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北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
6.设，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为( )
A. B. C. D.
8.农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用为正常数描述，其中为喷施农药天后，果蔬表面的农药残留量单位：，某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
9.设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.无穷数列满足如下条件；；则下列说法正确的是( )
A. 若，则满足条件的单调数列有且只有个
B. 对于任意给定的，满足条件的单调数列有且只有个
C. 存在使得满足条件的数列有且只有个
D. 存在无数个使得满足条件的数列有且只有个，且此时数列一定是单调数列
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.的展开式中的系数为，那么实数 ．
12.已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为 ．
13.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的一个取值为 ．
14.在平面直角坐标系中，，直线与轴和轴分别交于点，，则的最大值为 ；的取值范围是 ．
15.对于定义域为的函数，令，给出下列四个结论：
若对于，恒成立，则恒成立；
若对于，恒成立，则恒成立；
若是周期函数，则是周期函数；
若偶函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.在中，，．
求，
再从以下条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长．
条件：；
条件：；
条件：的面积为
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.某公司对其销售的、两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取人进行评分调查满分分，该公司规定评分不低于分为满意，评分结果如下：
数据Ⅰ型号：，，，，，，，，，，，；
数据Ⅱ型号：，，，，，，，，，，，．
假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率．
从参与型号扫地机器人评分调查的名消费者中随机抽取人，求至少人满意的概率；
从购买型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取人，购买型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取人，设为被抽到的人中满意的人数，求的分布列和数学期望；
假设购买型号和型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买、两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是型号的概率估计值为，其购买的是型号的概率估计值为，试比较与的大小．结论不要求证明
19.已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为．
求椭圆的方程；
设为坐标原点，过点且不与轴平行的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，设和的面积分别为，，当时，求的值．
20.已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
若函数有个不同的零点，且，求的取值范围．
21.设是行列的数表，且，表示数表第行第列的数，且，，例如是行列的数表，其中若数表满足条件，；每行中的数两两不同，每列中的数两两不同．则称数表具有性质．
当时，写出一个具有性质的数表；
设数表，具有性质，若，满足：若，则，则称和正交．
(ⅰ)当时，写出一组正交的数表，；
(ⅱ)当时，设均具有性质，且两两正交，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.解：设的中点为，连接，
在中，为的中点，
所以且，
因为且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面， 平面，
所以平面；
因为平面平面，平面平面，
，，
所以，平面，
因为四边形为正方形，所以两两互相垂直，
以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值．

17.解：因为，，所以，
由正弦定理得，而三角形中有，
所以，再由二倍角公式得，且，
所以．
若选条件：．
因为，由可知，所以由余弦定理可得：，
即，得，，
方程无解，所以边不存在，故不存在．
若选条件：．
因为，由可知，所以．
同理，得，
所以在中由正弦定理，得，
再由余弦定理，得，
即，解得或舍去．
所以三角形的周长．
若选条件：的面积为．
因为，由可知，所以，
由三角形面积公式，得．
再由余弦定理，得，即．
所以，所以．
所以三角形的周长．

18.解：在数据型号中，评分不低于分的有，，，，，，，，共人；
评分低于分的有，，，，共人，
从名消费者中随机抽取人，两人都不满意的概率为，
因为“至少人满意”与“两人都不满意”是对立事件，
所以至少人满意的概率；
由可知，购买型号扫地机器人的消费者满意的概率，
则不满意的概率为，
在数据型号中，评分不低于分的有，，，，，，共人，
所以购买型号扫地机器人的消费者满意的概率，则不满意的概率为，
的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
；
由题可知抽取样本中，型号不满意的有人，
型号不满意的有人，
则的估计值为，的估计值为，
故．

19.解：已知椭圆，离心率，以短轴端点和焦点为顶点的四边形是菱形，边长均为，
周长为，得，因此，由椭圆关系，故椭圆的方程为．
设直线的方程为，，，则，
联立直线与椭圆方程：，整理得，
由韦达定理得：，
根据两点式得直线的方程为，令，得，
将代入点横坐标，
化简得即，
，
，
由题知，故，
化简得，又，所以，解得．

20.解：当时，，，切点为，
，切线斜率，因此切线方程为．
，
当时，，故恒成立，因此在上单调递减，无单调递增区间；
当时，令，得，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
综上所述，时，单调递减区间为，无增区间；
时，单调递减区间为，单调递增区间为．
由可知当时单调递减，仅个零点，不符合题意，故；
当时，由知最小值为，
令，，令，解得，
所以当，，单调递增；
当，，单调递减，
所以，故，
故，要保证存在两个根，则且，即．
注意到对任意，，即恒为的一个零点，
因此有两个不同零点且等价于存在另一个零点，且，
当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得；
当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得，
综上的取值范围是．

21.解：根据性质的定义写出如下满足题意的数表：
根据性质的定义写出如下满足题意的数表：
考虑第二行第一个数，
因为，所以只能是，，，，
若，则对于的第二行第一列至少存在两个数表使得它们的第二行第一列数字相同，
不妨设，则必有，
与若则矛盾．
所以．
构造：
所以 的最大值是．

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