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江西省乐平中学等校2026届高三下学期3月数学学科素养训练
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，集合的子集个数为，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，两点，且是圆的直径，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.为响应国家“绿水青山就是金山银山”的号召，某乡村在春季开展植树造林活动计划在第一年植树亩，且从第二年开始，每年比上一年多植树亩若该活动连续开展年，则这年累计的植树总面积为( )
A. 亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩
4.已知函数在上单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.年春晚节目中机器人的科技感与武术完美融合，让大家赏心悦目市场上现有甲、乙两家公司生产机器人，检测机构要评估市场上这两家公司机器人的某项重要技术参数得分采用百分制若甲公司产品市场占比为，该项重要技术参数的平均分为，方差为，乙公司产品市场占比为，该项重要技术参数的平均分为，方差为，则市场上这两家公司的该项重要技术参数的总的方差为( )
A. B. C. D.
6.若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为( )
A. B. C. D.
7.直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成( )
A. 个部分 B. 个部分 C. 个部分 D. 个部分
8.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与的一个交点为，且为锐角三角形，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
10.若的内角的对边分别为，且，，则( )
A. B.
C. 的面积为 D.
11.已知定义在上的非常数函数可导，，且，下列结论正确的是( )
A.
B. 为奇函数
C.
D. 若是的导函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，且，则 ．
13.已知是双曲线的左焦点，是上的一点，是的中点，为坐标原点，若，则 ．
14.在三棱锥中，，，，，异面直线与所成的角为，则三棱锥外接球的表面积可以为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的极小值点为，极小值为．
求，；
若图象上的动点在第一象限，是直线：上的一动点，求的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱台中，平面，正方形的边长为，且，分别为线段的中点，点在线段上，且．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知是抛物线的焦点，的准线上存在两点，使得为边长是的正三角形．
求的标准方程．
已知过点的直线与交于两点．
若，求的方程；
若是的准线上一点，直线，，的斜率分别为，，，比较与的大小，并说明理由．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为．
求、；
求的通项公式；
已知数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
医学研究团队研究某细菌在动物表面的扩散过程，其扩散过程可视为在平面直角坐标系上的运动：细菌初始时位于原点，每次移动一个单位长度，且向上、下、左、右四个方向移动的概率均为．
若细菌移动次后所在位置的横坐标为，求的分布列．
医学研究团队提出一种治疗方法：分别在细菌第、、、、次移动后，在原点处实施一次药物注射第次药物注射后，若细菌位于原点，则细菌活性降低的概率为为常数，且细菌位于原点且细菌活性降低的情况为一次有效治疗在次药物注射后，每次有效治疗的概率之和为，治疗疗效比．
若经过次移动后，细菌回到原点的概率为，求；
若医学研究团队想要达到只实施第一次药物注射，治疗疗效比最大的临床效果，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由已知，
则
得
经检验，当，时，的极小值点为．
由得当时，，单调递减；当时，，单调递增．
的部分图象与如图所示，当的图象在处的切线与平行时，到的距离最小，即最小．
由，得负根舍去，得，
此时的坐标为．
故到的距离的最小值为，即的最小值为．

16.解：取的中点，连接，易证且，则四边形为平行四边形，所以，
又因为，即为的中点，为的中点，所以，
所以，且平面，平面，所以平面．
因为，且，所以四边形为平行四边形，
所以，同理可证，
所以，平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，而平面，所以．
因为，，
又在直角梯形中，，设为的中点，如图：
显然四边形为正方形，为等腰直角三角形，且，
所以，，
在三角形中，满足，所以，
所以，．
设点到平面的距离为，
由，所以，得，解得．
所以点到平面的距离为．
易知，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，．
设平面的法向量为，
则，令，则，得．
因为平面与坐标平面重合，所以为平面的一个法向量，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：到的准线的距离为，则，
所以的标准方程为．
由得设，．
易得的斜率存在，设，由，得，
得
因为，解得，
故的方程为或．
．
理由如下：设，易得，，，，，．
由，，
得，，，
则
，
将两边同时乘以，得．

18.解：由题意得．
当时，，得．
当时，，得．
当时，由可得，
两式作差得，
得，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
故，得．
，所以．
令函数，得，所以在上是增函数．
当时，，得．
因为，所以，
所以．
令函数，得．
当时，，在上单调递增．
当时，，在上单调递减．
故，得，当且仅当时，等号成立，
令，得，得，
则
．
故．

19.解：随机变量的可能取值为、、，
，，，
所以的分布列为
细菌在奇数次移动后不可能回到原点，所以．
若，且细菌在次移动后要到达原点，
则分别向左、右移动次，分别向上、下移动次
因为
，
对于的证明如下：现有一个装有个白球和个黑球的盒子里，
从这个盒子里抽取个球，所有的情况有：个黑球、个白球个黑球、
个白球个黑球、、个白球，所以
所以．
综上，．
由题意得．
因为，所以，
所以．
设函数．
由
，
，
即，
得，
则，
所以是减函数，．
当，即时，，得，不符合题意．
当，即时，，，
得，即，故的取值范围为．

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