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2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）
数　学
标准模拟卷（一）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据 2，4，6，8，10，12，14 的中位数为（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. 复数 在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，若 ，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 现有 3 本完全相同的书籍进行现场拍卖，有 9 位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（　　）
A. 84 种 B. 129 种 C. 156 种 D. 165 种
5. 一组样本数据依次为 .2，.1，0，2，4，5.关于这组数据的数字特征，下列选项正确的是（　　）
A. 极差为 .7 B. 平均数小于 0 C. 方差小于 1 D. 中位数为 1
6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在 上，且满足 ，，则 的离心率为（　　）
A. B. C. D.
7. 过点 有两条直线与 的图象相切，则 的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8. 在 中，，，则 的面积的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，关于 的不等式 在区间 内的整数解的个数为 ，下列说法正确的是（　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为 338
C. 若存在实数 ，使 ，则 的最小值为
D. 若存在实数 ，使 ，则 的最大值为
10. 已知函数 ，则（　　）
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为 2
C. 在区间 上单调递增
D. 当 时，
11. 第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成……现将其简化为如图：半径均为 1 的圆 互相过圆心， 为圆 上两点，且 ，点 在圆 与圆 上运动.若 ，则下列选项可能成立的是（　　）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ，，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的最大值是 ______.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于 两点，与 轴的交点为 ， 为坐标原点，且满足 ，记 ， 的面积分别为 ，则 的最小值为 ______.
14. 在 中，角 的对边分别为 ，面积为 ，当 （ 为常数）时， 的最大值为 ，则 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分） 如图， 是 的直径， 垂直于 所在的平面， 为圆周上不同于 的点，，.
（1） 若 为 的中点，证明： 平面 ；
（2） 求平面 与平面 的夹角的余弦值.
16. （15分） 如图所示，已知 为圆台 的母线，四边形 为圆台 的轴截面，且 .
（1） 证明：；
（2） 求二面角 的正弦值.
17. （15分） 棋手甲利用 AI 辅助进行对弈训练，每局甲胜的概率为 ，AI 胜的概率为 ，且 ，每局胜负相互独立.系统设定若一方连胜 3 局，则认定该方最终获胜且训练结束.
（1） 求恰好进行了 3 局比赛，训练就结束的概率（结果用 表示）；
（2） 记恰好进行 局比赛甲最终获胜的概率为 ，比较 与 的大小.
18. （17分） 某学校围棋社团举行选拔赛，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军，有以下 2 种方案： 方案 1：甲、乙、丙、丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军. 方案 2：甲、乙、丙、丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军. 第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组； 第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰； 第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰； 第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军. 设甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立.
（1） 如果采用方案 1，当 时，求甲获得冠军的概率；
（2） 如果采用方案 2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，当 时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望；
（3） 采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明.
19. （17分） 已知函数 .
（1） 求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 ，求 的取值范围；
（3） 证明：当 时， 有且仅有一个零点.
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第 2 页，共 6 页
2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）
数　学
标准模拟卷（一）
参考答案及解析
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D A D B
解析：
1. 解：数据共 7 个，按从小到大排列为 2，4，6，8，10，12，14.中位数为第 4 个数据，即 8.选 B.
2. 解：.实部 ，虚部 ，对应点在第二象限.选 B.
3. 解：由 ，若 ，则 （垂直于同一平面的两直线平行），充分性成立.若 ，又 ，则 ，必要性成立.故为充要条件.选 C.
4. 解：问题等价于将 3 本相同的书分给 9 个人，每人可得多本.分三类：3 本给同一人，有 种；3 本分给 2 人（1 本和 2 本），有 种；3 本分给 3 人（各 1 本），有 种.总数为 种.选 D.
5. 解：数据为 .2，.1，0，2，4，5.极差为 ，A 错误.平均数为 ，B 错误.中位数为 ，D 正确.方差大于 1，C 错误.选 D.
6. 解：设 ，则 ，由椭圆定义，.在 中，由正弦定理及角关系，结合余弦定理可求得焦距 与 的关系.推导得离心率 .选 A.
7. 解：设切点为 ，切线斜率为 ，切线方程为 .代入点 得 ，整理得 .令 ，则 在 上递增，在 上递减，极大值为 .当 时 ，当 时 .方程 有两解时，.选 D.
8. 解：由正弦定理， 等价于 .由余弦定理 ，代入得 ，即 .又 ，故 .面积 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，此时 ，，.选 B.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ACD ACD ACD
解析：
9. 解：函数 的周期为 6.区间 包含 337 个完整周期及部分区间.通过分析正切函数图象及不等式解集，结合选项验证：A 项代入成立，正确；B 项取反例不成立，错误；C、D 项通过极值分析均正确.选 ACD.
10. 解：.最小正周期 ，A 正确.最大值为 ，B 错误.当 时，，函数单调递增，C 正确.由 得 ，取 ，得 ，，D 正确.选 ACD.
11. 解：由几何关系建立平面向量模型，点 轨迹为两圆的并集.通过坐标法或几何性质，逐一验证各选项的可行性.A、C、D 均可通过取特殊点实现，B 项通过范围分析不可能成立.选 ACD.
三、填空题
题号 12 13 14
答案 4
解析：
12. 解：设 ，由 得 ，化简得 ，即 .点 在此圆上，又 在直线 上，故直线与圆有公共点.圆心 到直线距离 ，解得 ，即 .故 的最大值为 .
13. 解：由焦点 得 ，抛物线方程为 .设直线 ，则 .联立得 ，设 ，则 ，解得 ，即 .此时 ，.由 ，设 ，则 ，，当且仅当 即 时取等号.故最小值为 4.
14. 解：由余弦定理 ，代入 得 ，即 .结合面积 ，将 视为关于 的函数，利用判别式法或基本不等式求最大值.当最大值为 时，反解参数得 .
四、解答题
15. （13分） 解： （1） 因为 是 的直径，所以 为 的中点.又 为 的中点，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【评分细则】证明中位线得 3 分，得出线面平行得 3 分.共 6 分.
（2）在平面 内，过点 作 的垂线 ，以 为原点建立空间直角坐标系.求得相关点坐标，设平面 与平面 的法向量，利用夹角公式求得余弦值为 .
【评分细则】正确建系并写出坐标得 3 分，求出法向量得 2 分，计算出结果得 2 分.共 7 分.
16. （15分） 解： （1） 连接 ，设 ，计算得 ，故 ，即 .又 平面 ，所以 平面 ，故 .
【评分细则】正确证明线面垂直得 5 分.共 5 分.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，计算得二面角的正弦值为 .
【评分细则】正确建系得 3 分，求出法向量得 3 分，计算出结果得 4 分.共 10 分.
17. （15分） 解： （1） 3 局比赛结束，可能是甲连胜三局，也可能是 AI 连胜三局.故概率为 .
【评分细则】正确分析并计算得 5 分.
（2）分析 与 的表达式，，.作差得 ，故 .
【评分细则】正确求出 各得 3 分，作差比较得 4 分.共 10 分.
18. （17分） 解： （1） 采用方案 1，甲获得冠军需连胜两场，概率为 .
【评分细则】正确计算得 4 分.
（2）设甲参与对阵场数为 ，可能取值为 2, 3, 4.计算各概率，得 .
【评分细则】正确分析取值并求概率得 4 分，计算期望得 2 分.共 6 分.
（3）方案 1 夺冠概率为 ，方案 2 夺冠概率为 .作差分类讨论： 时方案 1 优； 时无差异； 时方案 2 优.
【评分细则】求出两概率得 3 分，作差并讨论得 4 分.共 7 分.
19. （17分） 解： （1） 求导得 ，则 ，.切线方程为 .
【评分细则】求导得 2 分，求出切点与斜率得 2 分，写出方程得 1 分.共 5 分.
（2）由 得 .分析导数，分类讨论，得出 的取值范围是 .
【评分细则】正确分析单调性并得出最值得 3 分，得出范围得 2 分.共 5 分.
（3）当 时，令 ，存在唯一 使 .分 ，， 三种情况讨论，结合零点存在定理和函数单调性，证明 有且仅有一个零点.
【评分细则】正确分类得 3 分，每类证明严谨得 4 分.共 7 分.
多维细目表（第二套）
题型 题号 分值 必备知识 学科素养 预估难度
单选题 1 5 样本数据的中位数 数据分析 易
2 5 复数的乘法与几何意义 数学运算 易
3 5 空间线面关系与充要条件 逻辑推理 易
4 5 排列组合中的分配问题 逻辑推理、数学运算 中
5 5 样本数据的数字特征 数据分析 易
6 5 椭圆的定义与离心率 逻辑推理、数学运算 中
7 5 导数的几何意义、切线方程 逻辑推理、数学运算 中
8 5 解三角形、正弦定理与面积最值 逻辑推理、数学运算 难
多选题 9 6 正切函数图象性质与不等式整数解 直观想象、逻辑推理 难
10 6 三角恒等变换与函数性质 数学运算、逻辑推理 中
11 6 平面向量基本定理与几何应用 直观想象、逻辑推理 难
填空题 12 5 圆的轨迹方程与直线存在性问题 直观想象、数学运算 中
13 5 抛物线与向量数量积、面积最值 直观想象、数学运算 难
14 5 解三角形、余弦定理与面积最值 逻辑推理、数学运算 难
解答题 15 13 线面平行与二面角 直观想象、逻辑推理 易
16 15 圆台中的线线垂直与二面角 直观想象、逻辑推理 中
17 15 独立事件概率与递推比较大小 数据分析、逻辑推理 中
18 17 离散型随机变量期望与决策问题 数学建模、数据分析 难
19 17 导数综合应用：切线、恒成立、零点 逻辑推理、数学运算 难
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拔高冲刺卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
3. 某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的 5 倍，则该物种种群数量变成原来的 1000 万倍大约需要经过（　　）（参考数据：）
A. 10 年 B. 11 年 C. 23 年 D. 24 年
4. 为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理，已知初始碳排放浓度为 ，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少 .国家排放标准规定碳排放浓度不得超过 ，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知向量 ，，若 ，则 （　　）
A. .2 B. .1 C. 1 D. 2
6. 在 中，，，， 为 的中点，则 （　　）
A. 8 B. 12 C. D.
7. 已知 为锐角，，则 （　　）
A. B. C. D.
8. 抛物线 的焦点为 ，斜率为 2 的直线 与抛物线 相交于 两点，且 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 是由复数组成的数列，（ 为虚数单位），且 ，则（　　）
A.
B.
C.
D. 若 ，则 的最小值为
10. 已知复数 为纯虚数，则（　　）
A. B.
C. D.
11. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，，则（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量 ，，若 且 ，则 ______.
13. 数列 中，，，记数列 的前 项和为 ，则 ______.
14. 已知正方体 的棱长为 2，若球 同时满足条件：① 与平面 、平面 均相切，② 与棱 相切（即与棱 仅有一个公共点），则球 的半径的最小值为 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分） 已知函数 ，.
（1） 求 ；
（2） 中，若 构成等差数列，且 ，求 .
16. （15分） 如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为 的正方形， 为 的中点，，平面 平面 .
（1） 证明： 平面 ；
（2） 求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. （15分） 在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有 个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为 .游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止.游戏停止时，取球的总次数记作 ， 表示“共有 个小球，按规则取球 次后游戏停止”的概率.
（1） 求 和 的值；
（2） 若小球的个数为 ，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 （用 表示）.
18. （17分） 已知椭圆 的长轴的长为 4，离心率为 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 若直线 与椭圆 有唯一公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴于 和 .
（i） 求 面积的最大值；
（ii） 当点 运动时，求点 的轨迹方程.
19. （17分） 已知函数 .
（1） 当 时，求 在 上的最大值；
（2） 当 时，若对任意的实数 ，直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的取值范围；
（3） 若 .证明：当 时，.
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2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）
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拔高冲刺卷
参考答案及解析
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A C D A B C
解析：
1. 解：集合 ，.求交集得 .选 D.
2. 解：由 ，得 ，又 ，故 .由 ，得 .则 .选 B.
3. 解：设经过 年，种群数量变为原来的 万倍即 倍.则 ，两边取常用对数得 ，故 .大约需要 10 年.选 A.
4. 解：经过 次处理后，碳排放浓度为 .令 ，得 ，，故 ，.至少需要 6 次.选 C.
5. 解：，则 ，即 ，解得 .选 D.
6. 解：以 为原点， 所在直线为 轴建系.则 ， 为 中点，故 ，，则 .选 A.
7. 解：令 ，则 .由条件得 ，故 .因为 为锐角，，.由 ，得 ，解得 ，.即 .选 B.
8. 解：抛物线 的焦点为 ，准线为 .设 ，由抛物线定义，，.直线 斜率为 2，设方程为 .联立抛物线方程消去 得 ，则 .又 .另一方面，.可得 ，即 .再由 及弦长公式或进一步关系，结合 可解得 ，进而得 坐标，计算 .选 C.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD AB AD
解析：
9. 解：计算得 ，故 .由 ，可依次求出数列各项，发现周期性规律.经计算，A 项 不等于 ，A 错误.B 项 成立，B 正确.C 项通过计算模长得 ，C 正确.D 项由几何意义得最小值为 ，D 正确.选 BCD.
10. 解： 为纯虚数，则实部 ，虚部 .解得 ，此时 .故 ，A、B 正确.，C 错误.，D 错误.选 AB.
11. 解：由 ，得 ，即 .由 ，得 .联立解得 ，.故 A 正确，B 错误.计算 ，，故 ，C 错误.，D 正确.选 AD.
三、填空题
题号 12 13 14
答案 (3, 1) 或 (.3, .1)
解析：
12. 解：设 ，则 ，即 ，；，.由条件得 ，整理得 ，即 ，.代入 ，得 ，，.对应 .故 或 .
13. 解：由 ，得 .累乘得 .则 .求和 .代入 ，得 .根据原始文档参考答案，结果为 .
14. 解：球心在二面角的角平分面上.通过几何分析，建立空间直角坐标系或平面几何关系，设球心 ，利用与平面相切及与棱相切的条件，得到半径 满足的方程.当球心在特定位置时半径最小，计算得最小值为 .
四、解答题
15. （13分） 解： （1） ，得 或 .又 ，故 .
【评分细则】正确求出 值得 5 分.
（2）由 成等差数列，结合 ，得 . .又 ，则 . 所以 . .
【评分细则】求出角 得 2 分，得出 得 3 分，求出 得 3 分.共 8 分.
16. （15分） 解： （1） 连接 交 于 ，则 为 中点.又 为 中点，故 . 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【评分细则】正确作出辅助线并证明线线平行得 4 分，得到线面平行得 2 分.共 6 分.
（2）法一（几何法）：取 中点 ，由已知可证 平面 ，且 平面 .故直线 与平面 所成角为 .计算得 ，，则 . 法二（向量法）：建系求得 与平面法向量 ，利用夹角公式计算得正弦值为 .
【评分细则】正确论证线面垂直或建系得 4 分，求出相关长度或坐标得 3 分，正确计算出结果得 2 分.共 9 分.
17. （15分） 解： （1） 法一： 即 ，共有 种，故 . 即 且 ，分类计数得 330 种，故 . 法二：利用对立事件计算同样结果.
【评分细则】正确计算出 得 3 分，正确计算出 得 4 分.共 7 分.
（2）记 为摸到 号球后还需抽取奇数次才停止的概率，通过建立递推关系 ，设 ，得 ，.递推得 .最终 .
【评分细则】正确建立递推关系得 4 分，解出 得 3 分，求出最终结果得 1 分.共 8 分.
18. （17分） 解： （1） 由题意 ，解得 .椭圆方程为 .
【评分细则】求出 得 3 分，写出方程得 2 分.共 5 分.
（2）联立直线与椭圆，由相切得 得到 .求得切点 .过 与 垂直的直线方程求出与轴交点 .
（i），当 时取等号，最大值为 .
（ii）由 ，反解 ，代入 得轨迹方程 .
【评分细则】求出切点坐标得 3 分，求出面积表达式并求最值得 3 分，求出轨迹方程得 3 分.共 12 分.
19. （17分） 解： （1） 当 时，.求导得 ， 在 单调递减，最大值为 .
【评分细则】正确求导并判断单调性得 3 分，求出最大值得 2 分.共 5 分.
（2）当 时，.直线 与曲线恰有一个公共点，等价于函数 有唯一零点.分析 的单调性，对 分类讨论，得实数 的取值范围为 .
【评分细则】正确构造函数并分类讨论得 4 分，得出正确范围得 3 分.共 7 分.
（3）要证 ，即证 .利用 放缩，结合(1)中结论得 .分 和 两种情况证明不等式成立.综合得证.
【评分细则】正确放缩并分情况讨论得 3 分，每种情况证明正确得 2 分.共 5 分.
多维细目表（卷四）
题型 题号 分值 必备知识 学科素养 预估难度
单选题 1 5 集合的运算、不等式与区间 数学运算 易
2 5 集合的运算、函数定义域、对数 数学运算 易
3 5 指数函数模型、对数运算 数学建模、数学运算 中
4 5 等比数列模型、不等式求解 数学建模、数学运算 中
5 5 平面向量垂直的坐标表示 数学运算 易
6 5 平面向量数量积、直角三角形 直观想象、数学运算 易
7 5 三角恒等变换、同角关系 逻辑推理、数学运算 中
8 5 抛物线的定义与几何性质 直观想象、数学运算 难
多选题 9 6 复数数列、周期性、模长最值 数学抽象、数学运算 难
10 6 复数的概念、纯虚数、模长 数学抽象、数学运算 易
11 6 等差数列通项与前 项和 逻辑推理、数学运算 中
填空题 12 5 向量数量积、向量的模 数学运算 中
13 5 数列递推关系、裂项求和 逻辑推理、数学运算 难
14 5 空间几何体、球与正方体相切 直观想象、逻辑推理 难
解答题 15 13 三角函数求解析式、解三角形 逻辑推理、数学运算 易
16 15 空间线面平行、线面角 直观想象、逻辑推理 中
17 15 古典概型、递推数列求概率 数学建模、数据分析 难
18 17 椭圆方程、直线与椭圆、轨迹 直观想象、数学运算 难
19 17 导数应用、函数零点、不等式 逻辑推理、数学运算 难
第 2 页，共 8 页2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）
数　学
标准模拟卷（二）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 （　　）
A. .3 B. C. D. 3
3. 已知集合 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
4. 已知 ， 为实数，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在数列 中，已知 ，若 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
6. 设 ，，，则（　　）
A. B. C. D.
7. 已知 ，则 的值为（　　）
A. B. C. D.
8. 已知球 的半径为 1，圆柱 的上、下底面圆周都在球 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在棱长为 3 的正方体 中，点 在棱 上且 ，点 在正方形 内运动（含边界），若 平面 ，则（　　）
A. 点 的运动轨迹为线段
B. 的最小值为
C. 存在点 ，使得
D.过 四点的球的表面积最小值为
10. 正方体 棱长为 4，，，下列说法中正确的有（　　）
A. 若点 在底面 （含边界）内，且 ，则 的轨迹的长度为
B. 空间中，点 满足 ，则 的轨迹与正方体表面的交线长度为
C. 平面 截正方体所得截面多边形是直角梯形
D. 平面 将正方体分成两个几何体的体积分别为 ，且 ，则
11. 函数 ，，则下列结论正确的有（　　）
A. 若 ，则函数 在 上单调递减
B.
C. 方程 可能无解
D. 若 为奇函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线 的离心率为 ______.
13. 在 的展开式中，含 的项的系数是 ______.
14. 已知数列 共有 6 项，，.若 ，且 ，则这样的数列 的个数为 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分） 已知函数 .
（1） 求 ；
（2） 求 的值域和单调递减区间.
16. （15分） 三棱锥 中，，，， 平面 ，，.
（1） 证明：直线 平面 ；
（2） 求直线 和平面 所成角的正弦值.
17. （15分） 已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，渐近线方程为 ，点 在直线 上.
（1） 求 的方程；
（2） 过点 的直线与 相切于点 （异于点 ），证明：.
18. （17分） 某学校围棋社团举行选拔赛，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军，有以下 2 种方案： 方案 1：甲、乙、丙、丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军. 方案 2：甲、乙、丙、丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军. 第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组； 第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰； 第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰； 第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军. 设甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立.
（1） 如果采用方案 1，当 时，求甲获得冠军的概率；
（2） 如果采用方案 2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，当 时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望；
（3） 采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明.
19. （17分） 已知 为坐标原点，点 的坐标为 ，以 为圆心的单位圆的上半部分（含端点）记为曲线 ， 是 上异于 的任意一点.设 ，，弦 的长与 的长的比值记为 .
（1） 求 的最小值；
（2） 令 ，讨论 的零点个数；
（3） 若 恒成立，求实数 的取值范围.
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2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）
数　学
标准模拟卷（二）
参考答案及解析
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A A A C D C
解析：
1. 解：集合 ，.求交集得 .选 D.
2. 解：.选 A.
3. 解：，，则 .选 A.
4. 解：由 ，得 ，即 ，故充分性成立.反之，若 ，即 ，不能推出 （例如 ），故必要性不成立.因此是充分不必要条件.选 A.
5. 解：设 ，由条件得 ，故 为等差数列.由 得 .公差 ，则 ，故 .选 A.
6. 解：，，.故 .选 C.
7. 解：由 ，得 ，. 代入原式得 .选 D.
8. 解：设圆柱底面半径为 ，高的一半为 ，则 .圆柱侧面积 .由基本不等式 ，当且仅当 时取等号.故 .选 C.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ABD ABD ABD
解析：
9. 解：建系分析.由线面平行关系可确定 的轨迹为线段，A正确.通过计算得到 的最小值为 ，B正确.由垂直关系分析知不存在符合条件的 ，C错误.四点的球的表面积最小值为 ，D正确.选 ABD.
10. 解：由正方体棱长4及比例关系，计算可得：A中轨迹为底面上线段，长度 ，正确.B中满足阿波罗尼斯圆的轨迹与正方体表面交线长度为 ，正确.C中截面多边形不是直角梯形，错误.D中体积计算得 ，正确.选 ABD.
11. 解：A. 时，，在上单调递减，正确. B. 通过计算成立，正确. C. 方程必有解，故C错误.D. 若为奇函数，得，进而验证成立，正确.选 ABD.
三、填空题
题号 12 13 14
答案 21 50
解析：
12. 解：双曲线 中，，故 ，.离心率 .
13. 解：二项式 的通项为 .令 ，得 .含 的项的系数为 .
14. 解：每项取 ，等价于两项和的范围限制.分类讨论满足 且 的序列个数.通过枚举或组合计数，得总数为 50.
四、解答题
15. （13分） 解： （1） .
【评分细则】正确代入并计算得 5 分.
（2）. 所以 的值域为 . 由 ，解得 . 所以 的单调递减区间为 .
【评分细则】正确化简函数式得 3 分，求出值域得 2 分，求出单调递减区间得 3 分.共 8 分.
16. （15分） 解： （1） 平面 ， 平面 ，. 又 ，， 平面 .
【评分细则】证明线线垂直得 3 分，证明线面垂直得 3 分.共 6 分.
（2）过 点作 ， 为垂足，可得 平面 .由题意计算得 . 以 点为原点，以 为 轴， 为 轴，过 平行于 的直线为 轴建系. 求得相关点坐标，设平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 . 设直线 和平面 所成角为 ，则，代入坐标计算即可.
【评分细则】正确求出建系所需长度并建系得 4 分，正确求出法向量和方向向量得 3 分，计算出线面角正弦值得 2 分.共 9 分.
17. （15分） 解： （1） 因为点 在直线 上，所以 . 因为 的渐近线方程为 ，所以 ，故 . 所以 的方程为 .
【评分细则】求出 得 2 分，求出 得 2 分，写出方程得 2 分.共 6 分.
（2）由 ，得 ，则 .易知直线 的斜率存在，设其方程为 . 与双曲线方程联立，由相切得 ，解得 . 求得切点 ，直线 方程为 . 计算点 到直线 的距离 .易知 ，所以 . 又点 在 内部，所以 .
【评分细则】求出焦点坐标得 1 分，设出直线方程并联立得 2 分，求出斜率 得 2 分，求出 点坐标得 1 分，利用距离相等完成证明得 3 分.共 9 分.
18. （17分） 解： （1） 设 “采用方案 1 甲获得冠军”，则 .
【评分细则】正确计算得 4 分.
（2）设甲参与对阵的比赛场数为随机变量 ，则 的可能取值为 2, 3, 4. ；； . .
【评分细则】正确分析随机变量取值并求出各概率得 4 分，正确计算期望得 2 分.共 6 分.
（3）采用方案 1 甲获得冠军的概率为 . 采用方案 2 甲获得冠军的概率为 . 作差比较：. 当 时，，方案 1 更有利；当 时，两种方案均可；当 时，方案 2 更有利.
【评分细则】正确求出两种方案的概率得 3 分，作差并因式分解得 2 分，正确分类讨论得 2 分.共 7 分.
19. （17分） 解： （1） 由题意，.求导判断单调性，得 在 上单调递减.故最小值为 .
【评分细则】正确表示 得 2 分，求导判断单调性得 2 分，求出最值得 1 分.共 5 分.
（2），零点个数即直线 与 的交点个数.求导分析 单调性和极值，可得： 当 时，无零点；当 或 时，1 个零点；当 时，2 个零点.
【评分细则】将零点问题转化为两函数交点问题得 2 分，正确求导并分析单调性极值得 3 分，正确分类讨论零点个数得 2 分.共 7 分.
（3）不等式化为 .令 ，求导研究单调性.分类讨论 ，， 时的情况.最终得实数 的取值范围是 .
【评分细则】正确构造新函数得 2 分，求导并二次求导分析单调性得 2 分，正确分类讨论得 2 分，求出最终结果得 1 分.共 7 分.
多维细目表（第三套）
题型 题号 分值 必备知识 学科素养 预估难度
单选题 1 5 集合的运算、描述法与列举法 数学运算 易
2 5 两角和的正切公式 数学运算 易
3 5 集合的交集运算 数学运算 易
4 5 充分必要条件、不等式性质 逻辑推理 易
5 5 等差数列的判定与性质 逻辑推理、数学运算 中
6 5 指数、对数函数的单调性比较大小 直观想象、数学运算 易
7 5 二倍角公式、三角恒等变换 数学运算、逻辑推理 中
8 5 圆柱外接球、侧面积最值 直观想象、数学运算 中
多选题 9 6 空间线面位置关系、轨迹、最值 直观想象、逻辑推理 难
10 6 空间向量、轨迹、截面、体积 直观想象、数学运算 难
11 6 函数性质（单调、奇偶）、方程解 数学抽象、逻辑推理 中
填空题 12 5 双曲线的离心率 数学运算 易
13 5 二项式定理的通项公式 数学运算 易
14 5 数列与组合计数 逻辑推理、数学运算 中
解答题 15 13 三角函数求值、恒等变换与性质 数学运算、逻辑推理 易
16 15 空间位置关系证明、线面角 直观想象、逻辑推理 中
17 15 双曲线方程、直线与双曲线相切 逻辑推理、数学运算 中
18 17 独立事件概率、随机变量期望 数学建模、数据分析 难
19 17 导数应用、函数零点、恒成立问题 逻辑推理、数学运算 难
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数　学
基础巩固卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
3. 某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的 5 倍，则该物种种群数量变成原来的 1000 万倍大约需要经过（　　）（参考数据：）
A. 10 年 B. 11 年 C. 23 年 D. 24 年
4. 为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理，已知初始碳排放浓度为 ，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少 .国家排放标准规定碳排放浓度不得超过 ，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知向量 ，，若，则 （　　）
A. .2 B. .1 C. 1 D. 2
6. 在 中，，，， 为 的中点，则 （　　）
A. 8 B. 12 C. D.
7. 已知 为锐角，，则 （　　）
A. B. C. D.
8. 抛物线 的焦点为 ，斜率为 2 的直线 与抛物线 相交于 两点，且 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 是由复数组成的数列，（ 为虚数单位），且 ，则（　　）
A.
B.
C.
D. 若 ，则 的最小值为
10. 已知复数 为纯虚数，则（　　）
A. B. C. D.
11. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，，则（　　）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量 ，，若 且 ，则 ______.
13. 数列 中，，，记数列 的前 项和为 ，则 ______.
14. 已知正方体 的棱长为 2，若球 同时满足条件：① 与平面 、平面 均相切，② 与棱 相切（即与棱 仅有一个公共点），则球 的半径的最小值为 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分） 已知函数，.
（1） 求 ；
（2） 中，若 构成等差数列，且 ，求 .
16. （15分） 如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为 的正方形， 为 的中点，，平面 平面 .
（1） 证明： 平面 ；
（2） 求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. （15分） 在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有 个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为 .游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止.游戏停止时，取球的总次数记作 ， 表示“共有 个小球，按规则取球 次后游戏停止”的概率.
（1） 求 和 的值；
（2） 若小球的个数为 ，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 （用 表示）.
18. （17分） 已知椭圆 的长轴的长为 4，离心率为 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 若直线 与椭圆 有唯一公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴于 和 .
（i） 求 面积的最大值；
（ii） 当点 运动时，求点 的轨迹方程.
19. （17分） 已知函数 .
（1） 当 时，求 在 上的最大值；
（2） 当 时，若对任意的实数 ，直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的取值范围；
（3） 若 .证明：当 时，.
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2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）
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参考答案及解析
一、单项选择题
题号 1 2· 3 4 5 6 7 8
答案 D B A C D A B C
解析：
1. 解：集合 ，.求交集得 .选 D.
2. 解：由 ，得 ，又 ，故 .由 ，得 .则 .选 B.
3. 解：设经过 年，种群数量变为原来的 万倍即 倍.则 ，两边取常用对数得 ，故 .大约需要 10 年.选 A.
4. 解：经过 次处理后，碳排放浓度为 .令 ，得 ，，故 ，.至少需要 6 次.选 C.
5. 解：，则 ，即 ，解得 .选 D.
6. 解：以 为原点， 所在直线为 轴建系.则 ， 为 中点，故 ，，则 .选 A.
7. 解：令 ，则 .由条件得 ，故 .因为 为锐角，，.由 ，得 ，解得 ，.即 .选 B.
8. 解：抛物线 的焦点为 ，准线为 .设 ，由抛物线定义，，.直线 斜率为 2，设方程为 .联立抛物线方程消去 得 ，则 .又 .另一方面，.可得 ，即 .再由 及弦长公式或进一步关系，结合 可解得 ，进而得 坐标，计算 .选 C.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD AB AD
解析：
9. 解：计算得 ，故 .由 ，可依次求出数列各项，发现周期性规律.经计算，A 项 不等于 ，A 错误.B 项 成立，B 正确.C 项通过计算模长得 ，C 正确.D 项由几何意义得最小值为 ，D 正确.选 BCD.
10. 解： 为纯虚数，则实部 ，虚部 .解得 ，此时 .故 ，A、B 正确.，C 错误.，D 错误.选 AB.
11. 解：由 ，得 ，即 .由 ，得 .联立解得 ，.故 A 正确，B 错误.计算 ，，故 ，C 错误.，D 正确.选 AD.
三、填空题
题号 12 13 14
答案 (3, 1) 或 (.3, .1)
解析：
12. 解：设 ，则 ，即 ，；，.由条件得 ，整理得 ，即 ，.代入 ，得 ，，.对应 .故 或 .
13. 解：由 ，得 . 累乘得 . 则 . 求和 . 代入 ，得 .
14. 解：球心在二面角的角平分面上.通过几何分析，建立空间直角坐标系或平面几何关系，设球心 ，利用与平面相切及与棱相切的条件，得到半径 满足的方程.当球心在特定位置时半径最小，计算得最小值为 .
四、解答题
15. （13分） 解：
（1） ，得 或 .又 ，故 .
【评分细则】正确求出 值得 5 分.
（2） 由 成等差数列，结合 ，得 . .又 ，则 . 所以 . .
【评分细则】求出角 得 2 分，得出 得 3 分，求出 得 3 分.共 8 分.
16. （15分） 解：
（1） 连接 交 于 ，则 为 中点.又 为 中点，故 . 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【评分细则】正确作出辅助线并证明线线平行得 4 分，得到线面平行得 2 分.共 6 分.
（2） 法一（几何法）：取 中点 ，由已知可证 平面 ，且 平面 .故直线 与平面 所成角为 .计算得 ，，则 . 法二（向量法）：建系求得 与平面法向量 ，利用夹角公式计算得正弦值为 .
【评分细则】正确论证线面垂直或建系得 4 分，求出相关长度或坐标得 3 分，正确计算出结果得 2 分.共 9 分.
17. （15分） 解：
（1） 法一： 即 ，共有 种，故 . 即 且 ，分类计数得 330 种，故 . 法二：利用对立事件计算同样结果.
【评分细则】正确计算出 得 3 分，正确计算出 得 4 分.共 7 分.
（2） 记 为摸到 号球后还需抽取奇数次才停止的概率，通过建立递推关系 ，设 ，得 ，.递推得 .最终 .
【评分细则】正确建立递推关系得 4 分，解出 得 3 分，求出最终结果得 1 分.共 8 分.
18. （17分） 解：
（1） 由题意 ，解得 .椭圆方程为 .
【评分细则】求出 得 3 分，写出方程得 2 分.共 5 分.
（2） 联立直线与椭圆，由相切得 得到 .求得切点 .过 与 垂直的直线方程求出与轴交点 .
（i） ，当 时取等号，最大值为 .
（ii） 由 ，反解 ，代入 得轨迹方程 .
【评分细则】求出切点坐标得 3 分，求出面积表达式并求最值得 3 分，求出轨迹方程得 3 分.共 12 分.
19. （17分） 解：
（1） 当 时，.求导得 ， 在 单调递减，最大值为 .
【评分细则】正确求导并判断单调性得 3 分，求出最大值得 2 分.共 5 分.
（2） 当 时，.直线 与曲线恰有一个公共点，等价于函数 有唯一零点.分析 的单调性，对 分类讨论，得实数 的取值范围为 .
【评分细则】正确构造函数并分类讨论得 4 分，得出正确范围得 3 分.共 7 分.
（3） 要证 ，即证 .利用 放缩，结合（1） 中结论得 .分 和 两种情况证明不等式成立.综合得证.
【评分细则】正确放缩并分情况讨论得 3 分，每种情况证明正确得 2 分.共 5 分.
多维细目表（第一套）
题型 题号 分值 必备知识 学科素养 预估难度
单选题 1 5 集合的运算、不等式与区间 数学运算 易
2 5 集合的运算、函数定义域、对数 数学运算 易
3 5 指数函数模型、对数运算 数学建模、数学运算 中
4 5 等比数列模型、不等式求解 数学建模、数学运算 中
5 5 平面向量垂直的坐标表示 数学运算 易
6 5 平面向量数量积、直角三角形 直观想象、数学运算 易
7 5 三角恒等变换、同角关系 逻辑推理、数学运算 中
8 5 抛物线的定义与几何性质 直观想象、数学运算 难
多选题 9 6 复数数列、周期性、模长最值 数学抽象、数学运算 难
10 6 复数的概念、纯虚数、模长 数学抽象、数学运算 易
11 6 等差数列通项与前 项和 逻辑推理、数学运算 中
填空题 12 5 向量数量积、向量的模 数学运算 中
13 5 数列递推关系、裂项求和 逻辑推理、数学运算 难
14 5 空间几何体、球与正方体相切 直观想象、逻辑推理 难
解答题 15 13 三角函数求解析式、解三角形 逻辑推理、数学运算 易
16 15 空间线面平行、线面角 直观想象、逻辑推理 中
17 15 古典概型、递推数列求概率 数学建模、数据分析 难
18 17 椭圆方程、直线与椭圆、轨迹 直观想象、数学运算 难
19 17 导数应用、函数零点、不等式 逻辑推理、数学运算 难
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