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第六章 正比例和反比例 知识归纳与题型突破
一、正比例的意义及图像
1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。
2.正比例关系的判断方法：首先判断这两种量是不是相关联的量。再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定，比值一定，则这两种相关联的量成正比例，反之，则不成正比例。
3.正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。从图像中可以直观地看出两种量的变化情况，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。
二、反比例的意义
1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫反比例关系。
2.反比例关系的判断方法：(1)两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。(2)两种量中相对应的两个数的积一定。
三、大树有多高（比例的应用）
1．在外通过测量各种物体的长度及其影子的长度，然后再找出物体长度和影子的比例关系，找出其中的规律。
2．在活动过程中积累数学活动的基本经验，仔细感受解决问题的乐趣，感受数学在实际生活中的应用。
3．以分组的形式，培养自己解决问题的能力以及团队合作精神和创新意识。
题型一　正比例和反比例的意义
例1．（2024 房山区）中国首颗太阳探测卫星“羲和号”，可以连续对太阳进行观测。其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日面扫描，获得光谱的数量（单位：条）与对应的时长（单位：秒）关系如下：
时长/秒 0 5 10 15 20 25 30 ……
获得光谱的数量/条 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 ……
（1）根据表中数据，写出一个正确的比例式：　 　；
（2）根据表中数据，在下图中描出表示获得光谱的数量与对应的时长的点，并把这些点顺次连接起来。
（3）如果连续观测5分钟，获得光谱的数量大约是 　 　条。
【分析】（1）观察表格中数据，会发现每一组时长和对应的获得光谱的数量的比值是相等的，5秒对应500条，10秒对应1000条等，它们的比值都是，所以比例式可以为：5：500＝10：1000，20：2000＝25：2500等。只要满足这样的比例关系即可。
（2）按照表格中的数据，在坐标图上找到对应的点，然后把这些点依次连接起来即可。
（3）先把5分钟换算成秒，即5×60＝300秒，30秒时是3000条，300 秒是30秒的10倍，所以获得光谱的数量大约是3000×10＝30000条。
【解答】解：（1）根据表中数据，写出一个正确的比例式：5：500＝10：1000。（答案不唯一）
（2）根据表格中提供的数据分别在对应位置描上点，然后将点连接起来。
（3）因为1分钟＝60秒，5分钟＝（5×60）秒＝300 秒，从表格中可以看出30秒时获得3000 条光谱，300秒大约是30秒的10倍，所以获得光谱的数量是3000×10＝30000条。
如果连续观测5分钟，获得光谱的数量大约是30000条。
故答案为：5：500＝10：1000，（答案不唯一）30000。
【点评】此题考查了正比例和反比例的意义，要求学生能够掌握。
巩固训练
1．（2024 晋州市）我们做过滴水实验，一个没有拧紧的水龙头的漏水情况如图。
（1）点A表示什么意思？　 　
（2）如果用t表示时间，v表示漏水量，用式子表示它们的关系是，t和v是否成正比例？　 　
（3）假设1个人每天喝水2升，一个月（30天计算）的漏水量可供这个人喝几天？
【分析】（1）横坐标表示时间，纵坐标表示漏水量，据此解答。
（2）从图像上可以看出，水龙头每分钟漏水12毫升，根据漏水量÷时间＝每分钟漏水量写出关系式；再判断两种量是否成正比例。
（3）先求出水龙头一个月的漏水量，再求可供这个人喝几天。
【解答】解：（1）点A表示水龙头6分钟漏水72毫升。
（2）＝12，V与t的比值一定，V与t成正比例。
（3）12×60×24×30＝518400（毫升）
518400毫升＝518.4升
518.4÷2＝259.2（天）
答：可供这个人喝259.2天。
故答案为：水龙头6分钟漏水72毫升。＝12，成正比例。
【点评】本题考查了正比例图像的认识、判定及利用正比例解决问题的能力，综合性较强，需灵活掌握。
2．（2024春 增城区期中）根据条件，把表格填写完整。
（1）已知x和y成正比例关系。
x 9 45
y 30 180
（2）已知x和y成反比例关系。
x 24 8
y 15 30
【分析】（1）正比例是两个相关联的量比值一定，求出x与y的比值，再根据x与y的比值即可求出未知的x或y；
（2）反比例是两个相关联的量积一定，求出x与y的积，再根据x与y的积即可求出未知的x或y。
【解答】解：x：y＝9：180＝9÷180＝
当y＝30时，x＝×30＝1.5
当x＝45时，y＝45÷＝900
x 1.5 9 45
y 30 180 900
（2）xy＝8×15＝120
当x＝24时，y＝120÷24＝5
当y＝30时，x＝120÷30＝4
x 24 8 4
y 5 15 30
【点评】此题考查正比例、反比例的认识。掌握正比例和反比例的意义是解答的关键。
3．（2024春 岷县期中）如图所示的图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况．
（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？长颈鹿呢？
（2）估计一下，两种动物18分钟各跑了多少千米？
（3）从图像上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑得快？
【分析】（1）斑马和长颈鹿奔跑的速度是一定的，即路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例关系；
（2）依据图像可知，长颈鹿5分钟跑了4千米，斑马10分钟跑了12千米，根据路程÷时间＝速度，再根据速度×时间＝路程，据此解答．
（3）由图像可知，斑马的图像斜度大，所以斑马跑得快．
【解答】解：（1）根据图像可知，斑马和长颈鹿奔跑的速度是一定的，即路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例关系；
（2）4÷5×18
＝0.8×18
＝14.4（千米）
12÷10×18
＝1.2×18
＝21.6（千米）
答：长颈鹿18分钟跑了14.4千米，斑马18分钟跑了21.6千米．
（3）答：由图像可知，斑马跑得快．
【点评】此题解答关键从统计图中获取信息，当图像是一条直线时，说明两种相关联的量成正比例关系．
题型二　辨识成正比例的量与成反比例的量
例2．（2024 杭州）周叔叔一家去自驾游，从A地途径B地，到达C地。下面是行驶过程中的一些统计数据。
时间/h 1 2 3 4 ……
路程/km 80 160 240 320 ……
耗油量/L 10 20 30 40 ……
二氧化碳排放/kg 13.2 26.4 39.6 52.8 ……
①观察如表，　 　和 　 　成 　 　比例。
②第一天，从A地出发时，汽车油箱里有45L汽油，要去距离400km的B地，途中需要加油吗？
③第二天，要从B地去C地，行了3小时，发现正好行了全程的75%，照这样的速度，到达C地还需要多少小时？
【分析】①观察表格可知，路程和时间成正比例，行驶路程和耗油量成正比例；
②根据表格中数据可知，行驶1千米耗油的数量是0.125升；然后用400乘行驶1千米耗油量，求出行驶400千米耗油量，再与45升比较即可；
③设路程为y km，行驶完全程还需要x小时，运用路程和时间成正比例关系，列式计算。
【解答】解：①观察表格可知，＝，比值是80，所以路程和时间成正比例（答案不唯一）。
②400×（10÷80）
＝400×0.125
＝50（升）
45＜50，所以途中需要加油。
答：途中需要加油。
③设路程为y km，行驶完全程还需要x小时。
0.75x＝0.75
x＝1
答：到达C地还需要1小时。
故答案为：路程；时间；正。（答案不唯一）
【点评】此题考查主要正比例的意义及应用。
巩固训练
1．（2024 鼓楼区）“立竿见影”应用了比例的知识，同一时间、同一地点，竿高和影长成 　 　比例，观察如表并填写。
高度 影长
小树 1.5m 0.8m
大树 　 　m 4.8m
【分析】根据比例的知识，我们知道同一时间、同一地点，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，所以同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例。由此列式解答即可。
【解答】解：“立竿见影”应用了比例的知识，同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例。
设大树的高为x米。
1.5：0.8＝x：4.8
0.8x＝1.5×6
x＝9
答：大树高9米。
填表如下：
高度 影长
小树 1.5m 0.8m
大树 9m 4.8m
故答案为：正；9。
【点评】解答此题的关键是，同一时间、同一地点，物体的长度和它的影子的长度的比值一定。
2．（2024 大洼区）下面是一辆汽车行驶6小时路程和时间的统计表，根据统计表完成问题。
路程/km 80 160 240 320 400 480
时间/时 1 2 3 4 5 6
（1）分别在图中描出各点并顺次连接。
（2）路程和时间成 　 　比例。
（3）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是4cm，这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要 　 　小时到达乙地。
【分析】（1）根据统计表中的数据描点，连线即可；
（2）因为行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例；据此判断；
（3）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际距离，路程÷速度＝时间，据此用实际距离除以速度即可解答。
【解答】解：（1）
（2）路程÷时间＝速度（一定），路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例；
（3）4÷＝20000000（厘米）
20000000厘米＝200千米
200÷80＝2.5（小时）
答：这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要2.5小时到达乙地。
故答案为：正，2.5。
【点评】本题考查了正比例和反比例的意义，并且能够根据统计图表提供的信息，解决有关的实际问题。
3．（2024 乾县）《成语故事》的总价与购买本数如下表。
购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
总价/元 0 10 20 30 60 ……
（1）将上表补充完整。
（2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？
（3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。
（4）480元最多可以购买 　 　本《成语故事》。
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，依据表中数据计算单价，然后计算总价，由此解答本题；
（2）单价＝总价÷数量，由此解答本题；
（3）依据（1）去作图；
（4）利用数量＝总价÷单价去解答。
【解答】解：（1）10÷1＝10（元/本）
4×10＝40（元）
5×10＝50（元）
购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
总价/元 0 10 20 30 40 50 60 ……
（2）单价＝总价÷数量，总价与购买本数之间成正比例，因为总价与购买本数的商是单价，单价一定，则总价与购买本数之间成正比例。
（3）如图：
（4）480÷10＝48（本）
答：480元最多可以购买48本《成语故事》。
故答案为：40、50；48。
【点评】本题考查的是正比例的应用。
题型三　比例的应用
例3．（2024秋 南海区校级月考）《中华人民共和国国旗法》中对国旗的构造有着明确的规定：旗面为红色、长方形：长与宽之比为3：2，也就是宽是长的。中国国旗尺寸不是统一的，在必要时，可按比例放大或缩小。一面国旗长192cm，这面国旗周长是多少米？面积是多少平方米？
【分析】用192乘，求出长方形的宽，再根据长方形周长＝（长+宽）×2，再根据长方形面积＝长×宽，即可解答。
【解答】解：192厘米＝1.92米
1.92×＝1.28（米）
周长：
（1.92+1.28）×2
＝3.2×2
＝6.4（米）
面积：
1.92×1.28＝ 2.4576（平方米）
答：这面国旗周长是6.4米，面积是2.4576平方米。
【点评】本题考查的是比例的应用和长方形周长、面积的计算，理解和应用比例的意义、熟记公式是解答关键。
巩固训练
1． 41．（2024 丛台区）车队向灾区运送救灾物资，去时每小时行60千米，4.5小时到达，返回时每小时多行15千米，返回出发地点用了多长时间？（用比例解）
【分析】因为路程是不变的，速度×时间＝路程，由此可见，速度与时间成反比例，因此即可列出反比例式求解．
【解答】解：设返回出发地点用了x小时，由题意得：
（15+60）×x＝60×4.5，
75x＝270，
x＝3.6．
答：返回出发地点用了3.6小时．
【点评】上面题目要求用比例解答，这时应注意，找出题中哪个量是固定不变的，再看与它相关联的量是成正比例，还是成反比例，然后列比例式求解．
2．（2024 宝安区）排版一部书稿，如果每页排640个字，要200页；如果每页排800个字，可排多少页？
【分析】根据题意知道此书的总页数一定，每页排字的个数和总页数成反比例，由此列式解答即可．
【解答】解：设可排x页，
640×200＝800x，
800x＝128000，
x＝160；
答：可排160页．
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，找准对应量，列式解答即可．
3．（2024 九江）你知道吗？远古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用，64只羊可以换多少把斧头？请用列比例的方法解决问题。
【分析】设64只羊可以换x把斧头，根据羊的只数与斧头把数的比一定，即列比例解答。
【解答】解：设64只羊可以换x把斧头。
64：x＝4：6
4x＝64×6
4x÷4＝64×6÷4
x＝96
答：64只羊可以换96把斧头。
【点评】列比例解答应用题，关键是根据题意设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。第六章 正比例和反比例 知识归纳与题型突破
一、正比例的意义及图像
1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。
2.正比例关系的判断方法：首先判断这两种量是不是相关联的量。再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定，比值一定，则这两种相关联的量成正比例，反之，则不成正比例。
3.正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。从图像中可以直观地看出两种量的变化情况，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。
二、反比例的意义
1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫反比例关系。
2.反比例关系的判断方法：(1)两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。(2)两种量中相对应的两个数的积一定。
三、大树有多高（比例的应用）
1．在外通过测量各种物体的长度及其影子的长度，然后再找出物体长度和影子的比例关系，找出其中的规律。
2．在活动过程中积累数学活动的基本经验，仔细感受解决问题的乐趣，感受数学在实际生活中的应用。
3．以分组的形式，培养自己解决问题的能力以及团队合作精神和创新意识。
题型一　正比例和反比例的意义
例1．（2024 房山区）中国首颗太阳探测卫星“羲和号”，可以连续对太阳进行观测。其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日面扫描，获得光谱的数量（单位：条）与对应的时长（单位：秒）关系如下：
时长/秒 0 5 10 15 20 25 30 ……
获得光谱的数量/条 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 ……
（1）根据表中数据，写出一个正确的比例式：　 　；
（2）根据表中数据，在下图中描出表示获得光谱的数量与对应的时长的点，并把这些点顺次连接起来。
（3）如果连续观测5分钟，获得光谱的数量大约是 　 　条。
巩固训练
1．（2024 晋州市）我们做过滴水实验，一个没有拧紧的水龙头的漏水情况如图。
（1）点A表示什么意思？　 　
（2）如果用t表示时间，v表示漏水量，用式子表示它们的关系是，t和v是否成正比例？　 　
（3）假设1个人每天喝水2升，一个月（30天计算）的漏水量可供这个人喝几天？
2．（2024春 增城区期中）根据条件，把表格填写完整。
（1）已知x和y成正比例关系。
x 9 45
y 30 180
（2）已知x和y成反比例关系。
x 24 8
y 15 30
3．（2024春 岷县期中）如图所示的图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况．
（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？长颈鹿呢？
（2）估计一下，两种动物18分钟各跑了多少千米？
（3）从图像上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑得快？
题型二　辨识成正比例的量与成反比例的量
例2．（2024 杭州）周叔叔一家去自驾游，从A地途径B地，到达C地。下面是行驶过程中的一些统计数据。
时间/h 1 2 3 4 ……
路程/km 80 160 240 320 ……
耗油量/L 10 20 30 40 ……
二氧化碳排放/kg 13.2 26.4 39.6 52.8 ……
①观察如表，　 　和 　 　成 　 　比例。
②第一天，从A地出发时，汽车油箱里有45L汽油，要去距离400km的B地，途中需要加油吗？
③第二天，要从B地去C地，行了3小时，发现正好行了全程的75%，照这样的速度，到达C地还需要多少小时？
巩固训练
1．（2024 鼓楼区）“立竿见影”应用了比例的知识，同一时间、同一地点，竿高和影长成 　 　比例，观察如表并填写。
高度 影长
小树 1.5m 0.8m
大树 　 　m 4.8m
2．（2024 大洼区）下面是一辆汽车行驶6小时路程和时间的统计表，根据统计表完成问题。
路程/km 80 160 240 320 400 480
时间/时 1 2 3 4 5 6
（1）分别在图中描出各点并顺次连接。
（2）路程和时间成 　 　比例。
（3）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是4cm，这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要 　 　小时到达乙地。
3．（2024 乾县）《成语故事》的总价与购买本数如下表。
购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
总价/元 0 10 20 30 60 ……
（1）将上表补充完整。
（2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？
（3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。
（4）480元最多可以购买 　 　本《成语故事》。
题型三　比例的应用
例3．（2024秋 南海区校级月考）《中华人民共和国国旗法》中对国旗的构造有着明确的规定：旗面为红色、长方形：长与宽之比为3：2，也就是宽是长的。中国国旗尺寸不是统一的，在必要时，可按比例放大或缩小。一面国旗长192cm，这面国旗周长是多少米？面积是多少平方米？
巩固训练
1． 41．（2024 丛台区）车队向灾区运送救灾物资，去时每小时行60千米，4.5小时到达，返回时每小时多行15千米，返回出发地点用了多长时间？（用比例解）
2．（2024 宝安区）排版一部书稿，如果每页排640个字，要200页；如果每页排800个字，可排多少页？
3．（2024 九江）你知道吗？远古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用，64只羊可以换多少把斧头？请用列比例的方法解决问题。

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