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第二章 圆柱和圆锥 知识归纳与题型突破
一、圆柱和圆锥的认识
1.圆柱和圆锥的特征：圆柱有两个底面和一个侧面，圆柱的两个底面是完全相同的圆；圆锥是由底面和侧面两个部分组成，圆锥的底面是一个圆，侧面是曲面。
2.圆柱和圆锥的高：圆柱有无数条高，所有的高都相等；圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。
二、圆柱的侧面积和表面积的计算方法
1.圆柱的侧面积：圆柱的侧面积＝底面周长×高。用字母表示为S侧＝Ch＝πdh＝2πrh。
2.圆柱的表面积：圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的两个底面积。用字母表示圆柱的表面积：S表＝S侧＋2S底。
三、圆柱的体积公式
1.圆柱的体积公式：圆柱的体积＝圆柱的底面积×高，用字母表示为V＝Sh。
2.长方体、正方体和圆柱的统一体积公式：体积＝底面积×高，用字母表示为V＝Sh。
3.计算圆柱体积，如果已知半径，利用公式V＝πr h计算；已知直径，利用公式V＝π() h计算；已知周长，利用公式V＝π(C÷π÷2) h计算。
四、圆柱的体积公式
1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的。
2.圆锥的体积＝底面积×高×。
3.已知圆锥的底面积和高，可以利用公式V＝Sh直接代入数据计算出圆锥的体积。
题型一　圆柱和圆锥的认识
例1．（2024春 高陵区期中）如图，一个礼盒上扎了一根丝带。这个礼盒底面直径是30厘米，高是10厘米，打结部分长28厘米，这根丝带至少长多少厘米？
【分析】要求扎这个盒子至少用丝带多少厘米，就是求8条直径、8条高和打结用去的绳长的总和。
【解答】解：30×8+10×8+28
＝240+80+28
＝348（厘米）
答：这根丝带至少长348厘米。
【点评】解答此题用到的知识点：圆柱的特征。
巩固训练
1．（2022 曹县）如图中圆柱的底面周长是25.12cm，高是15dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需15cm）
【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于4条高，4条直径，再加打结处用的15厘米，由此列式解答。
【解答】解：15分米＝150厘米
底面直径：
25.12÷3.14＝8（厘米）
8×4+150×4+15
＝32+600+15
＝647（厘米）
答：至少需要647厘米的包装绳。
【点评】此题属于圆柱体知识的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些数据的长度和。
2．（2023春 通榆县月考）下面哪个图形是圆柱的展开图？在括号里画“√”。（单位：cm）
【分析】根据圆柱展开图的特点，其侧面是一个长方形，长是圆柱底面的周长，由此即可解决问题。
【解答】解：（1）3.14×8＝25.12（厘米）
12.56≠25.12，所以第一个图不是圆柱的展开图；
（2）3.14×10＝31.4（厘米）
31.4＝31.4，所以第二个图是圆柱的展开图；
（3）3.14×6＝18.84（厘米）
18.84≠12，所以第三个图不是圆柱的展开图。
解答如下：
【点评】本题考查了圆柱展开图的特点，其侧面是一个长方形，长是圆柱底面的周长，宽是圆柱的高。
3．（2022 陆丰市）一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是4厘米．从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积比原来的圆锥增加了多少平方厘米？
【分析】从圆锥的顶点沿着高把他切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此利用圆锥的底面周长18.84厘米求出它的底面直径即可解决问题．
【解答】解：圆锥的底面直径为：18.84÷3.14＝6（厘米），
则切割后表面积增加了：6×4÷2×2＝24（平方厘米）；
答：表面积之和比原来圆锥表面积增加24平方厘米．
【点评】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是2个以底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积是解决此类问题的关键．
题型二　圆柱的侧面积和表面积
例2．（2024 洛南县）计算如图的表面积。
【分析】通过观察可知组合立体图形的表面积是圆柱的侧面积加上长方体的表面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数值进行计算即可。
【解答】解：3.14×5×5＝15.7×5
＝78.5（平方分米）
（9×7+9×4+7×4）×2
＝（63+36+28）×2
＝127×2
＝254（平方分米）
78.5+254＝332.5（平方分米）
答：如图的表面积是332.5平方分米。
【点评】本题考查组合图形的表面积。掌握圆柱的侧面积公式以及长方体的表面积公式是解决本题的关键。
巩固训练
1．（2024 长葛市）求如图形的表面积。（单位：厘米，π取3.14）
【分析】长方体的表面积加上圆柱的侧面积即可。
【解答】解：（10×6+10×3+6×3）×2
＝（60+30+18）×2
＝108×2
＝216（平方厘米）
3.14×5×6
＝15.7×6
＝94.2（平方厘米）
216+94.2＝310.2（平方厘米）
答：表面积是310.2平方厘米。
【点评】熟练掌握长方体的表面积和圆柱的侧面积公式是解答本题的关键。
2．（2024 蒸湘区）计算如图形的表面积。（单位：cm）
【分析】圆柱的上面的面积补充正方体上面减少的面积，所以图形的表面积可以求一个完整的正方体的表面积与圆柱侧面积的和，根据正方体的表面积公式与圆柱的侧面积的求法，分别求出再相加，即可解答。
【解答】解：（8×8）×6+2×3.14×5
＝384+31.4
＝415.4（平方厘米）
答：图形的表面积是415.4平方厘米。
【点评】本题考查的是组合图形的表面积，关键是掌握正方体的表面积和圆柱的侧面积。
3．（2024春 鄂城区期中）“三八”妇女节，小华想送给妈妈一个自制的笔筒，并且自己制作一个无盖礼品盒。有以下几种型号的彩纸可供搭配选择。
（1）选择 　 　号和 　 　号彩纸可以制作一个无盖的礼品盒。
（2）做这个无盖的礼品盒至少需要多少平方厘米的彩纸？
【分析】（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形。这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝πd，或C＝2πr，把数据代入公式求出两个圆的周长，然后与两个长方形的长进行比较即可。
（2）根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：（1）①号2×3.14×3＝18.84（厘米）
②号2×3.14×4＝25.12（厘米）
③号长方形的长等于25.12厘米。
答：选择②号和③号彩纸可以制作一个无盖的礼品盒。
（2）25.12×10+3.14×42
＝251.2+3.14×16
＝251.2+50.24
＝301.44（平方厘米）
答：做这个无盖的礼品盒至少需要301.44平方厘米的彩纸。
故答案为：②，③；
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。
题型三　圆柱和圆锥的体积
例3．（2024 龙华区）木工师傅用正方体木块切割加工圆柱体。正方体木块棱长是12厘米。请分别解决以下问题。（此题结果可用含π的式子表示，也可将π取3.14计算。）
（1）如果用这个正方体木块切割出一个最大的圆柱体，如图1，这个圆柱体的体积是多少？被切割掉的边角料的体积是多少？
（2）如果用这个正方体木块切割出4个大小相等且体积最大的圆柱体，如图2，每个小圆柱体的体积是多少？被切割掉的边角料的体积是多少？
（3）如果继续像上面这样加工圆柱体，加工9个大小相等且体积最大的圆柱体，被切割掉的边角料的体积是多少？
（4）奇思在解决上述问题时，他发现被切割出来的圆柱体的个数是1×1，2×2，3×3，……，n×n。那么，当被切割出来的圆柱体的个数是n×n时，每个小圆柱体的半径是 　 　厘米，每个小圆柱体的体积是 　 立方厘米。按照这种想法，此时，被切割掉的边角料体积是多少？你发现了什么？
【分析】（1）正方体木块切割出一个最大的圆柱体，则圆柱的底面圆的直径等于正方体的棱长，高也等于正方体的棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长求出正方体的体积；根据圆柱的体积＝πr2h求出圆柱的体积，用正方体的体积减去圆柱的体积即是被切割掉的边角料的体积。据此解答；
（2）正方体木块切割出四个最大的圆柱体，则每个圆柱的底面圆半径的直径等于正方体的棱长的一半，高也等于正方体的棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长求出正方体的体积；根据圆柱的体积＝πr2h求出圆柱的体积，用正方体的体积减去圆柱的体积即是被切割掉的边角料的体积。据此解答；
（3）根据（1）、（2）可知，加工9个大小相等且体积最大的圆柱体，被切割掉的边角料的体积和（1）、（2）的切割方法剩下的边角料相等；
（4）根据（1）、（2）、（3）可以推断：每个小圆柱体的半径是厘米，每个小圆柱体的体积是立方厘米，被切割掉的边角料体积是（1728﹣432π）立方厘米，发现了被切割出来的圆柱体的个数是1×1，2×2，3×3，……，n×n时，被切割掉的边角料的体积都相等（答案不唯一，合理即可）。
【解答】解：（1）3.14×（12÷2）2×12＝1356.48（立方厘米）
12×12×12＝1728（立方厘米）
1728﹣1356.48＝371.52（立方厘米）
答：这个圆柱体的体积是1356.48立方厘米，被切割掉的边角料的体积是371.52立方厘米。
（2）3.14×（12÷2÷2）2×12＝339.12（立方厘米）
12×12×12＝1728（立方厘米）
1728﹣339.12×4＝371.52（立方厘米）
答：每个小圆柱体的体积是339.12立方厘米，被切割掉的边角料的体积是371.52立方厘米。
（3）根据（1）、（2）的切割方法可知，被切割掉的边角料的体积是371.52立方厘米。
（4）根据（1）、（2）、（3）可以推断：每个小圆柱体的半径是厘米，每个小圆柱体的体积是立方厘米，被切割掉的边角料体积是（1728﹣432π）立方厘米，发现了被切割出来的圆柱体的个数是1×1，2×2，3×3，……，n×n时，被切割掉的边角料的体积都相等（答案不唯一，合理即可）。
故答案为：，。
【点评】本题考查了正方体内切割最大圆柱体的应用，图形规律的应用、正方体和圆柱体体积计算的应用。
巩固训练
1．（2024 丛台区）计算立体图形的体积。（单位：cm）
【分析】首先根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），求出底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×[（60÷2）2﹣（40÷2）2]×20
＝3.14×[900﹣400]×20
＝3.14×500×20
＝1570×20
＝31400（立方厘米）
答：它的体积是31400立方厘米。
【点评】此题主要考查环形面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
2．（2024 兴国县）张老师在实验室里把4.8L药水全部倒入如图的两个容器中，正好倒完也刚好都倒满。已知圆柱和圆锥容器的底面积相等，圆柱和圆锥容器的容积各是多少L？
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3+1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥容器的容积，进而求出圆柱容器的容积。
【解答】解：4.8÷（3+1）
＝4.8÷4
＝1.2（升）
1.2×3＝3.6（升）
答：圆柱容器的容积是3.6升，圆锥容器的容积是1.2升。
【点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
3．（2024 泗水县）如图所示，一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？
【分析】剩下的体积就是这个棱长为6厘米的正方体的体积与高为6厘米的圆锥的体积之差，由此只要求得圆锥的底面半径即可解决问题：圆锥的底面在正方体的底面上，根据正方形内最大圆的特点可知：圆锥的底面半径为6除以2等于3厘米，据此解答即可。
【解答】解：6×6×6
＝36×6
＝216（立方厘米）
×3.14×（6÷2）2×6
＝×3.14×9×6
＝56.52（立方厘米）
216﹣56.52＝159.48（立方厘米）
答：剩下的体积是159.48立方厘米。
【点评】此题考查了正方体与圆锥的体积公式的灵活应用，这里正确得出正方体内最大的圆锥的底面半径与高是解决此类问题的关键。第二章 圆柱和圆锥 知识归纳与题型突破
一、圆柱和圆锥的认识
1.圆柱和圆锥的特征：圆柱有两个底面和一个侧面，圆柱的两个底面是完全相同的圆；圆锥是由底面和侧面两个部分组成，圆锥的底面是一个圆，侧面是曲面。
2.圆柱和圆锥的高：圆柱有无数条高，所有的高都相等；圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。
二、圆柱的侧面积和表面积的计算方法
1.圆柱的侧面积：圆柱的侧面积＝底面周长×高。用字母表示为S侧＝Ch＝πdh＝2πrh。
2.圆柱的表面积：圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的两个底面积。用字母表示圆柱的表面积：S表＝S侧＋2S底。
三、圆柱的体积公式
1.圆柱的体积公式：圆柱的体积＝圆柱的底面积×高，用字母表示为V＝Sh。
2.长方体、正方体和圆柱的统一体积公式：体积＝底面积×高，用字母表示为V＝Sh。
3.计算圆柱体积，如果已知半径，利用公式V＝πr h计算；已知直径，利用公式V＝π() h计算；已知周长，利用公式V＝π(C÷π÷2) h计算。
四、圆柱的体积公式
1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的。
2.圆锥的体积＝底面积×高×。
3.已知圆锥的底面积和高，可以利用公式V＝Sh直接代入数据计算出圆锥的体积。
题型一　圆柱和圆锥的认识
例1．（2024春 高陵区期中）如图，一个礼盒上扎了一根丝带。这个礼盒底面直径是30厘米，高是10厘米，打结部分长28厘米，这根丝带至少长多少厘米？
巩固训练
1．（2022 曹县）如图中圆柱的底面周长是25.12cm，高是15dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需15cm）
2．（2023春 通榆县月考）下面哪个图形是圆柱的展开图？在括号里画“√”。（单位：cm）
3．（2022 陆丰市）一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是4厘米．从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积比原来的圆锥增加了多少平方厘米？
题型二　圆柱的侧面积和表面积
例2．（2024 洛南县）计算如图的表面积。
巩固训练
1．（2024 长葛市）求如图形的表面积。（单位：厘米，π取3.14）
2．（2024 蒸湘区）计算如图形的表面积。（单位：cm）
3．（2024春 鄂城区期中）“三八”妇女节，小华想送给妈妈一个自制的笔筒，并且自己制作一个无盖礼品盒。有以下几种型号的彩纸可供搭配选择。
（1）选择 　 　号和 　 　号彩纸可以制作一个无盖的礼品盒。
（2）做这个无盖的礼品盒至少需要多少平方厘米的彩纸？
题型三　圆柱和圆锥的体积
例3．（2024 龙华区）木工师傅用正方体木块切割加工圆柱体。正方体木块棱长是12厘米。请分别解决以下问题。（此题结果可用含π的式子表示，也可将π取3.14计算。）
（1）如果用这个正方体木块切割出一个最大的圆柱体，如图1，这个圆柱体的体积是多少？被切割掉的边角料的体积是多少？
（2）如果用这个正方体木块切割出4个大小相等且体积最大的圆柱体，如图2，每个小圆柱体的体积是多少？被切割掉的边角料的体积是多少？
（3）如果继续像上面这样加工圆柱体，加工9个大小相等且体积最大的圆柱体，被切割掉的边角料的体积是多少？
（4）奇思在解决上述问题时，他发现被切割出来的圆柱体的个数是1×1，2×2，3×3，……，n×n。那么，当被切割出来的圆柱体的个数是n×n时，每个小圆柱体的半径是 　 　厘米，每个小圆柱体的体积是 　 立方厘米。按照这种想法，此时，被切割掉的边角料体积是多少？你发现了什么？
巩固训练
1．（2024 丛台区）计算立体图形的体积。（单位：cm）
2．（2024 兴国县）张老师在实验室里把4.8L药水全部倒入如图的两个容器中，正好倒完也刚好都倒满。已知圆柱和圆锥容器的底面积相等，圆柱和圆锥容器的容积各是多少L？
3．（2024 泗水县）如图所示，一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？

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