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第6章 实数　6.1　平方根、立方根
6.1.1　平方根
初中数学沪科版（2024）七年级下册
学习目标
1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根、算术平方根.(重点)
2.了解开方与乘方是互逆运算，会利用这种互逆关系求百以内整数的平方根、算术平方根，会进行简单的开平方运算.
3.通过探索平方根与算术平方根的区别与联系，学会利用算术平方根解决平方根的问题.(难点)
情境引入
装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，用4块这种地砖正好铺1 m2.如图所示，1块这种地砖的边长是多少？
一、
平方根的概念
问题　(1)填表.
提示　
x2 1 16 36 49
x
x2 1 16 36 49
x 1或－1 4或－4 6或－6 7或－7 或－
(2)思考：①16的平方根是什么？②0的平方根是什么？③－9有没有平方根？
提示　①16有两个平方根，分别为4和－4，这两个平方根互为相反数.②0的平方根是0.③－9没有平方根.
知识梳理
平方根：
(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的 等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根.
(2)表示方法：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作－，正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫作被开方数.
(3)性质：一个正数a的平方根有两个，它们互为 ，0的平方根是 ，负数没有平方根.
平方
相反数
0
例1　求下列各数的平方根：
(1)64；(2)；(3)0.01.
解　 (1)因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8.
(2)因为的平方根是±.
(3)因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1.
跟踪训练1　 (1)下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
①0.36；②－5；③(－4)2.
解　 ①因为0.36是正数，且(±0.6)2＝0.36，所以0.36的平方根为＝±0.6.
②因为－5是负数，所以－5没有平方根.
③因为(－4)2＝16是正数，且(±4)2＝16，所以(－4)2的平方根为±4.
(2)求下列各数的平方根：
①100；②；③0.25；④(－2 025)2.
解　 ①因为(±10)2＝100，所以100的平方根是±10.
②因为，所以的平方根是±.
③因为(±0.5)2＝0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
④因为(±2 025)2＝(－2 025)2，所以(－2 025)2的平方根是±2 025.
二、
算术平方根
知识梳理
1.算术平方根：
(1)定义：正数a有两个平方根±，我们把正数a的正的平方根，叫作a的算术平方根.
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，＝a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；≥0.
2.求一个数的平方根的运算叫作开平方.开方是平方的逆运算.根据这种关系，可以求出一些数的平方根.
例2　(课本P3例1)求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)1；(2)81；
解　(1)因为(±1)2＝1，
所以1的平方根是±1，即±＝±1；1的算术平方根是1.
(2)因为(±9)2＝81.
所以81的平方根是±9，即±＝±9；81的算术平方根是9.
例2　(课本P3例1)求下列各数的平方根和算术平方根：
(3)；(4)(－3)2.
解　 (3)因为，
所以的平方根是±，即±＝±.
(4)因为(±3)2＝9＝(－3)2，
所以(－3)2的平方根是±3，即±＝±3；(－3)2的算术平方根是3.
跟踪训练2　(1)判断：
①5是25的算术平方根；(　　)
②－6是36的算术平方根；(　　)
③0的算术平方根是0；(　　)
④0.01是0.1的算术平方根；(　　)
⑤－5是－25的算术平方根.(　　)
√
×
√
×
×
(2)求下列各数的算术平方根：
①；②(－5)2；③121.
解　 ①因为，所以的算术平方根是.
②因为(－5)2＝25，52＝25，所以(－5)2的算术平方根是5，即＝5.
③因为112＝121，所以121的算术平方根是11，即＝11.
例3　(课本P4例2)用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：
(1)；(2)；(3)－；(4).
解　 (1)计算器上依次键入： ，显示结果是1.414 213 562，精确到0.01，得≈1.41.
(2)≈42.78.
(3)－≈－0.94.
(4)在计算器上依次键入： ，即可得≈0.85.
跟踪训练3　利用科学计算器求解：正方形的面积为10，则它的边长约为　　　　 .(精确到0.001)
解析　设正方形的边长为x，则x2＝10，
所以x＝，
在科学计算器上依次按键： ，显示3.162 277 66，
精确到0.001为3.162.
3.162
三、
开平方在生活中的应用
例4　(课本P4例3)如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作，如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的
公式：h＝gt2.其中h的单位是m，t的单位是s，g取9.8 m/s2.假设跳板离水
面的高度是3 m，运动员在跳板上起跳至高出跳板1.2 m处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？(精确到0.01 s)
解　设运动员下落到水面需t s，根据题意，
得3＋1.2＝×9.8t2，t2＝，因为t>0，所以t＝≈0.93.
因而，运动员下落到水面约需0.93 s.
跟踪训练4　同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)，而小于第二宇宙速度v2(单位：m/s).v1，v2的大小满足＝gR，＝2gR，其中g(重力加速度)是物理中的一个常数，g取9.8 m/s2，R是地球半径，R取6.4×106 m.求v1，v2(精确到个位).
解　＝gR≈9.8×6.4×106＝62 720 000，
v1＝≈7 920(m/s).
＝2gR≈2×9.8×6.4×106＝125 440 000，
v2＝＝11 200(m/s).
所以第一宇宙速度v1约为7 920 m/s，第二宇宙速度v2约为11 200 m/s.
课堂小结
1.下列说法正确的是
A.4是的算术平方根
B.平方根等于它本身的数是0和1
C.9的平方根是±3
D.－4的平方根是±2
课堂练习
√
解析　A项，2是的算术平方根，选项错误，不符合题意；
B项，平方根等于它本身的数只有0，选项错误，不符合题意；
C项，9的平方根是±3，选项正确，符合题意；
D项，负数没有平方根，选项错误，不符合题意.
2.“的平方根是±”，用式子表示就是
A.± B.±＝±
C. D.＝±
√
课堂练习
3.已知一个正数的两个平方根分别是－5a＋1和a－2，则这个数是　　　.
解析　由条件可知－5a＋1＋a－2＝0，
所以a＝－，
所以这个数为(a－2)2＝.
课堂练习
4.用计算器求下列各式的值：
(1)；
解　＝99.
(2)－；
解　－＝－8.78.
课堂练习
4.用计算器求下列各式的值：
(3)(精确到0.01).
解　≈3.32.
课堂练习
5.根据表格回答问题.
解　因为4.42＝19.36，
所以19.36的平方根是±4.4.
x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
x2 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25
(1)19.36的平方根是　　　　　　；
课堂练习
5.根据表格回答问题.
解　将h＝108代入h＝4.9t2，得108＝4.9t2，t2＝，
因为t>0，所以t＝≈4.7.
所以物体到达地面大概需要4.7 s.
x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
x2 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25
(2)物体自由下落的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)之间的关系是h＝4.9t2.有一个物体从108 m高的建筑物上自由落下，则该物体到达地面大概需要多长时间？(请结合表中数据精确到0.1 s)
课堂练习
谢谢观看

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