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实数---数的家族的“大团圆”
第6章 实数
大团结
从有理数到实数，我们的数家族完整了！
1
2
0
3
–1
4
π
问题探究
问题1 如图，是一个面积为4平方米的正方形电子显示屏，问：它的边长应是多少
问题2 如图，是一个面积为2平方米的正方形电子显示屏，问：它的边长应是多少
解：设它的边长为 x 米.
则
如何求出 x 的值呢？
需要引入新的运算 ——
开方
合作探究
解：
我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成 一个面积为2的格点正方形（如图），这种正方形的边长应是多少？
设这种正方形的边长为x.
x2 ＝2.
解得
（舍去）
边长为1的正方形的对角线的长度
设这种正方形的边长为x (x>0).
根据题意，得
x2 ＝2.
解得
根据题意，得
合作探究
探究 是一个怎样的数呢？
我们用下面的方法来研究它.
因为 1＜2<4，
所以
即
在1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么在哪两个一位小数之间呢？
在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，
因为 1.42＝1.96，
所以
即
这说明 不可能是整数.
这两个小数是1.4和1.5.
1.52 ＝2.25 ，
1.96<2<2.25.
合作探究
继续探究 同样，在1.4与1.5之间的两位小数有1.41，1.42，...，1.49， 那么在哪两个两位小数之间呢？
因为 1.412＝1.9881，
1.422＝2.0164，
1.9881<2<2.0164.
所以
即
这又有什么意义呢？
是介于1.41和1.42之间的一个三位小数.
类似的……像上面这样一直(无限)做下去,我们可以得到：
它可以根据需要，想算到哪位，就可以算到哪位，即可无限继续算下去.
无限不循环小数
＝1.414 213 5…
合作探究
探究 ＝1.4142135… 是无限循环小数吗？是有理数吗？
不是有理数.
不是无限循环小数，
是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫无理数.
此外,

这些数都是无限不循环小数.
因此 是无理数.
★
合作探究
探究 直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O′，点O′的坐标是多少？
1
2
0
3
–1
4
π
O'
无理数 π 可以用数轴上的点表示.
归纳总结
概念整理
有理数和无理数统称实数．
这样，我们认识的数的范围又一次扩大了，我们可以将实数按如下方式分类:
实数
有理数
无理数
正有理数
零
负有理数
正无理数
负无理数
（无限不循环小数）
(有限小数或无限循环小数）
归纳总结
所以实数也可以有正、负之分，可分为正实数、零和负实数.
有理数、无理数都有正、负之分，
实数还可以如何分类？为什么？
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
零
易错警示：分类标准不同，分法也就不同，但不管哪种分法都要做到不重不漏；
合作探究
获知 把数从有理数扩充到实数后，有理数的相反数和绝对值的概念同样适用于实数.
与 互为相反数，
与 互为倒数，
有
有
任一个实数a的绝对值任然用 表示，
如
结论1：无理数与无理数的和不一定是无理数.
结论2：无理数与无理数的积不一定是无理数.
小试能手
填空：
（1）a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；
（2）如果a≠0，那么它的倒数为 ；
(3) 正实数的绝对值是 ，０的绝对值是 ，负实数的绝对值是 .
它本身
0
它的相反数
字母
表示
a
0
-a
|a|=
(a>0)
(a=0)
(a>0)
任意实数的绝对值都是 ，
非负数
即 .
|a|≥0
合作探究
合作学习 请同学们总结有理数的运算律和运算法则
1.交换律 ：
2.结合律：
3.分配律：
注：有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用.
加法 a+b=b+a
乘法 ab=ba
加法（a+b)+c=a+(b+c)
乘法（ab）c=a（bc）
a (b+c)= ab+ ac
合作探究
合作学习
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数和零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减. 如果遇到括号， 则先进行括号里的运算.
今日作业
今日作业
加油！同学们！

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