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2026学年浙江省杭州市九年级数学中考模拟预测练习试卷（解析版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. （2026·浙江舟山·一模）
有理数的相反数是（ ）
A． B． C． D．2026
【答案】B
【分析】本题考查相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解.
【详解】解：的相反数是；
故选B
（2026·浙江·模拟预测）
如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据得；结合平分，得到，结合，得，解答即可.
本题考查了角的平分线，平行线性质，补角的定义，熟练掌握平行线的性质，角的平分线，是解题的关键.
【详解】∵，
∴，
∵平分，
∴.
∵，
∴,
故选B.
（2026·浙江湖州·一模）
中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、
科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．
数据“23063000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案．
【详解】解：．
（2026·浙江温州·一模）
榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯．
如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键．根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形，进行分析即可求解．主视图中存在的线段，在俯视图中看不到的线段要用虚线表示．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：
故选：B．
（2026·浙江宁波·一模）
已知 是反比例函数 图象上的三个点，
若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系．
先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大，
又 ∵，
，
故选：D．
（2026·浙江温州·一模）
如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）

A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，
∴且相似比为，
∴的面积的面积，
∵的面积是6，，
∴的面积为24，
故选：C
（2026·浙江舟山·一模）
李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，
已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？
设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（ ）
A. B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵设张技师每小时做手工艺品件，张技师比李技师每小时少做件，
∴李技师每小时做件，
∵工作时间 ，
∴张技师做件的时间为，李技师做件的时间为，
又∵张技师做件与李技师做件所用时间相等，
∴可得方程 ．
（2026·浙江·一模）
随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，
绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，根据条形统计图和折线统计图逐项判断即可求解，看懂统计图是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴共有名学生参加模拟测试，该选项结论正确，不符合题意；
、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，该选项结论正确，不符合题意；
、由折线统计图可得，第3月增长的“优秀”人数为人，第4月增长的“优秀”人数为人，
∵，
∴第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多，该选项结论正确，不符合题意；
、∵，
∴第4月测试成绩“优秀”的学生人数没有达到100人，该选项结论错误，符合题意；
故选：．
（2026·浙江舟山·一模）
如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，
与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查垂径定理、圆的切线的性质、相似三角形的性质及判定圆周角定理的推论等，根据垂径定理容易求，然后证明，可求得．
【详解】如图所示，连接．
因为是的直径，，
所以垂直平分线段，．
所以，．
所以．
因为是的切线，
所以．
所以．
又因为．
所以．
所以．
所以．
故选：C
（2026·浙江温州·模拟预测）
如图1，在矩形中，点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．
过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，
其中关于的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
【答案】D
【分析】分情况讨论：当点运动到点处或点运动到点处或点运动到点处时，点与点重合或路程，利用直角三角形的性质和垂线的性质易证得，进而得到，据此列方程求解即可．
【详解】解：由图2得，当点运动到点处时，为4，即为4，故选项A正确；
如图，当点运动到点处时，路程为8，即为8，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
故选项B正确；
当点运动到点处时，点与点重合，此时，
故选项C正确；
当路程时，如图，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
点不在该函数图象上，
故选项D错误．
第二部分（非选择题 共90分）
填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2026·浙江舟山·一模）
二次根式有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
（2026·浙江舟山·一模）
方程组的解是___________．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是关键；利用加减法求解即可．
【详解】解：，
得：，
解得：；
把代入②得：，
解得：，
故方程组的解为．
13．（2026·浙江湖州·一模）
如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．
已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，
则小明上升的垂直高度为__________．
【答案】
【分析】根据题意得，由，设，，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，
∵，，
∴，
设，，
由勾股定理得即，
解得或（舍去），
∴小明上升的垂直高度为．
（2026·浙江·模拟预测）
“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”
这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，
他们出相同手势的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布）
剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）
共有9种等可能的结果，其中他们出相同手势的结果有3种，
∴他们出相同手势的概率为．
故答案为：．
15．（2025·浙江·中考）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，
书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为
【答案】
【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
16. （2026·浙江舟山·一模）
如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，
，，则___________．
【答案】10
【分析】延长交于点，连接，，得，证明，可证明，求出，再求出，再由勾股定理可求出．
【详解】解：延长交于点，连接，，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2026·浙江舟山·一模）
计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，零次幂和特殊角的余弦值，熟知相关知识点是解题的关键．
依次根据乘方的概念、二次根式的乘法运算法则、零次幂和角的余弦值计算即可．
【详解】解：
．
（2026·浙江·一模）
先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，
原式．
（2026·浙江舟山·一模）
如图，在中，，点是边上的一点，
过点作交延长线于点，连接，若，．
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，则，然后通过“”证明，
（）由，则，又，则，通过勾股定理，所以，由线段和差得出，然后通过即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）解：由（）得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2026·浙江舟山·一模）
某校为了解学生对“航天知识”的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，
并将成绩（满分10分）分为A（10分），B（9分），C（8分），D（7分及以下）四个等级，
绘制了如下统计图
本次共调查了_________名学生，扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角是________度；
(2) 补全条形统计图；
(3) 若该校共有1500名学生，请估计成绩在A等级的学生有多少人？
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）由A等级学生人数除以A等级学生所占比例可得到被调查的总人数，用C等级学生所占比例乘以即可得到C等级所在扇形的圆心角的度数；
（2）用被调查的总人数乘以B类学生所占比例，得到B等级学生人数即可补全图形；
（3）根据被调查A类学生所占比例，乘以1500即可得到结论．
【详解】（1）解：被调查的人数为（人），
扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角为．
（2）被调查B等级学生数为：（人）
补全图形如下：
（3）解：（人）
答：估计成绩在A等级的学生有300名．
（2026·浙江杭州·一模）
跟华罗庚学猜数：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：
一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，
又∵，
∴，
∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，
又∵，
能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，
可得，
由此确定59319的立方根的十位数是3，
因此59319的立方根是39．
现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
① 它的立方根是 位数；
② 它的立方根的个位数字是 ；
③ 19683的立方根是 ．
(2) 求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
【答案】(1)①两；②7；③27
(2)48
【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算．
（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论．
【详解】（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数．
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
（2026·浙江杭州·一模）
如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，
过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，．
求证：；
若，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证；
（2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵直径于P，
∴，
∵A，Q两点关于点P对称，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
在中，，
∴．
（2026·浙江·一模）
定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．
例如：函数，当时，；
当时，则函数的“域差值”为2
点在的图象上，“域差值”，求m的值；
已知函数，求证该函数的“域差值”；
点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，
将函数的图象沿直线翻折后的图象记为 ,
当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意得到的值，再由，列方程解答，即可；
（2）设函数图象上存在点，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即；
（3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，利用对称性可得，即可解答．
【详解】（1）解：∵点，在的图象上，
∵“域差值”，
，
即，
整理，得：，
解得：，，
经检验，，均是方程的解，
∴m的值为或；
（2）证明：设函数图象上存在点，且满足，
当时，，
当时，，
，
，
，
，
即，
故该函数的“域差值”；
（3）

解：∵点为函数图象上的一点，
，
由（2）得：，
当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，
则，
解得：，
∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”．
对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为，
可得：，
∴．
（2026·浙江· 一模）
如图1，在中，于点D，
连接，在上截取，使，连接．
直接判断与的位置关系
如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，
试判断与之间的数量关系， 并证明；
在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)1
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断；
（2）过点B作交于点M，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；
（3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）解：；
理由如下：设与交于O，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：，
证明：过点B作交于点M，
∵，
∴，，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
解得，，经检验符合题意；
∴．
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2026学年浙江省杭州市九年级数学中考模拟预测练习试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. （2026·浙江舟山·一模）
有理数的相反数是（ ）
A． B． C． D．2026
（2026·浙江·模拟预测）
如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
（2026·浙江湖州·一模）
中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、
科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．
数据“23063000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
（2026·浙江温州·一模）
榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯．
如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
（2026·浙江宁波·一模）
已知 是反比例函数 图象上的三个点，
若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（2026·浙江温州·一模）
如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）

A．18 B．12 C．24 D．9
（2026·浙江舟山·一模）
李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，
已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？
设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（ ）
A. B．
C． D．
（2026·浙江·一模）
随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，
绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
（2026·浙江舟山·一模）
如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，
与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
（2026·浙江温州·模拟预测）
如图1，在矩形中，点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．
过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，
其中关于的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
第二部分（非选择题 共90分）
填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2026·浙江舟山·一模）
二次根式有意义，则x的取值范围是__________．
（2026·浙江舟山·一模）
方程组的解是___________．
13．（2026·浙江湖州·一模）
如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．
已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，
则小明上升的垂直高度为__________．
（2026·浙江·模拟预测）
“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”
这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，
他们出相同手势的概率为 ．
15．（2025·浙江·中考）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，
书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为
16. （2026·浙江舟山·一模）
如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，
，，则___________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2026·浙江舟山·一模）
计算：．
（2026·浙江·一模）
先化简，再求值：，其中．
（2026·浙江舟山·一模）
如图，在中，，点是边上的一点，
过点作交延长线于点，连接，若，．
(1)求证：；
(2)求．
（2026·浙江舟山·一模）
某校为了解学生对“航天知识”的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，
并将成绩（满分10分）分为A（10分），B（9分），C（8分），D（7分及以下）四个等级，
绘制了如下统计图
本次共调查了_________名学生，扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角是________度；
(2) 补全条形统计图；
(3) 若该校共有1500名学生，请估计成绩在A等级的学生有多少人？
（2026·浙江杭州·一模）
跟华罗庚学猜数：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：
一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，
又∵，
∴，
∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，
又∵，
能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，
可得，
由此确定59319的立方根的十位数是3，
因此59319的立方根是39．
现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
① 它的立方根是 位数；
② 它的立方根的个位数字是 ；
③ 19683的立方根是 ．
(2) 求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
（2026·浙江杭州·一模）
如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，
过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，．
求证：；
若，且，求的长．
（2026·浙江·一模）
定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．
例如：函数，当时，；
当时，则函数的“域差值”为2
点在的图象上，“域差值”，求m的值；
已知函数，求证该函数的“域差值”；
点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，
将函数的图象沿直线翻折后的图象记为 ,
当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围．
（2026·浙江· 一模）
如图1，在中，于点D，
连接，在上截取，使，连接．
直接判断与的位置关系
如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，
试判断与之间的数量关系， 并证明；
在（2）的条件下，若，，求的长．
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