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(共20张PPT)
第23讲　与圆有关的概念和性质
1.下列条件不能确定一个圆的是 (D)
A.圆心与半径
B.三角形的三个顶点
C.直径
D.平面上的三个已知点
D
2.如图,AB,CD是☉O的弦,延长AB,CD相交于点P.已知∠P=30°,∠AOC=80°,则所对圆心角的度数是 (C)
A.30° B.25°
C.20° D.10°
第2题图
C
3.(2025·重庆)如图,点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,∠C的度数是 (B)
A.40° B.50°
C.80° D.100°
B
第3题图
4.(2025·泸州)如图,四边形ABCD内接于☉O,BD为☉O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°,则∠CBD的度数是 (B)
A.40° B.50°
C.60° D.70°
第4题图
B
5.如图,在半径为5的☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,EB.若CD=2,则EC的长是 (D)
A.2 B.8
C.2 D.2
D
第5题图
6.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,连接BD,则∠CBD的度数是　30°　.
第6题图
　30°
　　
第7题图
7.(2025·长沙)如图,AB为☉O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,OB.若AB=OA,AC=3,则OA的长为　6　.
　6
8.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长度为　26　寸.
　26
第8题图
9.如图,AB为☉O的直径,点 C,D在☉O上,AC与OD交于点E,AE=EC,OE=ED,连接BC,CD.求证:
(1)△AOE≌△CDE.
第9题图
证明:(1)在△AOE和△CDE中,
∴△AOE≌△CDE(SAS).
(2)四边形OBCD是菱形.
第9题图
(2)∵△AOE≌△CDE,
∴OA=CD,∠AOE=∠D,
∴OB∥CD.
又∵OB=OA=CD,
∴四边形OBCD是平行四边形.
∵OB=OD,
∴四边形OBCD是菱形.
10.(2025·甘肃)如图,四边形ABCD内接于☉O,=,连接BD.若∠ABC=70°,则∠BDC的度数为 (C)
A.20° B.35°
C.55° D.70°
第10题图
C
11.如图,AB是☉O的直径,点E是AB上的一点,过点E作CD⊥AB,交☉O于点C,D,下列结论中正确的是 (C)
A.若☉O的半径是2,点E是OB的中点,则CD=
B.若CD=,则☉O的半径是1
C.若∠CAB=30°,则四边形OCBD是菱形
D.若四边形OCBD是平行四边形,则∠CAB=60°
C
第11题图
12.(2025·南充)如图,AB是☉O的直径,AD⊥AB于点A,OD交☉O于点C,AE⊥OD于点E,交☉O于点F,点F为的中点,点P为线段AB上的一动点.若CD=4,则PE+PF的最小值是 (C)
A.4 B.2
C.6 D.4
第12题图
C
13.(2025·南通)在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心,为半径作☉A,直线y=kx-3k+2与☉A交于B,C两点,则BC的最小值为　 .
　6
14.(2025·广安)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD=120°,☉O的半径为6,则BD的长为　6 　.
　6
第14题图
15.(2025·蜀山区168中学三模)如图,AB是☉O的直径,CD=CB,CE⊥AB于点E,连接BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF.
第15题图
解:(1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A=90°-∠ABC.
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=90°,
∴∠ECB=90°-∠ABC,
∴∠ECB=∠A.
又∵CD=CB,
∴=,
∴∠DBC=∠CDB=∠A,
∴∠ECB=∠DBC,
∴CF=BF.
(2)若CD=4,AC=8,求弦BD的长.
(2)连接OC,交BD于点G.
∵BC=CD,
∴OC⊥BD,BD=2BG.
∵∠ACB=90°,BC=CD=4,AC=8,
∴AB===20,
∴☉O的半径为10.
设OG=x,则CG=10-x.
由勾股定理,得BG2=OB2-OG2=BC2-CG2,
即102-x2=(4)2-(10-x)2,
解得x=6,
∴BG==8,
∴BD=16.(共9张PPT)
微专题　隐形圆在解题中的应用
1.如图,在四边形ABCD中,BD=4,∠BAD=∠BCD=90°,则四边形ABCD面积的最大值为 (D)
A.2 B.4
C.6 D.8
第1题图
D
　　
第2题图
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,tan∠BAC=,点P是△ABC外一动点,且∠APB=90°,则CP的最大值是 (B)
A. B.2
C.4 D.10
B
3.如图,菱形ABCD的边长为4,∠A=60°,点M是AD边的中点,点N是边AB上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C的最小值是 (C)
A.2 B.+1
C.2-2 D.3
第3题图
C
　　
第4题图
4.如图,正方形ABCD的边长为2,直线EF经过正方形的中心O,并能绕着点O转动,分别交边AB,CD于点E,F,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG的最小值为 (D)
A. B.-1
C. D.-1
D
5.如图,点P是边长为6的等边三角形ABC内部一动点,连接BP,CP,AP,且满足∠ACP=∠CBP,点D为AP的中点,过点P作PE⊥AB,垂足为点E,连接DE,则DE的最小值是 (C)
第5题图
A.2 B.2
C. D.3
C
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°且AB=10,点P为△ABC的内心,点O为边AB的中点,将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接DP,则DP的最小值为 (A)
第6题图
A.5-5 B.
C.3-3 D.5-
A
7.(2025·合肥二模)如图,点M为Rt△ABC斜边AB上的中点,等腰三角形MBD的底边BD与AC交于点P.若∠A=30°,则的最小值为 (C)
A.1 B.
C.2 D.3
第7题图
C
　　
第8题图
8.(2025·宜宾)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=6,将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一点D,连接AD,使得△ACD面积为24,连接BD,则BD的最大值是　2 +4　.
　2+4(共18张PPT)
第24讲　与圆有关的位置关系
1.已知☉O的半径为5,点P在☉O内,则OP的长可能是 (D)
A.7 B.6
C.5 D.4
D
2.(2025·利辛县一模)已知☉O的半径为5,若OP=5.5,则点P在 (C)
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.无法判断
C
3.(2025·福建)如图,PA与☉O相切于点A,PO的延长线交☉O于点C,AB∥PC,且交☉O于点B.若∠P=30°,则∠BCP的大小为 (C)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
第3题图
C
　　
第4题图
4.如图,PA,PB为☉O的切线,切点分别为点A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交☉O于点D.下列结论中不一定成立的是 (B)
A.△BPA为等腰三角形
B.AB与PD相互垂直平分
C.点A,B都在以PO为直径的圆上
D.PC为△BPA的边AB上的中线
B
5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点E,F分别是AB,AC上两点,以EF为直径作圆与BC相切于点D,且DE⊥AB,DF⊥AC.若BD=4,BE=3,则AB的长为 (A)
A. B.
C.5 D.
第5题图
A
　　
第6题图
6.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,AC交☉O于点D,连接BD.若AB=6,BC=8,则BD的长是　4.8　.
　4.8
7.(2025·黑龙江)如图,PA,PB是圆O的切线,点A,B为切点,AC是直径,∠BAC=35°,则∠P的度数为　70°　.
第7题图
　70°
　　
第8题图
8.跨学科·地理如图,☉O是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别表示北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时,太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为　43°　.
　43°
9.如图,AB是☉O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的切线交OP的延长线于点C.
(1)求证:△PBC是等腰三角形.
第9题图
解:(1)证明:连接OB.
∵BC是☉O的切线,
∴∠OBA+∠ABC=90°.
∵OP⊥OA,∴∠OPA+∠A=90°.
又∵OB=OA,∴∠A=∠OBA,
∴∠ABC=∠OPA=∠CPB,
∴CP=CB,
∴△PBC是等腰三角形.
∴()2+x2=(x+1)2,
∵OB2+BC2=OC2,
(2)若☉O的半径为,OP=1,求BC的长.
(2)设BC=x,则PC=x.
在Rt△OBC中,OB=,OC=CP+OP=x+1.
解得x=2,即BC的长为2.
10.如图,点A,O在网格中小正方形的顶点处,每个小方格的边长为1,在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B,C,使点O为△ABC的外心,则BC的长为 (A)
第10题图
A.3 B.2
C.4 D.
A
11.(2025·上海)已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点,若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的两边,那么这个角的度数为　108°或36°　.
　108°或36°
12.(2025·合肥45中四模)如图,点C为半圆的中点,点P为上任意一点,CD⊥CP且与AP交于点D,连接BD.若AB=2,则BD的最小值为 -1　.
第12题图
-1
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点E为边AB上一点,以AE为直径的半圆O与BC相切于点D,连接AD,BE=3,BD=3.点P是边AB上的动点,当△ADP为等腰三角形时,AP的长为　6或2 　.
第13题图
　6或2
14.如图,在半径为5 cm的☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上的一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=3 cm.
(1)求证:CD是☉O的切线.
第14题图
解:(1)证明:连接OC.
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠CAO.
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC.
∵AD⊥DC,
∴CO⊥DC,
∴CD是☉O的切线.
(2)求AD的长.
(2)∵点E是BC的中点,且OA=OB,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE.
∵OE=3 cm,
∴AC=6 cm.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°=∠ADC.
又∵∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴=,即=,
∴AD= cm.
第14题图
15.(2025·蜀山区三模)魏晋时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式:在直角三角形中,若直角边长分别为a,b,斜边长为c,则该直角三角形的内切圆直径d=.当a=5,c=13时,该直角三角形的内切圆半径为　2　.
　2(共16张PPT)
第25讲　与圆有关的计算
1.如果圆锥侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是 (A)
A.3 B.4
C.5 D.6
A
2.如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线是如图2所示的一条圆弧,圆弧的半径OA=20 cm,圆心角∠AOB=90°,则的长为 (B)
A.20π cm B.10π cm
C.5π cm D.2π cm
第2题图
B
　　
第3题图
3.如图,在☉O中,若∠ACB=30°,OA=6,则扇形OAB(阴影部分)的面积是 (B)
A.12π B.6π
C.4π D.2π
B
4.(2025·山西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别以点B,C为圆心,BC的长为半径画弧,与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为 (D)
A.2π-4 B.4π-4
C.8π-8 D.4π-8
第4题图
D
　　
5.(2025·长春)扇形的面积是它所在圆的面积的,则这个扇形的圆心角的大小是　240°　.
　240°
6.(2025·达州)如图,圆锥的侧面展开图是一个扇形,已知圆锥的底面半径为2,则扇形的弧长是　4π　.
　4π
第6题图
7.(2025·宿州模拟)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,以点B为圆心、AB的长为半径作弧AC,则弧AC的长为 　.
第7题图

8.如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,-2),C(4,-2),则△ABC外接圆上劣弧AB的长度为 π　(结果保留π).
第8题图
π
9.(2025·武汉)如图,四边形ABCD内接于☉O,=2.若AB=6,
CD=,则☉O的半径是 (A)
第9题图
A. B.
C. D.5
A
10.(2025·云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为 (B)
A.9 cm B.10 cm
C.11 cm D.12 cm
B
11.(2025·安徽联考)如图,边长为4的等边三角形ABC的中心与半径为6的☉O的圆心重合,点D,E分别是BA,AC的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积为 (D)
第11题图
A.12π-4 B.12π-2
C.12π- D.12π-
D
12.(2025·青岛)如图,在扇形AOB中,∠AOB=30°,OA=2,点C在OB上,且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为　 3 -π　(结果保留π).
第12题图
　 3-π
13.如图是平行四边形纸片ABCD,BC=36 cm,∠A=110°,∠BDC=
50°,点M为BC的中点,若以点M为圆心,MC长为半径画弧交对角线BD于点N,则∠NMC=　40°　;将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计),则这个圆锥的底面圆半径为　2　cm.
第13题图
　40°
　2
14.跨学科·地理如图,北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°),东经116°,三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°),东经116°.设地球的半径约为R km,则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为 (C)
第14题图
A.πR km B.πR km
C.πR km D.πR km
C
15.(2025·苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮,共设有28个回转式太空舱全景轿厢,其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离),圆心O到MN的距离为68 m,摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发,10 min后到达点B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即)长度为　4 m
(结果保留π).
第15题图
　40π

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