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2026年上海市宝山区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.两个变量与之间的回归方程( )
A. 表示与之间的函数关系
B. 表示与之间的不确定关系
C. 反映与之间的真实关系
D. 是反映与之间的真实关系的一种最佳拟合
2.在中，，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，则( )
A. 为定值，为定值
B. 为定值，不为定值
C. 不为定值，不为定值
D. 不为定值，为定值
4.设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”下列结论中错误的是( )
A. 若是公差为的等差数列，则是“数列”
B. 若是“数列”，则可能为常数列
C. 若是“数列”，则不存在正整数，满足
D. 对任意，若，且满足，则是“数列”
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ．
6.已，则______．
7.已知是虚数单位，复数满足，则 ．
8.若是直线：的一个法向量，则实数的值为 ．
9.边长为的正方形绕其一边旋转一周，得到的几何体的体积为 ．
10.已知随机变量，且，那么 ．
11.设，则的最小值为 ．
12.若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为 ．
13.若，则 ．
14.如图，平行四边形中，，，是的中点，、是的三等分点，若，则 ．
15.已知点、分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为 ．
16.已知集合，，当、且时，都有，若满足条件的集合至少有个，则正整数的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的正方形，平面，是的中点．
求证：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知，，．
若，求的值；
当时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查已知被调查的男、女生人数均为为正整数，得到以下列联表：
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值；
当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取人．
从这人中随机抽取人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有名女生被抽到，求抽到男生的概率；在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取人用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值．
参考公式：，其中．
参考数据：
20.本小题分
将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足．
求抛物线的标准方程；
证明：直线的斜率；
若直线在轴上的截距，求面积的最大值．
21.本小题分
已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：，是正整数．
若满足，求实数、的值；
设数列是无穷数列，若，且，，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由；
若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是是周期函数”．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.解：证明：因为平面，平面，所以，又底面为正方形，
所以，又，
所以平面；
设，
由可知平面，
所以直线与平面所成角为，
又，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以三棱锥的体积为．
18.解：已知，，
由，代入得：．
因为，所以，即，得，解得．
由得，
当时，单调递增，不等式等价于，且真数，
即，且对恒成立．
由，得，
结合，得，
故且对恒成立，
令，，
令，由，得，且，
于是，
这是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，
对称轴在区间的左侧，因此函数在上单调递减，
又在上单调递增，根据“同增异减”可得在上单调递减，
所以，，
故，又对一切恒成立，
则需大于在上最大值即．
因为与不能同时成立．故时无解，
当时，单调递减，不等式等价于，且真数，
即，且对恒成立，
由得或．
结合，只需恒成立，
故对恒成立．
由上述分析知在上最大值为，所以，
又需对恒成立，即，右边最大值为，所以，结合，得．
综上所述，的取值范围是．
19.解：被调查的男女生人数均为，
其中男生中不了解的有，则了解的有，
其中女生中了解的有，则不了解的有，
则可得列联表如下所示：
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
因，
由题意，可知，
又，可得；
当时，了解中华优秀传统文化的男生有人，女生有人，
则采用分层抽样时，在男生中抽取人，女生中抽取人，
再从这人中随机抽取人进行第二次调查，
记“至少有名女生被抽到”为事件，“抽到男生”为事件，
则；
根据题意可知这人中有人是了解中华优秀传统文化的女生，
随机抽取人，随机变量的取值为，，，
，
，
，
则
，
依题意，由，解得，
所以的最大值为．
20.解：由题意，设所求抛物线的方程为：，
点代入抛物线的方程得：，
所以抛物线的标准方程为：．
证明：由题意直线的方程可设为，
联立，代入化简得，
由题意，从而，即，
从而，即，
同理可得，，
．
又，所以，
所以．
由可知，
设直线的表达式为，即，
联立，代入化简整理得：，
由，故，
从而，，
，
点到直线的距离，
，
令，则，，
设，则，令，解得负值舍去，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
从而，
即面积的最大值为．
21.解：由题意可知，，
，
故，，
解得，或，；
存在，理由如下：
因为，
所以，
所以，
若存在实数，使得是常数列，
则，
即有解，
令，
则，
所以单调递增，
又因为，，
又因为在上连续，
所以存在，使得，
即存在实数，使，
所以存在为的解，
故存在实数，使得是常数列；
证明：由题意，不妨设，
必要性证明：恒成立，
故，
所以为常数，
显然依然为周期函数，必要性成立；
充分性证明：不妨设周期为，
则，
所以，
故取，
则，
由，，
得，，
故，，
同理，取，，
所以，
故，，
归纳易得，，
同理易得，，
综上，，，
故，
故恒成立，充分性成立；
综上，“恒成立”的充要条件是“是周期函数”．
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