点D,则点D表示的数是(C)
A. B.2-1
C.2-2 D.-1
6.下列命题错误的是(C)
A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
C.矩形的对角线互相垂直
D.正方形的对角线互相垂直且相等
7.如图,在矩形ABCD中,AB=16,BC=8,将矩形沿AC折叠使点D落在点D'处,CD'与AB交于点F,则S△ACF∶S△BCF的值为(A)
A. B.
C.2 D.
8.(2025·北京期末)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=AD=2,BC=1,CD=3,则∠B的度数为(C)
A.125° B.130° C.135° D.145°
9.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,P,Q分别是边AD,BC上的动点,点P从A出发到D停止运动,点Q从C出发到B停止运动,若P,Q两点以相同的速度同时出发,匀速运动.下面四个结论中:①存在四边形APCQ是矩形;②存在四边形APCQ是菱形;③存在四边形APQB是矩形;④存在四边形APQB是正方形.所有正确结论的序号是(A)
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
10.已知,正方形ABCD的边长为8,点E,F分别在AD,CD上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为(D)
A.3 B.4
C.2 D.5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2025·长沙中考)如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E=　205°　.
12.如图,CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE=　3　.
13.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=OB,若AD=4,∠AOD=60°,则AB的长为　4　.
14.(2025·江门质检)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则+a-|b-a|的化简结果为　-a　.
15.若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直角三角形斜边上的高的长为　2.4或　.
16.如图所示,小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB.小明想知道A,B两地间的距离,测得AC=50 m,∠A=45°,∠B=30°,两地AB间距离为　(25+25)m　.
17.(2025·兰州中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若AB=4,则AF=　4　.
18.如图,在边长为4的正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段OA上,连接BE,作CF⊥BE于点F,交OB于点P.给出下面三个结论:
①∠OCP=∠OBE;
②OE=OP;
③当CE=CB时,BP=EF.
上述结论中,正确结论的序号有　①②　.
三、解答题(共66分)
19.(6分)计算:
(1)×-÷+2;　　(2)÷+.
【解析】(1)原式=-+2×=2-+=2;
(2)原式=+9-6+3=12-5.
20.(6分)(2025·盐城中考)如图,点E,F在 ABCD的对角线AC上.若_______,则四边形BEDF是平行四边形.请从①BE=DF;②AE=CF;③BE∥DF中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.
【解析】选择②AE=CF为条件,则四边形BEDF是平行四边形.
理由如下,如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
选择③BE∥DF为条件,则四边形BEDF是平行四边形.
理由如下,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵BE∥DF,
∴∠BEF=∠DFE,
∴∠AEB=∠DFC,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,
∴四边形BEDF是平行四边形;
选择①无法得出四边形BEDF是平行四边形.
21.(8分)(2024·长沙中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
【解析】(1)由作图可知,MN是线段AB的垂直平分线,
∴在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点.
∴CD=AB=×2=.
(2)在Rt△ABC中,BC====4.
∵MN是线段AB的垂直平分线,∴EA=EB.
∴△ACE的周长为AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6.
22.(8分)有一块长方形木板,木工师傅采用如图所示的方式,在木板上裁出面积分别为3 dm2,8 dm2和12 dm2的三块正方形木板.
(1)截出的三块正方形木板的边长分别为_______dm,_______dm和_______dm;
(2)求长方形木板的面积;(结果保留根号)
(3)如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5 dm、宽为1 dm的长方形木块,最多能截出多少块这样的木块 (≈1.414,≈1.732)
【解析】(1) dm　=2(dm)　=2(dm)
答案:　2　2
(2)根据题意得,长方形的宽和长分别为(+2)dm,(2+2)dm;∴长方形木板的面积为(+2)×(2+2)=2+6+8+4=(6+14)dm2;
(3)根据题意得,剩余的A木板的长为2 dm,宽为(+2-2)dm,
∵2≈3.464(dm),+2-2=2-≈1.096(dm),
且3.464>1.5×2,1.096>1,
∴最多能截出2块这样的木块.
23.(8分)(2025·保定质检)数学兴趣小组发现,系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米,把绳子向外拉直,绳子的底端恰好接触地面的点A处,测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米,设旗杆BC的高度为x米.
(1)用含x的式子表示绳子AB的长为_______米;
(2)求旗杆的高度BC;
(3)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子(接头处忽略不计),把绳子拉直,若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处,求珍珍应从A处向东走多少米
【解析】(1)用含x的式子表示绳子AB的长为(x+3)米.
答案:(x+3)
(2)由题意知:AC=9米,∠ACB=90°,
∵BC2+AC2=AB2,∴x2+92=(x+3)2,解得x=12,
∴旗杆的高度BC=12米;
(3)由(2)知,AB=x+3=15米,
则BD=15+5=20(米),
∴CD==16米,
∴AD=CD-AC=7米,
∴珍珍应从A处向东走7米.
24.(8分)(2025·泰州质检)如图,公园内有一个四边形ABDC步道,其中AB∥CD,从A点到D点有两条路线,分别是A-B-D和A-C-D.已知AB=72米,AC=120米,BC=96米,DC=40米.
(1)判断AB与BC的位置关系,并说明理由;
(2)通过计算比较两条路线,哪条更短
【解析】(1)AB⊥BC,理由如下:
在△ABC中,AB=72米,AC=120米,BC=96米,
∵AB2+BC2=722+962=14 400,AC2=1202=14 400,
∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∴AB⊥BC;
(2)∵AB∥CD,
∴∠BCD=∠ABC=90°,
在Rt△BCD中,BC=96米,DC=40米,
由勾股定理得:BD==104(米),
∴AB+BD=72+104=176(米),
AC+CD=120+40=160(米),
∵176>160,
∴A-C-D路线更短.
25.(10分)(2025·常州中考)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=2,AD=1.
(1)若△ABD是等腰三角形,则BD=_______;
(2)已知OB=OD,AC=BD.
①若OA=OC,判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形,并说明理由;
②如图,在△ACD中,CD2=AD2+AC2,求AC的长.
【解析】(1)∵△ABD是等腰三角形,AB=2,AD=1,
∴当BD=AB=2时,此时满足三角形三边关系;
当BD=AD=1时,1+1=2,此时不满足三角形三边关系;
综上所述,BD=2.
答案:2
(2)①四边形ABCD是矩形,理由如下:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形;
②过点B作BE⊥AC于点E,如图,
∵在△ACD中,CD2=AD2+AC2,
∴△ACD是直角三角形,且∠DAC=90°,
∴∠DAO=∠BEO=90°,
在△AOD和△EOB中,
,
∴△AOD≌△EOB(AAS),
∴BE=DA=1,AO=EO,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE==,
∴AO=EO=AE=,
在Rt△AOD中,由勾股定理得:
OD==,
∴BD=2OD=,
∴AC=BD=.
26.(12分)李明酷爱数学,勤于思考,善于反思.在学习八年级下册数学知识之后,他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联,并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题,提供了具体的数学方法.于是他撰写了一篇数学作文.请你认真阅读思考,帮助李明完成相关问题.
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班　李明
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”(唐·李颀《古从军行》),这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题:将军从A地出发到河边l饮马,然后再到B地军营视察,怎样走路径最短
【数学模型】如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
【问题解决】作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于点P,则点P即为所求.此时,PA+PB的值最小,且PA+PB=PA'+PB=A'B.
【模型应用】
问题1.如图2,经测量得A,B两点到河边l的距离分别为AC=300米,BD=900米,且CD=900米.请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长.
问题2.如图3,在正方形ABCD中,AB=9,点E在CD边上,且DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值是_______　.
问题3.如图4,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),点B(4,2).
请在x轴上确定一点P,使PA+PB的值最小,并求出PA+PB的最小值.
【模型迁移】
问题4.如图5,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12,BD=16.点P和点E分别为BD,CD上的动点,求PE+PC的最小值.
【解析】问题1:作点A关于直线l的对称点A',连接BA',过点A'作A'M⊥BD并交BD延长线于点M,
∴AC=A'C=300米,
在Rt△A'BM中,A'M=CD=900米,BM=BD+DM=BD+A'C=1 200(米),A'B==1 500(米),
∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1 500米;
问题2:如图,连接BE,
设BE与AC交于点P,
∵四边形ABCD是正方形,
∴点B与D关于AC对称,
∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度.
∵直角△CBE中,∠BCE=90°,BC=9,CE=CD=3,
∴BE==3.
答案:3
问题3:如图,作A点关于x轴的对称点A',连接BA'交x轴于P点,P点即为所求,
利用对称的性质得到PA=PA',则PA+PB=PA'+PB=BA',BA'的值最小;
A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-4),PA+PB的最小值=BA'==6;
问题4:过A作AE⊥CD,交BD于P,连接CP,
此时线段PE+PC最小,且PE+PC=AE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=BD=8,OC=AC=6,
∴BC==10,
设CE=x,则DE=10-x,AB=CD=AD=BC=10,
根据勾股定理得AC2-CE2=AD2-DE2,
即122-x2=102-(10-x)2,
解得x=,即CE=,
∴AE==,
∴线段PE+PC的最小值是.期中素养评估(第十九至第二十一章)
(120分钟　120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2025·武汉期中)下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各式计算正确的是( )
A.+=　 B.4-3=1　
C.×=　 D.÷2=
3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是( )
A.AD=BC B.∠ABD=∠BDC
C.AB=AD D.∠A=∠C
4.如图,在菱形ABCD中,过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点,已知∠A=134°,则∠BEC的大小为( )
A.67° B.57° C.33° D.23°
5.如图,数轴上点A表示的数是-2,点B表示的数是0,CB⊥AB于点B,且BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交数轴的正半轴于点D,则点D表示的数是( )
A. B.2-1
C.2-2 D.-1
6.下列命题错误的是( )
A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
C.矩形的对角线互相垂直
D.正方形的对角线互相垂直且相等
7.如图,在矩形ABCD中,AB=16,BC=8,将矩形沿AC折叠使点D落在点D'处,CD'与AB交于点F,则S△ACF∶S△BCF的值为( )
A. B.
C.2 D.
8.(2025·北京期末)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=AD=2,BC=1,CD=3,则∠B的度数为( )
A.125° B.130° C.135° D.145°
9.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,P,Q分别是边AD,BC上的动点,点P从A出发到D停止运动,点Q从C出发到B停止运动,若P,Q两点以相同的速度同时出发,匀速运动.下面四个结论中:①存在四边形APCQ是矩形;②存在四边形APCQ是菱形;③存在四边形APQB是矩形;④存在四边形APQB是正方形.所有正确结论的序号是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
10.已知,正方形ABCD的边长为8,点E,F分别在AD,CD上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为( )
A.3 B.4
C.2 D.5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2025·长沙中考)如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E= .
12.如图,CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE= .
13.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=OB,若AD=4,∠AOD=60°,则AB的长为 .
14.(2025·江门质检)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则+a-|b-a|的化简结果为 .
15.若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直角三角形斜边上的高的长为 .
16.如图所示,小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB.小明想知道A,B两地间的距离,测得AC=50 m,∠A=45°,∠B=30°,两地AB间距离为 .
17.(2025·兰州中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若AB=4,则AF= .
18.如图,在边长为4的正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段OA上,连接BE,作CF⊥BE于点F,交OB于点P.给出下面三个结论:
①∠OCP=∠OBE;
②OE=OP;
③当CE=CB时,BP=EF.
上述结论中,正确结论的序号有 .
三、解答题(共66分)
19.(6分)计算:
(1)×-÷+2;　　(2)÷+.
20.(6分)(2025·盐城中考)如图,点E,F在 ABCD的对角线AC上.若_______,则四边形BEDF是平行四边形.请从①BE=DF;②AE=CF;③BE∥DF中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.
21.(8分)(2024·长沙中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
22.(8分)有一块长方形木板,木工师傅采用如图所示的方式,在木板上裁出面积分别为3 dm2,8 dm2和12 dm2的三块正方形木板.
(1)截出的三块正方形木板的边长分别为_______dm,_______dm和_______dm;
(2)求长方形木板的面积;(结果保留根号)
(3)如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5 dm、宽为1 dm的长方形木块,最多能截出多少块这样的木块 (≈1.414,≈1.732)
23.(8分)(2025·保定质检)数学兴趣小组发现,系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米,把绳子向外拉直,绳子的底端恰好接触地面的点A处,测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米,设旗杆BC的高度为x米.
(1)用含x的式子表示绳子AB的长为_______米;
(2)求旗杆的高度BC;
(3)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子(接头处忽略不计),把绳子拉直,若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处,求珍珍应从A处向东走多少米
24.(8分)(2025·泰州质检)如图,公园内有一个四边形ABDC步道,其中AB∥CD,从A点到D点有两条路线,分别是A-B-D和A-C-D.已知AB=72米,AC=120米,BC=96米,DC=40米.
(1)判断AB与BC的位置关系,并说明理由;
(2)通过计算比较两条路线,哪条更短
25.(10分)(2025·常州中考)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=2,AD=1.
(1)若△ABD是等腰三角形,则BD=_______;
(2)已知OB=OD,AC=BD.
①若OA=OC,判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形,并说明理由;
②如图,在△ACD中,CD2=AD2+AC2,求AC的长.
26.(12分)李明酷爱数学,勤于思考,善于反思.在学习八年级下册数学知识之后,他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联,并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题,提供了具体的数学方法.于是他撰写了一篇数学作文.请你认真阅读思考,帮助李明完成相关问题.
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班　李明
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”(唐·李颀《古从军行》),这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题:将军从A地出发到河边l饮马,然后再到B地军营视察,怎样走路径最短
【数学模型】如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
【问题解决】作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于点P,则点P即为所求.此时,PA+PB的值最小,且PA+PB=PA'+PB=A'B.
【模型应用】
问题1.如图2,经测量得A,B两点到河边l的距离分别为AC=300米,BD=900米,且CD=900米.请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长.
问题2.如图3,在正方形ABCD中,AB=9,点E在CD边上,且DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值是_______ .
问题3.如图4,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),点B(4,2).
请在x轴上确定一点P,使PA+PB的值最小,并求出PA+PB的最小值.
【模型迁移】
问题4.如图5,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12,BD=16.点P和点E分别为BD,CD上的动点,求PE+PC的最小值.

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