资源简介

(共13张PPT)
第13讲　二次函数的图象与性质的综合应用
1.已知直线y1=x+b经过点A(1,0),抛物线y2=x2-2ax+4a-6经过点B(2,m),其中a和b为实数.设抛物线y2=x2-2ax+4a-6的顶点为M,过点M作y轴的平行线交直线y1=x+b于点N.
(1)求b和m的值.
解:(1)∵直线y1=x+b经过点A(1,0),
∴0=1+b,解得b=-1.
∵抛物线y2=x2-2ax+4a-6经过点B(2,m),
∴m=22-2a×2+4a-6=-2.
(2)当抛物线顶点M的纵坐标取得最大值时,求线段MN的长.
(2)∵y2=x2-2ax+4a-6=(x-a)2+(-a2+4a-6),
∴顶点M的坐标为(a,-a2+4a-6).
∵-a2+4a-6=-(a-2)2-2,
∴当a=2时,顶点M的纵坐标取得最大值-2,此时点M的坐标为(2,-2).
由(1),得直线y1的函数解析式为y1=x-1,
当x=2时,y1=2-1=1,∴点N的坐标为(2,1),
∴MN=1-(-2)=3.
(3)求线段MN长的最小值.
(3)∵过点M(a,-a2+4a-6)作y轴的平行线交直线y1=x-1于点N,
∴当x=a时,y1=a-1,点N的坐标为(a,a-1),
∴MN=
==,
∴线段MN长的最小值为.
解得
2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-2交x轴于点A,B,交y轴于点C,且OA=2OC=8OB,点P是第三象限内抛物线上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式.
第2题图
解:(1)在抛物线y=ax2+bx-2中,令x=0,则y=-2,
∴点C的坐标为(0,-2),∴OC=2.
∵OA=2OC=8OB,∴OA=4,OB=,
∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为.
把点A,B的坐标代入y=ax2+bx-2,得
∴此抛物线的解析式为y=x2+x-2.
(2)若PC∥AB,求点P的坐标.
(2)∵PC∥AB,点C的坐标为(0,-2),
∴点P的纵坐标为-2.
令y=-2,则x2+x-2=-2,解得x1=-,x2=0,
∴点P的坐标为.
第2题图
(3)连接AC,AP,PC,求△APC面积的最大值及此时点P的坐标.
第2题图
(3)设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A,C的坐标代入,得
解得
∴直线AC的解析式为y=-x-2.
如图,过点P作PD∥y轴,交AC于点D.
设点P ,则点D,
∴PD=-x-2-=-x2-4x.
∵OA=4,∴S△APC=PD·OA=(-x2-4x)×4=-2x2-8x=-2(x+2)2+8,
∴当x=-2时,S△APC有最大值,最大值为8.
此时x2+x-2=(-2)2+×(-2)-2=-5,
即此时点P的坐标为(-2,-5).
3.在平面直角坐标系中,已知抛物线y1=ax2+bx+3与直线y2=x+1.
(1)抛物线y1=ax2+bx+3与直线y2=x+1两个交点的横坐标分别为-1和2,求该抛物线的解析式.
解:(1)由题意可知,抛物线y1=ax2+bx+3与直线y2=x+1两个交点的横坐标分别为-1和2,
∴把x=-1,x=2分别代入y2=x+1,得y=0,y=3,
∴两个交点坐标为(-1,0),(2,3),
代入y1=ax2+bx+3,得
解得
故y1=-x2+2x+3.
(2)设y=y1-y2,当x=m时,y=M;当x=n时,y=N.已知m+n=1(m≠n)时,M=N.
①求a+b的值;
(2)①∵y=y1-y2,且y1=ax2+bx+3,y2=x+1,
∴y=y1-y2=ax2+bx+3-(x+1)=ax2+(b-1)x+2.
∵当m+n=1(m≠n)时,M=N,∴y的对称轴是直线x==,
∴-=,∴a+b=1.
②当x=n-m时,y=N+1,求a的取值范围.
②∵a+b=1,∴b=-a+1,
∴y=ax2+(b-1)x+2=ax2+(-a+1-1)x+2=ax2-ax+2=a-+2.
代入(m,M),得M=a-+2.
∵m+n=1,∴n=1-m,∴x=n-m=1-2m.
代入(1-2m,N+1),得N+1=a-+2,
两式相减,得M-(N+1)=a-+2-,
化简得a==,
故a≤-12或a>0.
∴抛物线的顶点纵坐标为+k+1.
4.如图1,抛物线y=-x2+kx+k+1与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的顶点纵坐标的最小值.
第4题图
解:(1)∵y=-x2+kx+k+1=-++k+1,
∵+k+1=,k≥1,
∴当k=1时,+k+1的值最小,最小值为,
∴抛物线的顶点纵坐标的最小值是.
(2)若k=2,点P为抛物线上一点,且在A,B两点之间运动.
①是否存在点Р使得S△PAB= 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
第4题图
(2)当k=2时,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
①如图1,连接PA,PB.
设点P的坐标为.
∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于点A,B,
∴令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴点A的坐标为,点B的坐标为,∴AB=4.
∵S△PAB=×4×=,
∴-a2+2a+3=,解得a1=,a2=,
∴存在点Р使得S△PAB=,点P的坐标为或.
②如图2,连接AP,BC相交于点M,当S△PMB-S△AMC的值最大时,求直线BP的解析式.
②由图2可知,当S△PMB-S△AMC的值最大时,
(S△PMB+S△AMB)-的值最大,
即S△APB-S△ACB的值最大.
∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴相交于点C,
∴点C的坐标为,OC=3.
由①可知,AB=4,∴S△ACB=×4×3=6.
结合函数的图象,当点P为抛物线的顶点时,S△APB的值最大,S△APB-S△ACB的值也就最大,
∴点P的坐标为.
设直线BP的解析式为y=qx+(a≠0).
∵直线BP的图象经过点P,B,
∴把点P,B的坐标代入解析式,得解得
∴直线BP的解析式为y=-2x+6.
第4题图(共24张PPT)
第10讲　一次函数及其应用
1.点(3,-5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则k的值为 (D)
A.-15 B.15
C.- D.-
D
2.下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是 (D)
A.y=2x+1 B.y=x-4
C.y=2x D.y=-x+1
D
3.一次函数y=-x+1的图象不经过 (C)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
4.关于一次函数y=x+1,下列说法中正确的是 (B)
A.图象经过第一、三、四象限
B.图象与y轴交于点(0,1)
C.函数值y随自变量x的增大而减小
D.当x>-1时,y<0
B
5.若直线y=ax+b(a≠0)经过点A(0,1),B(2,0),则关于x的方程ax+b=0的解是 (C)
A.x=0 B.x=1
C.x=2 D.x=3
C
6.若一次函数y=2x+1的图象经过点(-3,y1),(4,y2),则y1与y2的大小关系是 (A)
A.y1y2
C.y1≤y2 D.y1≥y2
A
7.(2025·扬州)已知m2 025+2 025m=2 025,则一次函数y=(1-m)x+m的图象不经过 (D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
8.在同一平面直角坐标系中,直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P(3,n),则关于x,y的方程组的解为 (C)
A. B.
C. D.
C
9.(2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家测得一定温度下声音传播的速度v(单位:m/s)与温度t(单位:℃)部分对应数值如下表:
研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数,且a≠0).当温度t为15 ℃时,声音传播的速度v为 (B)
A.333 m/s B.339 m/s
C.341 m/s D.342 m/s
温度t/℃ -10 0 10 30
声音传播的 速度v/(m/s) 324 330 336 348
B
10.甲、乙两人各给出某函数的一个特征,甲:“函数值y随自变量x的增大而减小”;乙:“函数图象经过点(0,2)”.请你写出一个同时满足这两个特征的函数解析式:　y=-x+2(答案不唯一) .
　y=-x+2(答案不唯一)
11.如图,直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1,2).当y1第11题图
　x<1
12.如图,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解有 (A)
A.1个 B.2个
C.3个 　 D.无数个
A
第12题图
13.甲、乙两地相距a km,小亮8:00乘慢车从甲地去乙地,10 min后小莹乘快车从乙地赶往甲地.两人分别距甲地的距离y(单位:km)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数图象如图所示,则小亮与小莹相遇的时刻为 (A)
A.8:28 B.8:30 C.8:32 D.8:35
A
第13题图
14.(2025·广州)如图,在平面直角坐标系中,点A(-3,1),B(-1,1),若将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点,则d的取值范围是 (D)
A.-3≤d≤-1 B.1≤d≤3
C.-4≤d≤-2 D.2≤d≤4
D
第14题图
15.(2025·南充)已知直线y=m(x+1)(m≠0)与直线y=n(x-2)(n≠0)的交点在y轴上,则+的值是　- 　.
　-
16.(2025·芜湖一模)如图,已知直线l1:y1=-2x-3,直线l2:y2=x+3,l1与l2相交于点P,l1,l2分别与y轴相交于点A,B.
(1)求点P的坐标.
第16题图
解:(1)根据题意,得解得
∴点P的坐标为(-2,1).
(2)若y1>y2>0,求x的取值范围.
(2)在直线l2:y2=x+3中,令y2=0,解得x=-3,
由图象可知,若y1>y2>0,
则x的取值范围是-3第16题图
(3)点D(m,0)为x轴上的一个动点,过点D作x轴的垂线分别交l1和l2于点E,F,当EF=3时,求m的值.
第16题图
(3)由题意可知,E(m,-2m-3),F(m,m+3).
∵EF=3,
∴|-2m-3-m-3|=3,
解得m=-3或m=-1.
17.某商店为了抓住某次活动的商机,决定购进一些纪念品进行销售,若购进A种纪念品20件,B种纪念品10件,需要2 000元;若购进A种纪念品8件,B种纪念品6件,需要1 100元.
(1)购进A,B两种纪念品每件各需多少元
解:(1)设购进A种纪念品每件价格为x元,B种纪念品每件价格为
y元.
根据题意,得解得
答:购进A种纪念品每件需25元,购进B种纪念品每件需150元.
(2)若每件A种纪念品的售价为60元,每件B种纪念品的售价为180元.考虑到市场需求,商店决定购进这两种纪念品共300件,要求购进B种纪念品的数量不少于30件,设购进B种纪念品m件,总利润为w元,请写出总利润w(单位:元)与m(单位:件)的函数解析式,并根据函数解析式说明利润最高时的进货方案.
(2)根据题意,得解得30≤m≤300.
根据题意,得w=(60-25)(300-m)+(180-150)m=-5m+10 500.
∵-5<0,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=30时,w有最大值,w=-5×30+10 500=10 350,300-30=270(件),
故购进A种纪念品270件,购进B种纪念品30件时利润最高,利润最高为10 350元.
18.(2025·北京)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5).
(1)求k,b的值.
解:(1)∵在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5),
∴解得
(2)当x<1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=kx+b的值,又小于函数y=x+k的值,直接写出m的取值范围.
(2)由(1)可得函数y=kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1,函数y=x+k的解析式为y=x+2.
当mx<2x+1时,(m-2)x<1,
当mx∵当x<1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=kx+b的值,又小于函数y=x+k的值,
∴m-2≥0,且m-1≥0,
∴m≥2.
当m=2,x<1时,2x<2x+1和x<2恒成立,故m=2符合题意;
当m>2时,x<且x<,
当≥时,≥1.
解不等式≥,得m≤3,解不等式≥1,得m≤3,
∴2当<时,≥1,
解不等式<,得m>3,解不等式≥1,得m≤3,
此时不符合题意.
综上所述,2≤m≤3.(共30张PPT)
第12讲　二次函数的图象与性质
第1课时　二次函数的图象与性质(1)
1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点 (A)
A.(2,4) B.(-2,-4)
C.(-4,2) D.(4,-2)
A
2.关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法中正确的是　 (D)
A.该函数图象的开口向下
B.该函数图象的顶点坐标是(-1,5)
C.该函数有最大值,最大值是5
D.当x>1时,y随x的增大而增大
D
3.(2025·福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上,若3A.1C.1A
4.(2025·安庆二模)若二次函数y=mx2-(m2-3m)x+1-m的图象关于y轴对称,则m的值为 (B)
A.0 B.3
C.1 D.0或3
B
5.要得到函数y=-(x-2)2+3的图象,可以将函数y=-(x-3)2的图象 (C)
A.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
B.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
D.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
C
6.二次函数的图象与x轴的交点坐标为(3,0),(1,0),与y轴的交点坐标为(0,6),则二次函数的解析式为　y=2x2-8x+6　.
　y=2x2-8x+6
7.(2025·广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点,则该二次函数的解析式可以是　y=-x2+x+2　.(写出一个即可)
　y=-x2+x+2
8.(2025·连云港)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,求a的取值范围.
解:(1)∵二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中,1>0,
∴二次函数的图象开口向上.
∵二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,
∴函数的最小值小于2a2,
则=2a2-4a+2,
即2a2-4a+2<2a2,解得a>.
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点,求a的值,
(2)∵二次函数的图象与x轴有交点,
∴Δ=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8=-8(a-1)2≥0,
∴8(a-1)2≤0.
又∵8(a-1)2≥0,
∴8(a-1)2=0,解得a=1,
(3)求证:该二次函数的图象不经过原点.
(3)证明:∵当x=0时,y=3a2-2a+3=3+>0,
∴二次函数的图象不经过原点.
9.已知实数a,b满足b-a=1,则代数式a2+2b-6a+7的最小值为 (A)
A.5 B.4
C.3 D.2
A
10.(2025·南通)在平面直角坐标系xOy中,五个点的坐标分别为
A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若抛物线y=a(x-2)2+k(a>0)经过上述五个点中的三个点,则满足题意的a的值不可能为 (C)
A. B.
C. D.
C
11.(2025·广州)若抛物线y=x2-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上,则m的值为　1或-　.
　1或-
12.已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).
(1)求b,c的值.
(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值.
解:(1)把点(0,-3),(-6,-3)代入y=-x2+bx+c,
得b=-6,c=-3.
(2)∵y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6,-4≤x≤0,
∴当x=-3时,y有最大值,为6.
(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.
(3)①当-3当x=m时,y有最大值,为-m2-6m-3,
∴-m2-6m-3+(-3)=2,
∴m=-2或m=-4(舍去).
②当m≤-3时,当x=-3时,y有最大值,为6,
∵y的最大值与最小值之和为2,
∴y的最小值为-4,
∴-(m+3)2+6=-4,
解得m=-3-或m=-3+(舍去).
综上所述,m=-2或-3-.
13.(2025·浙江)已知抛物线y=x2-ax+5(a为常数)经过点(1,0).
(1)求a的值.
解:(1)把(1,0)代入y=x2-ax+5,
得1-a+5=0,解得a=6.
解:(1)把(1,0)代入y=x2-ax+5,
得1-a+5=0,解得a=6.
(2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点,且点B为线段AC的中点,求t的值.
(2)由(1)知y=x2-6x+5,
∴对称轴为直线x=-=3.
∵点A(0,t)在y轴上,过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点,
∴点B,C关于对称轴对称,点B,C的纵坐标均为t.
又∵点B为线段AC的中点,∴xC=2xB,
∴=xB=3,∴xB=2.
把x=2代入y=x2-6x+5,
得y=22-6×2+5=-3,∴t=-3.
(3)∵y=x2-6x+5=(x-3)2-4,
∴抛物线的顶点坐标为(3,-4).
(3)设m<3当抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1,l2之间时,m,n为直线与抛物线的交点的横坐标,∴要使n-m最大,则m,n为一条直线与抛物线的交点的横坐标,x=m和x=n关于对称轴对称.
又∵直线l1,l2之间的距离为16,为定值,
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3,-4),
即y=-4时,n-m最大,
此时另一条直线的解析式为y=16-4=12,
如图:
∴当x2-6x+5=12时,解得x1=7,x2=-1,即n=7,m=-1,∴n-m的最大值为7-(-1)=8.
14.(2025·资阳)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴相交于点A(0,2),且抛物线的对称轴为直线x=-1.给出以下4个结论:①abc<0;②对于任意实数m,am2+bm+c+
a的值不小于2;③若点P是对称轴上的一点,则OP+AP的最小值为2;④若点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,满足x10,则一定有y1第14题图
　②③④
第2课时　二次函数的图象与性质(2)
1.如图,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法中正确的是 (C)
第1题图
A.b恒大于0 B.a,b同号
C.a,b异号 D.以上说法都不对
C
2.(2025·达州)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),点B(3,0).下列结论:①abc<0;②4a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c>0.其中正确的结论有 (D)
第2题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
3.(2025·凉山州)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,其对称轴为直线x=2,且图象经过点(6,0),则下列结论错误的是 (D)
第3题图
A.bc>0
B.4a+b=0
C.若+bx1=+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4
D.若(-1,y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c上,则y2D
4.(2025·绥化)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0),B(-1,0),与y轴交于点C(0,m),其中-40;②方程ax2+bx+c-5=0没有实数根;③-0.其中错误的结论有 (A)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
A
第4题图
　　
5.在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.下列结论:①abc>0;②2a-b=0;③9a+3b+c>0;④b2>4ac;
⑤a+cA.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
第5题图
6.如图,已知抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=-1,直线l∥x轴,且交抛物线于点P(x1,y1),Q(x2,y2),下列结论中错误的是 (C)
第6题图
A.b2>-8a
B.若实数m≠-1,则a-bC.3a-2>0
D.当y>-2时,x1·x2<0
C
7.(2025·广元)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
其中0y1;③关于x的方程|ax2+bx+c|+1-s=0有两个不相等的实数根;
④-A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
x … 0 1 2 3 4 …
y … m -4 n -4 s …
C
8.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a-b+c,则m的取值范围是　-4第8题图
　-49.在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为(-1,-1),(4,-1),抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是　m=3或- 1　m=3或-110.新考法定义:在平面直角坐标系中,我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.
(1)抛物线y=x2-2x-与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)整点有　4　个.
(2)若抛物线y=ax2-4ax+4a-3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”,则a的取值范围是 ≤a <　.
　4　
≤a<(共15张PPT)
第14讲　二次函数的实际应用
1.共享单车为市民的出行带来了方便.某共享单车公司第一个月投放a辆单车,计划第三个月投放y辆单车.若第二个月的增长率是x,第三个月的增长率是第二个月的两倍,则y与x的函数关系式是 (A)
A.y=a(1+x)(1+2x) B.y=a(1+x)2
C.y=2a(1+x)2 D.y=2x2+a
A
2.(2025·连云港)如图,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线y=a(x-3)2+
2.5运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m,则铅球掷出的水平距离OB为　8　m.
第2题图
　8
3.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽6 m.水面下降 　m,水面宽8 m.
第3题图

4.(人教九上习题改编)如图,某农场拟建造由甲,乙两个矩形组成的羊圈,饲养室的一面靠15 m长的墙AB,其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分.已知提前准备的建筑材料可以建造总长为24 m的栅栏,则该羊圈的最大面积是　48　m2.
第4题图
　48
5.某超市以每件13元的价格购进一种商品,销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元.经过市场调查发现,该商品每天的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的函数解析式.
第5题图
解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
由所给函数图象可知,
解得
故y与x的函数解析式为y=-20x+500.
(2)销售单价定为多少时,该超市每天销售这种商品所获得的利润最大 最大利润是多少
(2)设每天销售这种商品所获的利润为w元.
∵y=-20x+500,
∴w=(x-13)y=(x-13)(-20x+500)=-20x2+760x-6 500=-20(x-19)2+720.
∵-20<0,
∴当x<19时,w随x的增大而增大.
∵13≤x≤18,
∴当x=18时,w有最大值,最大值为700,
∴销售单价定为18元时,每天的利润最大,最大利润为700元.
6.(2025·浙江)为了实时规划路径,卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1,点P是一个固定观测点,运动点Q从A处出发,沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位:km)
(0≤x≤n),PQ2为y(单位:km2).如图2,y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点.下列选项正确的是 (D)
第6题图
A.m=12
D
B.n=24
C.点C的纵坐标为240
D.点(15,85)在该函数图象上
7.(2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈抛物线型,水平横梁AC=16 m,L1的最高点B到AC的距离BO=4 m,L2,L3关于BO所在直线对称.MN,MP,NQ为框架,点M,N在L1上,点P,Q分别在L2,L3上,MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥
AC.以点O为原点,以AC所在直线为x轴,以BO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线L1的函数解析式.
第7题图
解:(1)∵BO=4 m,
∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4),
设抛物线L1的函数解析式为y=a(x-0)2+4=ax2+4.
由AC=16 m,结合二次函数的对称性,得点A(-8,0),C(8,0).
将C(8,0)代入y=ax2+4,得0=64a+4,
解得a=-,∴y=-x2+4.
(2)已知抛物线L3的函数解析式为y=-(x-4)2,NQ= m,求MN的长.
(2)由(1),得抛物线L1的函数解析式y=-x2+4.
∵MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC,NQ= m,
且抛物线L3的函数解析式为y=-(x-4)2,
∴|NQ|=yN-yQ=-x2+4-=,
整理,得x2-3(x-4)2=24,∴x2-3x2+24x-48=24,
∴x2-12x+36=(x-6)2=0,解得x1=x2=6,
∴MN=2×6=12(m).
8.核心素养·模型观念综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数.
条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30 min开始进行安检,经研究发现,现场总人数y与安检时间x之间满足函数解析式:y=-x2+60x+100(0≤x≤
30).
结合上述信息,请完成下述问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检开始x min时,已入场人数为　　　,排队人数w与安检时间x的函数解析式为　　　　.
解:(1)若开设3条安检通道,安检时间为x min,则已入场人数为(用x表示)18x,若排队人数为w,则w与x的函数解析式为w=y-18x=-x2+42x+100,
故答案为18x,w=-x2+42x+100.
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大值为多少
(2)w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541,
∴当x=21时,Wmax=541.
答:排队人数在第21 min达到最大值,最大值为541.
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10 min内(包含10 min)减少;
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开设几条安检通道 请说明理由.
(3)设开了m条通道,则w=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100,
∴对称轴为直线x=3(10-m).
∵排队人数10 min(包括10 min)内减少,
∴0≤3(10-m)≤10,即≤m≤10.
又∵最多开通9条,∴≤m≤9.
∵m为正整数,∴m的最小值为7,
∴最少开7条通道.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.(共16张PPT)
第11讲　反比例函数及其应用
1.若点A是反比例函数y=(k≠0)图象上一点,则常数k的值为 (A)
A.3 B.-3
C. D.-
A
2.跨学科·物理(2025·长春)在功W(单位:J)一定的条件下,功率P(单位:W)与做功时间t(单位:s)成反比例,P与t之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时,P的值可以为 (C)
第2题图
A.24 B.27
C.45 D.50
C
3.关于反比例函数y=,下列结论中正确的是 (C)
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小
D.图象经过点(a,a+2),则a=1
C
4.若点A(x1,2),B(x2,-1),C(x3,4)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 (B)
A.x1C.x1B
5.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=(其中a,b是常数,ab≠0)的图象大致是 (A)
　　 A　 　B　 　C　 　 D
A
6.反比例函数y=的图象分布情况如图所示,则k的值可以是　1(答案不唯一)　.(写出一个符合条件的k值即可)
第6题图
　1(答案不唯一)
7.如图,点A,B是双曲线y=(x>0)上的两点,连接OA,OB.过点A作AC⊥x轴于点C,交OB于点D.若点D为AC的中点,△AOD的面积为3,点B的坐标为(m,2),则m的值为　6　.
　6
第7题图
8.如图,点A在第一象限内,AB⊥x轴于点B,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象分别交AO,AB于点C,D.已知点C的坐标为(2,2),BD=1.
(1)求k的值及点D的坐标.
第8题图
∴2=,解得k=4.
∵BD=1,∴点D的纵坐标为1.
∵点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴1=,解得x=4,即点D的坐标为(4,1).
解:(1)∵点C(2,2)在反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象上,
(2)已知点P在该反比例函数图象上,且在△ABO的内部(包括边界),直接写出点P的横坐标x的取值范围.
第8题图
(2)∵点C(2,2),点D(4,1),点P在该反比例函数图象
上,且在△ABO的内部(包括边界),
∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4.
9.如图,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(2,0),B(,1),△OA'B与△OAB关于直线OB对称,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象与A'B交于点C.若A'C=BC,则k的值为
(A)
A.2 B.
C. D.
第9题图
A
　　
10.如图,已知在Rt△ABO中,AO=1,将△ABO绕点O旋转至△A'B'O的位置,且点A'是边OB的中点,点B'在反比例函数y=的图象上,则k的值是 　.

第10题图
11.(2025·滁州三模)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(-3,0),反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B与点D,点B的纵坐标为3.
第11题图
(1)k的值为　-6　.
(2)点E为该反比例函数图象上的一点,若△AOE的面积等于正方形ABCD的面积,则点E的坐标为 或 　.
　-6
或
12.(2025·芜湖一模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3,4),B(a,-2)两点,与x轴交于点C.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式.
第12题图
解:(1)将A(3,4)代入y2=(m≠0),得m=3×4=12,
∴反比例函数的解析式为y2=.将点B(a,-2)代入y2=,得a=-6,
∴点B(-6,-2).
把A(3,4),B(-6,-2)代入y1=kx+b,
得解得
∴一次函数的解析式为y1=x+2.
(2)若在第三象限的反比例函数图象上存在一点P,使得△POC的面积等于18,求点P的坐标.
第12题图
(2)一次函数的解析式为y1=x+2,
令y=0,则x+2=0,解得x=-3,
∴点C的坐标为(-3,0).
∵点P在反比例函数y2=的图象上,
∴设点P的坐标为.
∵S△POC=18,∴×|-3|×=18,
解得n=-1或n=1.
又∵点P在第三象限,∴点P的坐标为(-1,-12).
13.(2025·合肥一模)如图,直线y1=k1x+2与反比例函数y2=(x<0)的图象交于点C,点C的纵坐标为4,与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点M,点B为直线y1=k1x+2上一点,横坐标为-5,过点B作BD⊥x轴于点D,交反比例函数y2=的图象于点H,点G为反比例函数y2=图象上一动点,过点G作GE⊥BD于点E,作GF∥AB交y轴于点F.
第13题图
(1)k2=　-8　.
(2)若点G在点C,H之间(不与点C,H重合)运动,
当△EFG面积取得最大值时,GE的长为 　.
　-8
(共9张PPT)
题型专题　分析判断函数图象
类型一　分析实际问题判断函数图象
1.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,吴老师家到公园、公园到学校的距离分别为400 m,600 m.吴老师从家出发匀速步行8 min到公园后,停留4 min,然后匀速步行6 min到学校.设吴老师离公园的距离为y(单位:m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的是 (C)
A 　　　B
C
C 　 　　D
2.已知A,B两地相距120 km,甲骑自行车以20 km/h 的速度由A地前往B地,乙骑摩托车以40 km/h的速度由B地前往A地.甲、乙同时出发,各自到达终点后停止.设甲、乙之间的距离为s(单位:km),甲行驶的时间为t(单位:h).下列能正确反映s与t之间的函数关系的图象是 (B)
A　　　　　B
C　　　　　D
B
类型二　分析几何动态问题判断函数图象
3.如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,AB=4,点E,F分别是边AB,CD的中点,动点P从点E出发,按逆时针方向,沿EB,BC,CF匀速运动到点F停止.设△PAD的面积为S,动点P运动的路径总长为x,能表示S与x函数关系的图象大致是 (D)
第3题图
A B C D
D
4.如图,点A,B,C在☉O上,且AB经过点O,AB=13,BC=5,动点D在AB上,过点D作DE⊥AB,交折线A-C-B于点E.设AD=x,△ADE的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是　 (D)
第4题图
A 　 　B　 　C　 　D
D
5.(2025·齐齐哈尔)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动,运动到点C时停止,过点E作AD的垂线l,在点E运动过程中,垂线l扫过菱形(即阴影部分)的面积为y,点E运动的路程为x(x>0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是 (A)
第5题图
A B C D
A
6.如图1,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点Q是边BC的中点,点P为边AB上的一个动点.设AP=x,PQ=y,若表示y与x的函数关系的图象如图2所示,则下列结论中正确的是 (A)
图1　　　 图2
第6题图
A.菱形ABCD的面积是8
B.点Q到边AB的距离是2
C.BQ的长是
A
D.当x=2时,BP>BQ
类型三　分析函数图象判断结论正误
7.如图1,在△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A→C→B运动,点Q从点A出发以a(单位:cm/s)的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停止运动.设运动时间为x(单位:s),△APQ的面积为y(单位:cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示.下列结论中错误的是 (C)
第7题图
A.a=1
C
B.sin B=
C.△APQ面积的最大值为2
D.图2中图象C2段的函数解析式为y=-x2+x
8.(2025·广元)如图1,有一水平放置的正方形EFGH,点D为FG的中点,等腰三角形ABC满足顶点A,B在同一水平线上且CA=CB,点B与HE的中点重合.等腰三角形ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动,当点B运动到点D时停止运动.在这个运动过程中,等腰三角形ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t(单位:s)之间的对应关系如图2所示,下列说法错误的是 (D)
第8题图
D
A.AB=4
B.∠ACB=90°
C.当0≤t≤2时,y=t2
D.△EFD的周长为9+5(共10张PPT)
第9讲　平面直角坐标系与函数
1.水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断中正确的是 (C)
A.2是变量 B.π是变量
C.r是变量 D.C是常量
C
2.在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于 (B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
3.(2025·蚌埠模拟)如图,线段MN的端点M,N的坐标分别为(3,9),(12,9),BN⊥MN,AB∥MN,且AB=BN=MN,则点A的坐标为 (C)
A.(15,4) B.(16,4)
C.(15,3) D.(12,3)
第3题图
C
4.(2025·武汉)“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器,在它内部盛一定量的水,水从壶下的小孔漏出,壶内壁有刻度,人们根据壶中水面的位置计算时间.壶中水面高度y(单位:cm)随漏水时间t(单位:h)的变化规律如图所示(不考虑水量变化对压力的影响),则水面高度从48 cm变化到42 cm所用的时间是 (A)
A.3 h B.4 h
C.6 h D.12 h
第4题图
A
5.一个学习小组利用同一块木板,测量了小车从不同高度下滑的时间,他们得到数据如下表:
下列说法中正确的是 (D)
A.当h=70 cm时,t=1.50 s
B.h每增加10 cm,t减小1.23 s
C.随着h逐渐变大,t也逐渐变大
D.随着h逐渐升高,小车下滑的平均速度逐渐加快
支撑物的 高度h/cm 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑 的时间t/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
D
6.在平面直角坐标系中,第二象限内有一点M,点M到x轴的距离为5,到y轴的距离为4,则点M的坐标是　(-4,5)　.
　(-4,5)
7.在平面直角坐标系中,若点P(1-m,5-2m)在第二象限,则整数m=　 2 　.
　 2
8.新考法画一条水平数轴,以原点O为圆心,过数轴上的每一刻度点画同心圆,过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°,60°,90°,120°,…,330°的射线,这样就建立了“圆”坐标系.如图,在建立的“圆”坐标系内,我们可以将点A,B,C的坐标分别表示为A(6,60°),B(5,180°),C(4,330°),则点D的坐标可以表示为　(3,150°)　.
第8题图
　(3,150°)
9.跨学科·生物学数学是一门可融入日常生活的学科,在研究其他领域中,可以用已知的数学知识对自己的猜想进行验证.某生物研究小组在研究“温度对生菜成熟叶片光合速率和呼吸速率的影响”实验中,得到了一份实验数据,如图所示.不测量长度,结合所学的几何方面的知识,可判断出曲线图中当光合作用相对速率与呼吸作用相对速率差值最大时,处理温度是 (B)
A.T3 B.T4
C.T5 D.T7
B
第9题图(共7张PPT)
题型专题　函数图象与系数的关系
1.如图,函数y=ax2-a2x与y=ax-a2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象不可能是 (B)
A　 B　 C　 D
B
2.二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)与一次函数y=ax+1(a≠0)在同一直角坐标系中的图象大致是 (A)
A
A B C D
3.(2025·金安区校级四模)函数y1,y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则在该平面直角坐标系中,函数y=y1+y2的图象可能是 (B)
第3题图
B
A B C D
4.已知二次函数y=ax2+(b-2)x+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c与正比例函数y=2x在同一平面直角坐标系中的图象大致为 (B)
A B C D
B
第4题图
5.若一次函数y=ax+b与反比例函数y=-的图象在第二象限内有两个交点,且其中一个交点的横坐标为-1,则二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (A)
A B C D
A
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,下列结论:①2a-4b+c<0;②b>2a;③方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c≥0.其中正确的是 (C)
第6题图
A.①②③ B.①④
C.①③ D.①③④
C

展开更多......

收起↑