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第三章 解决问题的策略 知识归纳与题型突破
一、用“画图和转化比”的策略解决问题
在解决问题时借助图示分析题中的数量关系，能使数量关系更直观，更清晰；将已知条件进行转化(如分数转化成比)，可以使解题方法变得简单、易懂。
二、用“先假设再调整”的策略解决问题
1.画图、列举、假设都是解决问题的有效策略，同一个问题可以用不同的策略解决，要根据具体问题灵活选择解题策略。
2. 在用假设法解题时，可以先作适当的分析，再从接近结果的数据开始假设。
题型一　比的应用
例1．（2023秋 郑州期末）《汉书》，又称《前汉书》，是中国第一部纪传体断代史，由东汉时期史学家班固编撰，前后历时二十余年。《汉书》包括“纪”“表”“志”“传”四种文体，共100篇。“传”占总篇数的70%，“表”占总篇数，且“表”的篇数是“纪”“志”篇数之和，“纪”与“志”篇数的比是5：6。
（1）《汉书》中“表”有多少篇？
（2）根据题意，用线段图表示出“表”与“纪”“志”篇数之和的关系。“纪”“志”共有多少篇？
（3）你还能提出什么数学问题？请列式解答。
巩固训练
1．（2023秋 永嘉县期末）学校合唱队男生人数和女生人数的比是3：5，女生人数占总人数的。学校合唱队一共有40人，其中男生有 　 　人。
2．（2023秋 德江县期末）六年级3个班同学参加植树活动，下面是已知的相关信息。
①六（3）班植树棵数占六年级植树总棵数的
②六（2）班比六（3）班多植了
③六（1）班和六（2）班植树棵数的比是5：7
④六（3）班植树120棵
从中选择条件，提出一个用两步或两步以上计算解答的问题，并解答。
我选择的条件是：　 　（填序号）
我提出的问题是：
3．（2023秋 郑州期末）我国有着悠久的青铜器铸造历史，据先秦典籍《考工记》记载，后母戊鼎和背铜戈两件青铜器就是由铜和锡按照一定的质量比例铸造而成的。
（1）后母戊鼎的质量约是832.8千克，其中铜和锡的质量比是5：1，它含铜、锡各多少千克？
（2）青铜戈含铜111克，铜和锡的质量比是3：1，该青铜戈的质量是多少克？
4．（2024 余杭区）杭州塘栖枇杷节以“云上卖枇杷”为主题，帮助农户线上销售枇杷。某农户第一次销售出了枇杷总量的15%，第一次销售的量与第二次销售的量的比是3：5，这时还有360千克没有卖出。该农户今年共产枇杷多少千克？
题型二　鸡兔同笼
例2．（2024春 鼓楼区期末）笼子里共有24只鸡和兔，一共70只脚。鸡有 　 　只，兔有 　 　只。列表记录过程。
鸡
兔
脚
巩固训练
1．（2024 陕西模拟）某小学举行数学竞赛，共15道题，评分标准是做对1题得8分，做错或不做1题倒扣4分，小明最后得72分，他做对了几道题？
2．（2023秋 徐州期末）蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿．现在蜘蛛和蜻蜓一共有14只，一共数出了100条腿．蜘蛛和蜻蜓各有多少只？
3．（2024 泗水县）小红用自己的零花钱给四川灾区捐款，她捐的信封里共有25张一元和五角的纸币，共值19元．信封里各有多少张一元和五角的纸币？
4．（2024 渑池县）涧河公园门口挂有甲、乙两款灯笼串，每款灯笼串都是由大灯笼和小灯笼组合而成的（如图）。已知大灯笼共有16个，小灯笼共有46个。甲、乙灯笼串各有多少串？（用你喜欢的方式来解答，可以画图、列表、计算、列方程……）第三章 解决问题的策略 知识归纳与题型突破
一、用“画图和转化比”的策略解决问题
在解决问题时借助图示分析题中的数量关系，能使数量关系更直观，更清晰；将已知条件进行转化(如分数转化成比)，可以使解题方法变得简单、易懂。
二、用“先假设再调整”的策略解决问题
1.画图、列举、假设都是解决问题的有效策略，同一个问题可以用不同的策略解决，要根据具体问题灵活选择解题策略。
2. 在用假设法解题时，可以先作适当的分析，再从接近结果的数据开始假设。
题型一　比的应用
例1．（2023秋 郑州期末）《汉书》，又称《前汉书》，是中国第一部纪传体断代史，由东汉时期史学家班固编撰，前后历时二十余年。《汉书》包括“纪”“表”“志”“传”四种文体，共100篇。“传”占总篇数的70%，“表”占总篇数，且“表”的篇数是“纪”“志”篇数之和，“纪”与“志”篇数的比是5：6。
（1）《汉书》中“表”有多少篇？
（2）根据题意，用线段图表示出“表”与“纪”“志”篇数之和的关系。“纪”“志”共有多少篇？
（3）你还能提出什么数学问题？请列式解答。
【分析】（1）根据分数乘法的意义解答；
（2）是把。“纪”“志”共有的篇数看作整体“1”，平均分成11份，其中的4份表示表的篇数；利用表的篇数除以即可求出“纪”“志”共有多少篇；
（3）可以提出“传”有多少篇的问题。
【解答】解：（1）100×＝8（篇）
答：《汉书》中“表”有8篇。
（2）如图：
8＝22（篇）
答：“纪”“志”共有22篇。
（3）“传”有多少篇？
100×70%＝70（篇）
答：“传”有70篇。（问题答案不唯一）
【点评】本题考查了分数乘法及分数除法的意义及应用。
巩固训练
1．（2023秋 永嘉县期末）学校合唱队男生人数和女生人数的比是3：5，女生人数占总人数的。学校合唱队一共有40人，其中男生有 　 　人。
【分析】把男生人数看作“3”，则女生人数是“5”，总人数是“（3+5）”，求女生人数占总人数的几分之几，用女生人数除以总人数；把总人数看作单位“1”，则男生人数占，根据分数乘法的意义，用总人数（40人）乘就是男生人数。
【解答】解：5÷（3+5）
＝5÷8
＝
40×
＝40×
＝15（人）
答：女生人数占总人数的，男生有15人。
故答案为：，15。
【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数；求男生人数，关键是根据男、女生人数的比，求出男生人数所占的分率，根据分数乘法的意义解答。
2．（2023秋 德江县期末）六年级3个班同学参加植树活动，下面是已知的相关信息。
①六（3）班植树棵数占六年级植树总棵数的
②六（2）班比六（3）班多植了
③六（1）班和六（2）班植树棵数的比是5：7
④六（3）班植树120棵
从中选择条件，提出一个用两步或两步以上计算解答的问题，并解答。
我选择的条件是：　 　（填序号）
我提出的问题是：
【分析】选的条件是①六（3）班植树棵数占六年级植树总棵数的，③六（1）班和六（2）班植树棵数的比是5：7，④六（3）班植树120棵；提的问题是：六（1）、六（2）班各植树多少棵？
把六年级植树总棵数看作单位“1”，六（3）班植树棵数占六年级植树总棵数的，对应的是六（3）班植树棵数，求单位“1”，用六（3）班植树棵数÷，求出六年级植树总棵数，再用植树总棵数减去六（3）班植树棵数，求出六（1）班和六（2）植树棵数的和，再根据按比例分配，求出六（2）班、六（3）班植树的棵数。
【解答】解：选的条件是：①③④；
提的问题是：六（1）、六（2）各植树多少棵？（问题不唯一）
5+7＝12（份）
六（1）班：
（120÷﹣120）÷12×5
＝（120×3﹣120）÷12×5
＝（360﹣120）÷12×5
＝240÷12×5
＝20×5
＝100（棵）
六（2）班：
（120÷﹣120）÷12×7
＝（120×3﹣120）÷12×7
＝（360﹣120）÷12×7
＝240÷12×7
＝20×7
＝140（棵）
答：六（1）班植树100棵，六（2）班植树140棵。
故答案为：①③④。
【点评】熟练掌握已知一个数的几分之几是多少，求这个数的计算方法，按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
3．（2023秋 郑州期末）我国有着悠久的青铜器铸造历史，据先秦典籍《考工记》记载，后母戊鼎和背铜戈两件青铜器就是由铜和锡按照一定的质量比例铸造而成的。
（1）后母戊鼎的质量约是832.8千克，其中铜和锡的质量比是5：1，它含铜、锡各多少千克？
（2）青铜戈含铜111克，铜和锡的质量比是3：1，该青铜戈的质量是多少克？
【分析】（1）把832.8按5：1进行分配，即可解答；
（2）把111按3：1进行分配，即可解答。
【解答】解：832.8×＝138.8（千克）
138.8×5＝694（千克）
答：它含铜694千克，锡138.8千克。
（2）111÷3＝37（克）
111+37＝148（千克）
答：该青铜戈的质量是148克。
【点评】本题考查的是比的应用，掌握按比例分配的方法是解答关键。
4．（2024 余杭区）杭州塘栖枇杷节以“云上卖枇杷”为主题，帮助农户线上销售枇杷。某农户第一次销售出了枇杷总量的15%，第一次销售的量与第二次销售的量的比是3：5，这时还有360千克没有卖出。该农户今年共产枇杷多少千克？
【分析】把该农户今年共产枇杷的千克数看作单位“1”，第一批售出了总量的15%，第二次售出的占第一次售出的，根据分数乘法的意义，用15%乘（1+）就是两次售出的所占的分率，进而即可求出没有售出部分所占的分率，再根据分数除法的意义，即可求出该农户今年共产枇杷多少千克。
【解答】解：360÷[1﹣15%×（1+）]
＝360÷[1﹣15%×]
＝360÷[1﹣40%]
＝360÷60%
＝600（千克）
答：该农户今年共产枇杷600千克。
【点评】本题主要考查了比的应用，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算。
题型二　鸡兔同笼
例2．（2024春 鼓楼区期末）笼子里共有24只鸡和兔，一共70只脚。鸡有 　 　只，兔有 　 　只。列表记录过程。
鸡
兔
脚
【分析】利用列表法确定出鸡和兔的只数即可。
【解答】解：
鸡 6 7 8 9 10 11 12 13 14
兔 18 17 16 15 14 13 12 11 10
脚 84 82 80 78 76 74 72 70 68
答：鸡有13只，兔有11只。
故答案为：13；11。
【点评】鸡兔同笼问题可以用列表法解答，还可以利用假设法或利用方程解答。
巩固训练
1．（2024 陕西模拟）某小学举行数学竞赛，共15道题，评分标准是做对1题得8分，做错或不做1题倒扣4分，小明最后得72分，他做对了几道题？
【分析】假设15道题全做对，则得15×8＝120分，这样就多出120﹣72＝48分；做错或不做一题比做对一题少得8+4＝12分，也就是做错或不做48÷12＝4道题，进而得出做对题的数量．
【解答】解：答错：（15×8﹣72）÷（8+4）
＝48÷12
＝4（道）；
答对：15﹣4＝11（道）；
答：他做对了11道题．
【点评】解答此类题目一般都用假设法，通过先假设，再置换，使问题得到解决．
2．（2023秋 徐州期末）蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿．现在蜘蛛和蜻蜓一共有14只，一共数出了100条腿．蜘蛛和蜻蜓各有多少只？
【分析】假设14只全是蜘蛛，则一共有14×8＝112条腿，这比已知的100条腿多了112﹣100＝12条，因为1只蜘蛛比1只蜻蜓多8﹣6＝2条腿，所以蜻蜓有12÷2＝6只，则蜘蛛有14﹣6＝8只，据此即可解答．
【解答】解：假设14只全是蜘蛛，
则蜻蜓有：（14×8﹣100）÷（8﹣6）
＝12÷2
＝6（只）
蜘蛛有：14﹣6＝8（只）
答：蜘蛛有8只，蜻蜓有6只．
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，采用假设法即可解答问题．
3．（2024 泗水县）小红用自己的零花钱给四川灾区捐款，她捐的信封里共有25张一元和五角的纸币，共值19元．信封里各有多少张一元和五角的纸币？
【分析】假设25张纸币都是一元的，那么应该有钱25元，而现在只有19元，多出了25﹣19＝6（元），用一元的纸币换五角的，就少了0.5元，6元可以换五角6÷0.5＝12（张），因此五角的是12张，一元的就是25﹣12＝13（张）．
【解答】解：五角的张数：
（25﹣19）÷（1﹣0.5），
＝6÷0.5，
＝12（张）；
一元的张数：
25﹣12＝13（张）．
答：信封里有13张一元和12张五角的纸币．
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解答此类问题一般采用假设法，本题还可假设全是五角的纸币，同样能得出相同的答案．
4．（2024 渑池县）涧河公园门口挂有甲、乙两款灯笼串，每款灯笼串都是由大灯笼和小灯笼组合而成的（如图）。已知大灯笼共有16个，小灯笼共有46个。甲、乙灯笼串各有多少串？（用你喜欢的方式来解答，可以画图、列表、计算、列方程……）
【分析】观察题中的图可知，甲乙灯笼串中都各有1个大灯笼，则有几个大灯笼就有几串灯笼串。甲每串由1个大灯笼和4个小灯笼组成；乙每串由1个大灯笼和2个小灯笼组成。假设全是乙灯笼，应该有（16×2）个小灯笼，比实际少（46﹣16×2）个小灯笼，因为每个甲灯笼少算了（4﹣2）个小灯笼，比实际少算的小灯笼÷每个甲灯笼少算的小灯笼＝甲灯笼数量，总数量﹣甲灯笼数量＝乙灯笼数量。
【解答】解：假设全是乙灯笼，则甲灯笼串有：
（46﹣16×2）÷（4﹣2）
＝（46﹣32）÷（4﹣2）
＝14÷2
＝7（串）
乙灯笼串有：16﹣7＝9（串）
答：甲灯笼串有7串，乙灯笼串有9串。
【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。

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