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(共21张PPT)
第8讲　一元二次方程及其应用
1.下列方程是一元二次方程的是 (C)
A.x2-2x+=0 B.y=2x2-3x-1
C.x2-1=0 D.y2-x+3=0
C
2.(2025·兰州)若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根,则a的值可以是 (D)
A.3 B.2
C.1 D.0
D
3.(2025·迎江区三模)用配方法解一元二次方程x2-8x+11=0,此方程可化为 (A)
A.(x-4)2=5 B.(x+4)2=5
C.(x-4)2=27 D.(x+4)2=27
A
4.(2025·乐山)若方程x2-x-2=0的两个根是x1和x2,则x2+x1的值为 (C)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
C
5.(2025·内江)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,则实数a的取值范围是 (C)
A.a≤2 B.a<2
C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1
C
6.数学文化我国古代著作《四元玉鉴》记载有“买椽多少”的问题:“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,问6 210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株,则可列方程为 (A)
A.3(x-1)x=6 210 B.3(x-1)=6 210
C.(3x-1)x=6 210 D.3x=6 210
A
7.(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 (B)
A.10% B.20%
C.22% D.44%
B
8.方程(x-1)(x+2)=0的根是　x=1,x=-2　.
　x=1,x=-2
9.设x1,x2是关于x的方程x2-3x+k=0的两个实数根,且x1=2x2,则k=　2 　.
　2
10.解方程:(2x+3)2=(3x+2)2.
解:开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2,
解得x1=1,x2=-1.
11.解方程:x2-2x-3=0.
解:原方程可以变形为(x-3)(x+1)=0,
x-3=0或x+1=0,
∴x1=3,x2=-1.
12.在国家积极政策的鼓励下,居民环保意识日渐增强,新能源汽车的市场非常火爆.某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车,经销一段时间后发现:当该款汽车售价定为25万元/辆时,平均每周售出8辆;售价每降低0.5万元,平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元,并且尽量让利于顾客,求下调售价后每辆汽车的售价.
解:设下调售价后每辆汽车的售价为y万元,则每辆汽车的销售利润为(y-15)万元,平均每周可售出8+×1=(58-2y)辆.
根据题意,得(y-15)(58-2y)=96,
整理,得y2-44y+483=0,
解得y1=21,y2=23.
又∵要尽量让利于顾客,
∴y=21.
答:下调售价后每辆汽车的售价为21万元.
13.如图,矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图,其中边AB的长为40 m,边BC的长为25 m,该展区内有三个全等的矩形展位,每个展位的面积都为200 m2,阴影部分为宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.若设人行通道的宽度为x m,下列方程正确的是 (B)
第13题图
A.(40-3x)(25-2x)=200
B.(40-4x)(25-2x)=600
C.40×25-80x-100x+8x2=200
B
D.40×25-80x-100x=600
14.(2025·凤阳县三模)已知x,y是实数,且满足x2+y2=2x+4y-5.若m=3x+y,则m的值为 (A)
A.5 B.6
C.7 D.8
A
15.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.
(1)求实数k的取值范围.
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,
∴Δ=32-4×1×(k-2)≥0,解得k≤,
即k的取值范围是k≤.
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.
(2)∵方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-3,x1x2=k-2.
∵(x1+1)(x2+1)=-1,
∴x1x2+(x1+x2)+1=-1,
∴k-2+(-3)+1=-1,
解得k=3,即k的值是3.
16.(2025·埇桥区校级一模)2025年春节联欢晚会的吉祥物“巳升升”的设计灵感来源于中华传统文化,整体造型参考甲骨文中的“巳”字,采用青绿色为主色调,外形憨态可掬,寓意“福从头起,尾随如意”,在市场上一度走红.
(1)据统计“巳升升”在某电商平台2024年12月份的销售量是5万件,2025年2月份的销售量是7.2万件,若月平均增长率相同,求月平均增长率.
解:(1)设月平均增长率为x.
根据题意,得5(1+x)2=7.2,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去).
答:月平均增长率是20%.
(2)某实体店“巳升升”的进价为每件60元,若售价定为每件100元,则每天能销售20件,经市场调查发现,售价每降价1元,每天可多售出2件.为了推广宣传,商家决定降价促销,同时尽量减少库存,若使每天销售后获利1 200元,则售价应降低多少元
(2)设售价应降低y元,则每件的销售利润为(100-y-60)元,每天的销售量为(20+2y)件.
根据题意,得(100-y-60)(20+2y)=1 200,
整理,得y2-30y+200=0,
解得y1=10,y2=20.
又∵要尽量减少库存,∴y=20.
答:售价应降低20元.
17.新考法代数基本定理告诉我们对于形如xn+a1xn-1+a2xn-2+…+
an-1x+an=0(其中a1,a2,…,an为整数)这样的方程,如果有整数根的话,那么整数根必定是an的约数.例如方程x3+8x2-11x+2=0的整数根只可能为±1,±2,代入检验得x=1时等式成立.故x3+8x2-11x+2含有因式x-1,所以原方程可转化为(x-1)(x2+9x-2)=0,进而可求得方程的所有解.请你仿照上述解法,解方程:x3+x2-11x-3=0得到的解为
　x=3或x=-2+ =-2- .
　x=3或x=-2+或x=-2-(共21张PPT)
第5讲　一次方程(组)及其应用
1.关于x的一元一次方程2+m=4的解为x=1,则a+m的值是 (C)
A.9 B.8
C.5 D.4
C
2.根据等式的基本性质,下列变形中正确的是 (A)
A.若=,则a=b
B.若ac=bc,则a=b
C.若a2=b2,则a=b
D.若-x=6,则x=-2
A
3.已知一个二元一次方程组将①式代入②式,消去y可以得到 (B)
A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7
C.x+x-1=7 D.x+2x+2=7
B
4.已知a-2b=3,2b-c=-5,c-d=10,下列结论中错误的是 (C)
A.a-c=-2 B.a-d=8
C.2a+2b-3c=9 D.2a+2b-3d=21
C
5.已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4,则m的值为 (B)
A.0 B.1
C.2 D.3
B
6.(2025·内江)学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方订购了72套,每套减价3元,但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为x元,则可列方程为 (B)
A.72(100-x)=60(100+3-x)
B.60(100-x)=72(100-3-x)
C.60(100+x)=72(100-3+x)
D.=
B
7.若代数式与互为相反数,则x的值为　5　.
　5
8.按照如图所示的程序计算,若输出y的值是2,则输入x的值是1　.
第8题图
　1
9.解方程:3-=x-.
解:去分母,得12-2(x-1)=4x-(11+x),
去括号,得12-2x+2=4x-11-x,
移项,得-2x-4x+x=-11-12-2,
合并同类项,得-5x=-25,
系数化为1,得x=5.
10.(2025·吉林)吉林省长白山盛产人参、为促进特色经济的发展,某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售,甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒,花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
解:设游客购买甲种商品x盒,购买乙种商品y盒.
根据题意,得
解得
答:游客购买甲种商品6盒,购买乙种商品4盒.
11.(2025·来安县二模)水东蜜枣是安徽省宣城市宣州区特产,全国农产品地理标志.为了践行“着力抓好‘三农’工作,深入推进乡村全面振兴”的工作要求,小徐村的鲜枣一部分直接销售,一部分制成蜜枣销售.直接销售,每千克的销售额为a元,每千克的鲜枣制成蜜枣后的销售额比直接销售提高50%.去年该村产鲜枣200 000 kg,制成蜜枣的总销售额是直接销售的总销售额的.
(1)每千克鲜枣制成蜜枣后的销售额为　　　　元(用含a的代数式表示).
解:(1)由题意得,每千克鲜枣制成蜜枣后的销售额为a(1+50%)=1.5a(元).
故答案为1.5a.
(2)设去年直接销售鲜枣x kg.
由题意,得ax=1.5a(200 000-x),
解得x=80 000.
答:去年直接销售鲜枣80 000 kg.
(2)去年直接销售鲜枣多少千克
12.已知互不重合的A,B,C三点在同一条直线上,且AC=2a+1,BC=
a+4,AB=3a,则这三点的位置关系是 (A)
A.点A在B,C两点之间
B.点B在A,C两点之间
C.点C在A,B两点之间
D.无法确定
A
13.数学文化如果一个矩形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,就称它为“优美矩形”.如图,“优美矩形”ABCD的周长为26,则正方形d的边长为　5　.
第13题图
　5
14.“绿水青山就是金山银山”,科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg,且一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg.
(1)请分别求出一片银杏树叶和一片国槐树叶一年的平均滞尘量.
解:(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg.
由题意,得解得
答:一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg.
(2)50 000×40=2 000 000(mg)=2 (kg).
答:这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为2 kg.
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有三棵始于唐代的银杏树,据估计三棵银杏树共有约50 000片树叶.这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为多少千克
15.数学文化我国很多经典古籍中记载了“河图”和“洛书”,它是我国重要的文化遗产之一.“河图”和“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字.观察图1中的每一组点所对应的数字,回答下列问题:
第15题图
(1)请按照图1“洛书”中的顺序把数字1~9填入图2对应的正方形空格中.
解:(1)如图2所示.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
(2)我们把图2叫作一个“三阶”幻方.不难发现:“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上数字之和都相等.若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”,中间的数称为“中心数”,则“幻方和”与“中心数”还存在着一定的倍数关系.
①如图3,已知m=-2,c=-7,幻方的“中心数”e=-1,则a的值为　　　;
(2)①∵m+e+b=a+b+c,
∴a=m+e-c=-2+(-1)-(-7)=4,
∴a的值为4.
故答案为4.
4
②如图4,A,B,C,D,E,F是含有字母t的整式,E=4t,C=t+3,若幻方的“中心数”D=m,B=-6t+m,且m为常数,求m的值.
②如图4,
设“幻方和”为x.
∵E=4t,C=t+3,D=m,B=-6t+m,
∴A=x-B-C=x-(t+3)-(-6t+m)=x+5t-m-3,
M=x-D-E=x-4t-m,
G=x-B-D=x-(-6t+m)-m=x+6t-2m,
H=x-C-D=x-(t+3)-m=x-t-m-3,
F=x-C-E=x-(t+3)-4t=x-5t-3.
M
H
G
∵A+D+F=x,
∴x+5t-m-3+m+x-5t-3=x,
∴x=6.
∵H+G+F=x,
∴x-t-m-3+x+6t-2m+x-5t-3=x,而x=6,
解得m=2,
∴m的值为2.(共18张PPT)
第7讲　分式方程及其应用
1.(2025·湖南)将分式方程=去分母后得到的整式方程为 (A)
A.x+1=2x B.x+2=1
C.1=2x D.x=2(x+1)
A
2.小明解分式方程=-1的过程如下:
解:去分母,得3=2x-(3x+3),①
去括号,得3=2x-3x+3,②
移项、合并同类项,得-x=6,③
系数化为1,得x=-6.④
以上步骤中,开始出错的一步是 (B)
A.① B.②
C.③ D.④
B
3.(2025·淮南模拟)某市开展“悦读书,与心共鸣”读书活动,甲、乙两位同学分别从距离活动地点1 400 m和900 m的两地同时出发,参加活动.甲同学的速度是乙同学的1.1倍,乙同学比甲同学提前
7 min到达活动地点.若设乙同学的速度是x m/min,则下列方程正确的是 (A)
A.-=7 B.-=7
C.-=7 D.-=7
A
4.(2025·绥化)用A,B两种货车运输化工原料,A货车比B货车每小时多运输15 t化工原料,A货车运输450 t化工原料所用时间与B货车运输300 t化工原料所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x t,则可列方程为 (C)
A.= B.=
C.= D.=
C
5.解分式方程-=0去分母时,方程两边同乘的最简公分母是　x(x+1)　.
　x(x+1)
6.若式子+1的值为零,则y=　 0 　.
　 0
7.若关于x的分式方程=有增根,则m=　-4或0　.
　-4或0
8.解方程:+=4.
解:方程两边同乘2x-3,得x-5=4(2x-3),
解得x=1.
检验:当x=1时,2x-3≠0.
故x=1是原分式方程的根.
9.解方程:-1=.
解:原方程变形,得-1=,
两边同时乘(x-2)2,得x(x-2)-(x-2)2=4,
解得x=4,
检验:当x=4时,(x-2)2≠0,
∴x=4是原分式方程的根.
10.为进行某项数学综合与实践活动,老师到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买某工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.若给学校九年级学生每人购买一个该工具,则只能按零售价付款,需用3 600元.若多购买60个该工具,则可以按批发价付款,同样需用3 600元,若按批发价购买60个该工具与按零售价购买50个该工具所付款相同,这个学校九年级学生有多少人
解:设这个学校九年级学生有x人.
根据题意,得×50=×60,解得x=300,
经检验x=300是所列方程的解,且符合题意.
答:这个学校九年级学生有300人.
11.若关于x的分式方程2-=的根为正数,则k的取值范围为 (B)
A.k<2 B.k<2,且k≠0
C.k>-1 D.k>-1,且k≠0
B
12.(2025·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程+=2无解,那么实数m的值是 (C)
A.m=1 B.m=-1
C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-1
C
13.若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程+=2有非负整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是　4　.
　4
14.(2025·广东)在解分式方程=-2时,小李的解法如下:
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过程.
解:小李的解法中,第一步是去分母.
去分母的依据是等式的基本性质.
第一步:·(x-2)=-·(x-2)-2,
第二步:1-x=-1-2,
第三步:-x=-1-2-1,
第四步:x=4.
第五步:检验:当x=4时,x-2≠0.
第六步:∴原分式方程的解为x=4.
小李的解答过程错误.
正确的解答过程:=-2,
去分母,得·(x-2)=-·(x-2)-2(x-2),
整理,得1-x=-1-2x+4,
移项并合并同类项,得x=2.
检验:当x=2时,x-2=0.
∴原分式方程无解.
15.(2025·重庆)列方程解下列问题:
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)该厂每天生产的甲、乙文创产品的数量分别是多少个
解:(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个,则每天生产乙种文创产品的数量是(x-50)个.
根据题意,得3x-4(x-50)=100,
解得x=100,
∴x-50=100-50=50(个).
答:该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个,每天生产乙种文创产品的数量是50个.
(2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天增加的数量同样,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是生产乙种文创产品每天增加的数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个,生产乙种文创产品比生产甲种文创产品多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个,则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个.
根据题意,得-=10,
解得y=20,
经检验,y=20是所列方程的解,且符合题意.
答:每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.

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