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【解答题期中真题汇编】第3章 整式的乘除
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算：．
2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算：
3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：
4．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）当，时，求代数式的值．
5．（25-26七年级上·陕西安康·期中）求代数式的值，其中，．
6．（25-26七年级上·浙江·期中）计算：如图所示是一个长方形．
(1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积；
(2)若，求的值．
7．（25-26八年级上·吉林·期中）现有A，B，C三种型号的地砖，其规格如图所示，若用这三种地砖铺设一个长为，宽为的长方形地面，请你计算说明需要A，B，C种地砖各多少块？
8．（25-26八年级上·北京·期中）计算：．
9．（25-26七年级上·上海·期中）计算：
(1)．
(2)．
10．（25-26七年级上·上海·期中）计算：．
11．（25-26八年级上·新疆克拉玛依·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
12．（25-26八年级上·广东东莞·期中）先化简．再求值：，其中．
13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）用简便算法计算
(1)；
(2)
14．（25-26八年级上·福建福州·期中）运用乘法公式进行简便计算．
(1)
(2)
15．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中，．
16．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值．
17．（25-26八年级上·海南海口·期中）先化简，再求值：，其中，．
18．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）先化简，再求代数式，其中
19．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______；
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知，求的值；
②计算：．
20．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践
主题：从形的角度探究数量关系．
活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)．
任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ；
任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ．
任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值．
21．（25-26八年级上·山西晋城·期中）定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”．
任务：根据上述材料，推理下面的结论．
求证：
(1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方．
(2)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍．
22．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑．
(1)求绿化区域的面积（用含的式子表示）．
(2)当时，求绿化区域的面积．
23．（25-26八年级上·福建福州·期中）观察下列算式：① ② ③
(1)请按照以上三个算式的规律写出第④个算式：_____；
(2)请按照以上规律写出第个算式_______________，并证明所写式子的正确性．
24．（25-26八年级上·四川眉山·期中）综合应用
在学习乘法公式时，某兴趣小组发现：已知，可以在不求的值的情况下，求出的值．具体做法如下：．
(1)若，则____________；
(2)若满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设，则，
所以．
请参照上述方法解决问题：若，求的值；
(3)如图，某校园艺社团在一面靠墙（其中墙足够长）的空地上，用长11米的篱笆围成一个长方形的花圃，面积为15平方米，随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积．
25．（25-26七年级上·陕西·期中）如图1是一张正方形纸片，李明用剪刀剪成两个边长分别为x（分米）和y（分米）的正方形和两个长方形，用所得的两个的正方形制作成如图2所示的新年挂图．
(1)用含x、y的代数式表示正方形纸片的周长；
(2)用含x、y的代数式表示李明剪掉部分（阴影部分）的面积；
(3)当时，求李明剪掉部分（阴影部分）的面积．
26．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【观察发现】在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（图）．
(1)图1中的阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）；
(2)将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（图），那么这个长方形的面积为 （用含的代数式表示）；
(3)综合图1、图2，从中可以归纳出一个结论： ；
(4)根据（3）的结论计算：；
(5)【灵活应用】图3表格中画出了两组分别用7个数字组成的形图案（阴影部分），现在在图3中任意找一个形图案（图4），设这个形图案的其中五个数的中心数为所对应的数分别设为，求的值．
27．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：
(1)；
(2)；
28．（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：．
29．（25-26八年级上·海南海口·期中）计算．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（简便计算）．
30．（25-26八年级上·北京·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
31．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，德强广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有两个边长为米的小正方形空地，规划部计划将阴影部分进行绿化．
(1)请用含有、的式子表示德强广场长方形地块的面积为_____平方米．（结果写成最简形式）；
(2)求用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
(3)若，，求出绿化的总面积．
32．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）整式乘法运算公式大多都能找到几何验证的方法，针对可以通过下面的图形进行验证．
(1)如图，已知正方形的边长为，将正方形按如图所示分割为边长为的正方形以及两个上底长为，下底长为，高为的直角梯形和直角梯形，根据此图写出你的验证过程：
(2)请利用完全平方公式计算；
(3)已知，求的值．
33．（25-26八年级上·广东广州·期中）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题．
(1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式；
(2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；
(3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
34．（25-26八年级上·上海·期中）数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值2．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值；
(2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由；
35．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
(1)通过计算小正方形面积，可推出，，三者之间的等量关系式为 ；
(2)利用（1）中的结论，试求：当时，求的值．
36．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】
已知代数式，则A的最小值为__________；
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】
已知实数x和y满足，求的最大值．
37．（25-26七年级上·四川广安·期中）如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分面积为．
(1)用含有字母和的式子分别表示与的面积：______，______
(2)根据图与图的面积相等关系得到等式，运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：．
运用上述方法计算．
38．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）如图，四边形与四边形都是正方形，设，．
(1)写出的长度（用含字母、的代数式表示）；
(2)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来；
(3)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（2）中的公式，求、的值．
39．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图是年月的月历，现用如图所示的“”字形框出月历中的个数（图中阴影部分）．
(1)将中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，通过计算后你能发现什么规律？
(2)请用整式的运算对你发现的规律加以证明．
40．（25-26七年级上·山东滨州·期中）求代数式的值：
(1)当时，分别求代数式和的值．
(2)当，时，分别求代数式和的值．
(3)由以上计算结果，你得到什么结论？
(4)现有两个边长为、的正方形和两个长为、宽为的长方形，请用拼图的方式，并利用图形的面积，证明你第（3）小题的结论．
41．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】
（1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________；
【知识应用】
（2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式．
42．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．
(1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则______，______；
(2)根据简拼过程易得，从而得到关于a、b的等式为__________
(3)利用（2）中的结论，求的值．
43．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观．
【教材回顾】选自新版苏科版教材第108页图
（1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________；
【探索活动】（2）简便计算：；
【拓展应用】（3）．
44．（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）．
(1)思考：
结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为；
结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________；
结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________；
结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________．
(2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值；
(3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和．
45．（25-26九年级上·四川达州·期中）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值．
原式：．
可知当时有最小值是．
请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题：
(1)当______时代数式有最小值是______；
(2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
(3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值．
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《【解答题期中真题汇编】第3章 整式的乘除》参考答案
1．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘计算即可．
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
2．
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得．
【详解】解：原式
．
3．
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，先观察式子特征，运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式进行运算，即可作答．
【详解】解：
4．
【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将、的值代入代数式计算即可．
【详解】解：当，时，
．
5．，．
【分析】本题考查了整式化简求值，先根据完全平方公式，合并同类项把原式化简，再把，代入即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
6．(1)
(2)
【分析】本题考查代数式的应用，根据已知条件列出代数式是解题的关键．
（1）利用长方形面积减去大三角形的面积减去小三角形的面积，据此列出面积的代数式即可
（2）将代入（1）中的阴影部分的面积的代数式，进行计算即可．
【详解】（1）解：由图形可知：阴影部分的面积为：
答：阴影部分的面积；
（2）解：将代入得：
，
答：的值为．
7．A型地砖3块，B型地砖5块，C型地砖2块
【分析】本题考查多项式乘多项式，正确进行计算是解题关键．先求出，进而可得出答案．
【详解】解：，
又∵A型地砖面积为，B型地砖面积为，C型地砖面积为
∴需要A型地砖3块，B型地砖5块，C型地砖2块．
8．
【分析】本题考查整式的乘法运算，根据多项式乘多项式和完全平方公式，以及合并同类项进行计算即可求解．
【详解】解：
．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）运用平方差公式运算即可；
（2）运用平方差公式先化简，再利用完全平方公式运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
10．
【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式和多项式乘以多项式的法则，进行求解即可．
【详解】解：原式
．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，平方差公式，单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据积的乘方计算法则求解即可；
（2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（3）根据平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
．
12．，42
【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式及整式的加减运算，熟练掌握公式的展开法则与合并同类项的方法是解题的关键．
先利用完全平方公式和平方差公式展开式子，再合并同类项化简，最后代入数值计算．
【详解】解：
，
当，时，原式．
13．(1)
1
(2)
10392
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握这两个基本公式是解题的关键；
（1）将原式变形为，再利用平方差公式求解；
（2）将原式变形为，再结合完全平方公式求解即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
.
14．(1)10201
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先将原式化为，再运用完全平方公式进行计算，即可作答．
（2）先将原式化为，再运用平方差公式进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
15．，
【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式的应用，以及代数式的化简求值．解题关键是正确展开公式并合并同类项，化简原式后再代入数值计算；易错点是展开公式时符号处理错误（如平方差公式中的去括号）．
先利用完全平方公式展开得，利用平方差公式展开得；再去括号、合并同类项，将原式化简为；最后把、代入化简后的式子，计算得出结果．
【详解】解：原式，
当，时，
16．
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确将所求式子变形是解题的关键．先化简代数式，然后利用已知条件整体代入求值．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
17．
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，化简求值．先根据平方差公式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，得，再把，分别代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
当，时，原式．
18．
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，得，最后把代入计算，即可作答．
【详解】解：
，
把代入得．
19．（1）；（2）①；②
【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键；
（1）根据等积法可进行求解；
（2）①由题意易得，然后代入进行求解即可；
②根据平方差公式可进行求解．
【详解】解：（1）由图可知：；
故答案为；
（2）①，
，
，
；
②
．
20．任务1：；任务2：；任务3：
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，
对于任务1，根据面积公式计算可得答案；
对于任务2，根据面积相等可得答案；
对于任务3，将数值代入计算即可得出答案．
【详解】解：任务1：大正方形的面积减去4个小长方形的面积；正方形的面积；
故答案为：；；
任务2：根据面积相等得；
故答案为：；
任务3：由上面的结论可知，
∵，
∴原式，
．
所以．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解新定义，
对于（1），根据新定义可设“邻积数”为，再根据条件可得，然后整理得出结论即可；
对于（2），先表示出两个“邻积数”为，再整理得出答案．
【详解】（1）证明：由题可知，任意“邻积数”乘4，再加1可以表示为．
，
任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方；
（2）解：由题可知，两个连续的“邻积数”可以分别表示为．
，
两个连续“邻积数”的和是两数和的平方的2倍．
22．(1)平方米
(2)86平方米
【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值，
对于（1），根据整式的乘法法则计算；
对于（2），将a，b的值代入计算得出答案．
【详解】（1）解：绿化区域的面积为
．
答：绿化区域的面积为平方米；
（2）解：当时，．
答：绿化区域的面积为86平方米．
23．(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察题干的过程，即可得出第④个算式；
（2）观察题干的过程，以及（1）中的第④个算式为：，则第个算式为：，然后把等式的左边的式子展开合并同类项，得，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，第④个算式为：；
（2）解：观察题干的过程以及（1）中的第④个算式为：；
以此类推，得第个算式为：；
证明：
．
24．(1)
(2)
(3)平方米
【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握题中恒等变形求代数式方法是解决问题的关键．
（1）由题中做法直接求解即可得到答案；
（2）由题中做法直接求解即可得到答案；
（3）根据题意，由图形可设，则，，由题中做法求解即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
由题中做法可知，
；
（2）解：，
设，
则，
；
（3）解：如图所示：
设，
则，，
扩建的正方形花圃总面积为
，
答：花圃扩建后增加的面积为平方米．
25．(1)
(2)
(3)8 平方分米
【分析】本题主要考查列代数式，熟练掌握列代数式、代数式求值是解决本题的关键．
（1）根据题中图形列出代数式即可．
（2）根据阴影部分面积大正方形面积减去两个小正方形的面积，列出代数式即可．
（3）将未知数的值代入（2）中求值即可．
【详解】（1）解：由题意得，大正方形的边长，
∴这个正方形纸片的周长为．
（2）解：阴影部分的面积．
（3）解：当时，则（平方分米）．
∴剪掉的阴影部分的面积为8平方分米．
26．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据图形列出正确的平方差公式是解此题的关键．
（1）数形结合，由正方形面积公式列代数式即可得到答案；
（2）根据长方形面积公式列代数式即可得到答案；
（3）由（1）（2）中阴影部分面积的关系即可得到答案；
（4）由（3）中公式，直接应用即可得到答案；
（5）设中心数为，得到，由（3）中公式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得，阴影部分的面积
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，长方形的面积，
故答案为：；
（3）解：∵图1中的阴影部分面积图2中的阴影部分面积，
，
故答案为：；
（4）解：由（3）中公式，可得，
；
（5）解：设中心数为，
，
故答案为：．
27．(1)
(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
28．
【分析】先把带分数拆成整数与分数的差或和，再利用平方差公式简化运算．
【详解】解：原式
．
29．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查整式的运算和简便计算．
（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项；
（3）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号合并同类项；
（4）利用平方差公式进行简便计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
30．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则和公式法来计算．
（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）根据积的乘方的运算法则进行计算即可；
（3）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（4）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可；
（5）利用平方差公式进行计算；
（6）利用完全平方公式及单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：．
．
31．(1)
(2)绿化的总面积为平方米；
(3)绿化的总面积为13200平方米．
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键．
（1）根据长方形面积公式计算即可；
（1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可；
（2）把，，代入（2）所求结果中计算求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，长为米，宽为
，
长方形地块的面积为平方米．
故答案为：；
（2）解：根据题意，
，
绿化的总面积为平方米；
（3）解：当，时，
（平方米），
绿化的总面积为13200平方米．
32．(1)
(2)10609
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是整体代入思想的运用．
（1）利用“大正方形面积=各部分图形面积之和”建立等式，推导公式；
（2）把103写成，运用（1）的结论求解即可；
【详解】（1）解：，
；
；
∵，
∴，
∴；
（2）解：
；
（3）解：∵
设，
∴
∴，
解得，
即．
33．(1)，验证见解析
(2)需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张
(3)阴影部分的面积为
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
（1）图的正方形的边长为，是由1张纸片A，1张纸片B，2张纸片C拼成的，根据面积相等即可求解；
（2）计算，即可求解；
（3）设，则，，由（1）的结论可求出的值，进而求出三角形的面积．
【详解】（1）解：图②整体上是边长为的正方形，因此面积为，图②中四个部分的面积和为，
所以有，
验证，．
（2）解：，而纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为，
需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）解：设，则，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积为．
34．(1)
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，正确进行配方是解此题的关键．
（1）将配方得，结合即可求解；
（2）作差得，再配方得，又，即可判断代数式的大小．
【详解】（1）配方得
，
，
，
所以A的最小值为；
（2）作差得
，
，
又，所以，
即，
．
35．(1)
(2)52
【分析】本题主要考查乘法公式，完全平方公式；
（1）根据小正方形面积等于大正方形面积减去4个长方形面积即可求出；
（2）结合（1）得到的结论计算即可．
【详解】（1）解：小正方形面积为：，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
∴．
36．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】此题考查了完全平方公式的应用．
（1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值；
（2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论；
（3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值．
【详解】（1）解：，
因为所以，当时，，
因此有最小值，最小值为，即的最小值为，
A的最小值为；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
甲菜地的面积，
乙菜地的面积，
，
因为，所以，
即，
所以；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
当时，取最大值，
故的最大值为．
37．(1)，
(2)39999
【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．
（1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积；
（2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式；将原式变形为，然后计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得；，
故答案为：；；
（2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同，
∴；
∴
．
38．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了列代数式，平方差公式的证明以及应用，掌握平方差公式的性质以及应用是解题的关键．
（1）根据即可求出的长度；
（2）用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积：①延长交于点，通过；②通过，可得；
（3）根据题意可得，代入原式并联立方程即可求出a、b的值．
【详解】（1）解：∵四边形与四边形都是正方形，
设，，
∴，
∴；
（2）解：①延长交于点，
则
；
②，
∴；
（3）解：根据题意可得，
由（2）知，
则，即，
联立得，
解得．
39．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查平方差公式以及有理数的运算，正确地表示出日历中的五个数，是解题的关键．
（1）根据有理数的运算法则，进行计算即可；
（2）根据月历上的数字规律，用含的式子表示出，再根据整式的乘法法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：计算图中两个“”字形；
，
发现规律：将中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，结果都等于 15；
（2）证明：设“”字形框架中位置上的数为，
则：，
，
，
．
40．(1)，
(2)，
(3)；
(4)见解析
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键．
（1）将代入，分别求值即可；
（2）将，代入，分别求值即可；
（3）根据两次计算可得结论；
（4）再拼图形，利用图形的面积关系即可得出结论．
【详解】（1）解：当，时，
（2）解：当，时，
，
，
（3）解：由（2）得结论：；
（4）解：画图如下：
证明：由图1可得，,
∴；
由图2可得，,
∴.
41．（1）；；；（2）
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积．
（1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式．
（2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式．
【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为，
图②中阴影部分的面积可表示为，
恒等式，
故答案为：，，；
（2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为，
新长方体体积为，
正方体挖去一个小长方体后的体积为，
根据变化前后几何体的体积相等，
可得，
代数恒等式为；
42．(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查列代数式和平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）根据图形中阴影部分的形状和面积的计算方法，用代数式表示其面积即可；
（2）由（1）可得结论；
（3）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，
所以，拼成的图2是长为，宽为的长方形，
因此面积，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得；
所以有或，
故答案为：或，
（3）解：
．
43．（1），；（2）；（3）．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用、列代数式、完全平方公式的简便运算等知识点，灵活运用完全平方公式以及数形结合思想是解题的关键．
（1）结合图形列代数式即可解答；
（2）将写成，然后用完全平方公式求解即可；
（3）将写成，然后解答即可．
【详解】解：（1）正方形的面积还可以表示为，
所得等式为：．
故答案为：，．
（2）
．
（3）
．
44．(1)，，
(2)
(3)6
【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；
（2）根据结论求出，然后进行计算即可得解；
（3）根据结论求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】（1）解：图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，
∴图2面积为：；
图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，
∴图3面积可表示为：；
∴，
∴
∴结合结论②和结论③，可以得到等式；
（2）解：，
，
，
，
，
解得；
（3）解：由（2）可知：，
∴阴影部分面积和为：，
，
∴阴影部分面积和为：．
45．(1)3；5；
(2)当时，多项式有最小值是21；
(3)，当时，S有最小值，最小值是4．
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题关键．
（1）仿照例题，运用“配方法”求解即可；
（2）仿照例题，运用“配方法”求解即可；
（3）由题意可知，，，，进而得出，，再根据列式，然后利用“配方法”求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
即当时代数式有最小值是，
故答案为：3；5；
（2）解：
，
，
，
当时，多项式有最小值是21；
（3）解：由题意可知，，，，
在长方形中，，，
，，，
，，
，
，
，
，
当时，S有最小值，最小值是4．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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