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第四章 比例 知识归纳与题型突破
一、图形的放大与缩小
1.图形的放大和缩小：把图形按n ∶1放大，就是把图形的每条边都放大n倍；把图形按1∶n(n＞1)缩小，就是把图形的每条边都缩小到原来的。
2 . 在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步：一看，看原图形每边占几格；二算，按指定的比计算出将图形放大或缩小后得到的新图形每条边各占几格；三画，按计算出的边长画出原图的放大图或缩小图。
二、比例的意义和组比例
1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。
2.判断两个比能否组成比例：要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。
三、比例的各部分名称及比例的基本性质
1.比例的项：组成比例的四个数，叫作比例的项。
2.比例的内项和外项：两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
3.比例的基本性质： (1)在一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。(2)如果用字母表示比例的四个项，即a∶b＝c∶d，那么比例的基本性质可以表示成：ad ＝ bc。
四、解比例
1.解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。
2. 求比例中的未知项的过程是解比例，解比例的步骤如下：第一步，根据比例的基本性质把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式；第二步，利用等式的性质解方程求出比例中的未知项。
五、比例尺的意义
1.一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
2.图上距离∶实际距离＝比例尺或＝比例尺
六、比例尺的应用
1.求实际距离：根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求，也可以根据“＝比例尺”列比例式来求。
2. 求图上距离：图上距离＝实际距离×比例尺。
七、平面图形按比例放大后面积的变化规律
如果把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积比是n2∶1。
题型一　比例的意义、基本性质和解比例
例1．（2024春 商水县期中）下面哪几组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。
2：9和5：22.5
0.8：0.2和10：5
12：9和27：20
和0.2：0.05
【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，求出各组比的比值，比值相等的可以组成比例。
【解答】解：2：9
＝2÷9
＝
5：22.5
＝5÷22.5
＝
＝，所以2：9和5：22.5可以组成比例；
0.8：0.2
＝0.8÷0.2
＝4
10：5
＝10÷5
＝2
4≠2，所以0.8：0.2和10：5不能组成比例；
12：9
＝12÷9
＝
27：20
＝27÷20
＝
≠，所以12：9和27：20不能组成比例；
：
＝÷
＝×14
＝4
0.2：0.05
＝0.2÷0.05
＝4
4＝4，所以和0.2：0.05能组成比例。
【点评】此题考查比例的意义。
巩固训练
1．（2024 南昌）可以用图 　 　与图 　 　的数据组成比例，写成比例是：　 　。
【分析】根据题意，把图A按比例放大得到图C，所以图形对应边数值成正比例，再运用比例的基本性质作答，即两个内项的积等于两个外项的积写出比例即可，注意写出的比例答案不唯一。
【解答】解：可以用图A与图C的数据组成比例，写成比例是：2：1＝4：2。
故答案为：A，C；2：1＝4：2。（答案不唯一）
【点评】本题考查的是比例的意义和比例基本性质的运用，灵活地运用比例的基本性质是解答本题的关键。
2．（2024 高密市）求未知数的值
＝
：x＝：4
x：0.5＝．
【分析】（1）先根据比例基本性质：两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以8求解；
（2）先根据比例基本性质：两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以解；
（3）先根据比例基本性质：两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以4求解．
【解答】解：
（1）＝
8x＝2.4×5
8x＝12
8x÷8＝12÷8
x＝1.5
（2）：x＝：4
x＝×4
x＝3
x＝3
x＝24
（3）x：0.5＝
x：0.5＝3：4
4x＝0.5×3
4x＝1.5
4x＝
4x÷4＝÷4
x＝
【点评】本题考查知识点：依据等式的性质，以及比例基本性质解方程，解方程时注意对齐等号．
3．（2024 大冶市）根据比例的基本性质，如果3x＝4y（x，y均不为0），那么＝，＝　 　：　 　。
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。如果3x＝4y，则3和x要么都是外项，要么都是内项；同理，4和y要么都是外项，要么都是内项。据此解答。
【解答】解：通过分析可得：根据比例的基本性质，如果3x＝4y（x，y均不为0），那么＝，＝3：4。
故答案为：；3；4。
【点评】此题主要考查了学生根据比例的基本性质构成比例的能力。
题型二　比例尺及应用
例2．（2024 清徐县）张老师买了一套新房，客厅是长6m，宽4.8m的长方形，请用1：200的比例尺画出张老师家客厅的平面图，并写出求图上距离的过程。
【分析】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离：实际距离，分别计算平面图上客厅的长和宽，完成作图即可。
【解答】解：6米＝600厘米
4.8米＝480厘米
600×＝3（厘米）
480×＝2.4（厘米）
张老师家的客厅如图：
【点评】本题主要考查应用比例尺作图，关键是根据比例尺计算客厅图上的长和宽。
巩固训练
1．（2024 东莞市）如图是小明坐出租车从家出发经文化馆去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，超出后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明从家出发经文化馆去展览馆需要付多少元车费？
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺得出展览馆到少年宫和少年宫到小明家的实际距离，然后计算需要付多少车费。
【解答】解：展览馆到文化馆的距离：8÷＝1600000（厘米）
1600000厘米＝16千米
文化馆到小明家的距离：4÷＝800000（厘米）
800000＝8千米
8+（16+8﹣3）×2
＝8+21×2
＝8+42
＝50（元）
答：小明从家出发经文化馆去展览馆需要付50元车费。
【点评】本题考查的是比例尺的实际应用。
2．（2024 永城市）在比例尺是1：4000000的地图上，量得两地间的距离是5厘米。甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，小时后相遇，甲汽车与乙汽车速度比是2：3，甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？
【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，进而依据“路程÷相遇时间＝速度和”求出二者的速度和，又因甲车的速度与乙车速度的比是2：3，分别求出两车的速度分别占速度和的几分之几，再根据分数乘法的意义，即可得解。
【解答】解：5÷
＝5×4000000
＝20000000（厘米）
＝200（千米）
200÷
＝200×
＝150（千米/时）
150×
＝150×
＝60（千米/时）
150×
＝150×
＝90（千米/时）
答：甲汽车每小时行60千米，乙汽车每小时行90千米。
【点评】此题考查了图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及行程问题、按比例分配的方法。
3．（2024 博白县）在一幅比例尺是1：5000000的地图上量得甲、乙两地之间的公路长4厘米。一辆汽车以平均每小时80千米的速度从甲地开往乙地，需要多少小时才能到达？
【分析】已知比例尺和图上距离求实际距离，求出实际距离，再根据路程÷速度＝时间，列式解答。
【解答】解：4÷＝20000000（厘米）
20000000厘米＝200千米
200÷80＝2.5（小时）
答：需要2.5小时才能到达。
【点评】此题主要考查比例尺的意义及已知比例尺和图上距离求实际距离，注意单位的换算。
题型三　图形的放大与缩小
例3．（2024 汶上县）根据要求填一填、画一画。
（1）以图中的虚线为对称轴作△ABC的轴对称图形，与点B对应的点称为B'，B'所在的位置是 　 　。
（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。
（3）若将△ABC按3：1放大，则放大后的三角形面积是 　 　平方厘米。
【分析】（1）根据轴对称图形的意义：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴另一边画出图形的关键对称点，依次连接即可图形；再根据数对中第1个数表示列，第2个数表示行解答；
（2）根据图形旋转的特征，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图形；
（3）若将△ABC按3：1放大，则放大后的三角形的底和高分别是原来三角形底和高的3倍，即底是4×3＝12（厘米），高是2×3＝6（厘米），据此求出面积。
【解答】解：（1）（2）如图所示：
；
（1）与点B对应的点称为B'，B'所在的位置是（3，6）
（3）4×3＝12（厘米）
2×3＝6（厘米）
12×6×＝36（平方厘米）
答：则放大后的三角形面积是36平方厘米。
故答案为：（3，6）；36。
【点评】本题考查了图形的旋转、放大图形的画法，轴对称图形的画法，准确画图是关键。
巩固训练
1．（2024 播州区模拟）画一画．
（1）将三角形A的各条边按4：1放大，得到三角形B．
（2）将三角形B的各条边按1：2缩小，得到三角形C．
【分析】三角形A的两条直角边是2格，放大后两条直角边8格．据此画出图形B．
将B按1：2缩小后直角边变为4格，据此画出图形C．
【解答】解：所画图形如下：
【点评】本题考查图形的放大与缩小．
2．（2024 高新区）如图每个小正方形的边长是1cm，按要求画图并填空。
（1）在方格纸上画一个三角形，它的三个顶点的位置分别是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），它是一个 　 　三角形。
（2）画出这个三角形绕点C顺时针旋转90°后的图形。
（3）按2：1画出原三角形扩大后的图形。
【分析】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此在方格纸上画一个三角形，它的三个顶点的位置分别是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），它是一个直角三角形。
（2）根据图形旋转的方法，点C不动，画出这个三角形绕点C顺时针旋转90°后的图形即可。
（3）根据图形放大的方法，把原三角形的各条边的长度扩大到原来2倍，形状不变，据此画出按2：1放大后的图形即可。
【解答】解：（1）在方格纸上画一个三角形，它的三个顶点的位置分别是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），如图：
根据图示可知，它是一个直角三角形。
（2）画出这个三角形绕点C顺时针旋转90°后的图形。如图：
（3）按2：1画出原三角形扩大后的图形。如图：
故答案为：直角。
【点评】本题考查了数对表示位置、图形的旋转、图形的放大知识，结合题意分析解答即可。
3．（2024 凤凰县）按要求画图并回答问题。
（1）画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°得到的图形。
（2）画出三角形ABC按2：1放大后得到的图形，放大后的图形与原图的面积之比是 　 　。
（3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是 　 　，它的体积是 　 　。
【分析】（1）根据旋转的方法，点B不动，画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°得到的图形即可。
（2）根据图形放大的方法，画出三角形ABC按2：1放大到原来2倍后得到的图形即可，然后根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出放大后的图形与原图的面积，结合比的意义解答即可。
（3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是一个底面半径是5厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，解答即可。
【解答】解：（1）画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°得到的图形。如图：
（2）画出三角形ABC按2：1放大后得到的图形，如图：
（10×6÷2）：（5×3÷2）
＝30：7.5
＝4：1
答：放大后的图形与原图的面积之比是4：1。
（3）×3.14×52×3
＝3.14×25
＝78.5（立方厘米）
答：如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是圆锥，它的体积是78.5立方厘米。
故答案为：4：1；圆锥，78.5立方厘米。
【点评】本题考查了图形的旋转、图形的放大、三角形面积公式的应用、比的意义以及圆锥体积公式的应用等知识，结合题意分析解答即可。第四章 比例 知识归纳与题型突破
一、图形的放大与缩小
1.图形的放大和缩小：把图形按n ∶1放大，就是把图形的每条边都放大n倍；把图形按1∶n(n＞1)缩小，就是把图形的每条边都缩小到原来的。
2 . 在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步：一看，看原图形每边占几格；二算，按指定的比计算出将图形放大或缩小后得到的新图形每条边各占几格；三画，按计算出的边长画出原图的放大图或缩小图。
二、比例的意义和组比例
1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。
2.判断两个比能否组成比例：要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。
三、比例的各部分名称及比例的基本性质
1.比例的项：组成比例的四个数，叫作比例的项。
2.比例的内项和外项：两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
3.比例的基本性质： (1)在一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。(2)如果用字母表示比例的四个项，即a∶b＝c∶d，那么比例的基本性质可以表示成：ad ＝ bc。
四、解比例
1.解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。
2. 求比例中的未知项的过程是解比例，解比例的步骤如下：第一步，根据比例的基本性质把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式；第二步，利用等式的性质解方程求出比例中的未知项。
五、比例尺的意义
1.一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
2.图上距离∶实际距离＝比例尺或＝比例尺
六、比例尺的应用
1.求实际距离：根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求，也可以根据“＝比例尺”列比例式来求。
2. 求图上距离：图上距离＝实际距离×比例尺。
七、平面图形按比例放大后面积的变化规律
如果把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积比是n2∶1。
题型一　比例的意义、基本性质和解比例
例1．（2024春 商水县期中）下面哪几组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。
2：9和5：22.5
0.8：0.2和10：5
12：9和27：20
和0.2：0.05
巩固训练
1．（2024 南昌）可以用图 　 　与图 　 　的数据组成比例，写成比例是：　 　。
2．（2024 高密市）求未知数的值
＝
：x＝：4
x：0.5＝．
3．（2024 大冶市）根据比例的基本性质，如果3x＝4y（x，y均不为0），那么＝，＝　 　：　 　。
题型二　比例尺及应用
例2．（2024 清徐县）张老师买了一套新房，客厅是长6m，宽4.8m的长方形，请用1：200的比例尺画出张老师家客厅的平面图，并写出求图上距离的过程。
巩固训练
1．（2024 东莞市）如图是小明坐出租车从家出发经文化馆去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，超出后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明从家出发经文化馆去展览馆需要付多少元车费？
2．（2024 永城市）在比例尺是1：4000000的地图上，量得两地间的距离是5厘米。甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，小时后相遇，甲汽车与乙汽车速度比是2：3，甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？
3．（2024 博白县）在一幅比例尺是1：5000000的地图上量得甲、乙两地之间的公路长4厘米。一辆汽车以平均每小时80千米的速度从甲地开往乙地，需要多少小时才能到达？
题型三　图形的放大与缩小
例3．（2024 汶上县）根据要求填一填、画一画。
（1）以图中的虚线为对称轴作△ABC的轴对称图形，与点B对应的点称为B'，B'所在的位置是 　 　。
（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。
（3）若将△ABC按3：1放大，则放大后的三角形面积是 　 　平方厘米。
巩固训练
1．（2024 播州区模拟）画一画．
（1）将三角形A的各条边按4：1放大，得到三角形B．
（2）将三角形B的各条边按1：2缩小，得到三角形C．
2．（2024 高新区）如图每个小正方形的边长是1cm，按要求画图并填空。
（1）在方格纸上画一个三角形，它的三个顶点的位置分别是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），它是一个 　 　三角形。
（2）画出这个三角形绕点C顺时针旋转90°后的图形。
（3）按2：1画出原三角形扩大后的图形。
3．（2024 凤凰县）按要求画图并回答问题。
（1）画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°得到的图形。
（2）画出三角形ABC按2：1放大后得到的图形，放大后的图形与原图的面积之比是 　 　。
（3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是 　 　，它的体积是 　 　。

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