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(共17张PPT)
第20讲　解直角三角形及其应用
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AB=10,则BC的长为 (D)
A.3 B.4
C.6 D.8
D
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=, 则cos A的值为 (B)
A. B.
C. D.
B
3.(2025·自贡)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E,F在坐标轴上.若∠A=90°,tan B=,A(-4,3),则点G的坐标为 (B)
A.(11,-4) B.(10,-3) C.(12,-3) D.(9,-4)
第3题图
B
　　
第4题图
4.新情境如图,钓鱼竿AC的长为6 m,露在水面上的鱼线BC的长为3 m,钓者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC按逆时针方向转动15°到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长是 (B)
A.3 m B.3 m
C.2 m D.4 m
B
5.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴,y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是 (C)
第5题图
A. B.
C. D.3
C
6.(2025·辽宁)如图,为了测量树AB的高度,在水平地面上取一点C,在C处测得∠ACB=51°,BC=6 m,则树AB的高约为　7.4　m(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 51°≈0.78,cos 51°≈0.63,tan 51°≈
1.23).
第6题图
　7.4
7.核心素养·几何直观如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400 m的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所之间的距离OB约是　566　m.(结果精确到1 m,参考数据:≈1.414,≈
1.732)
　　
第7题图
　566
∴CD=AD·tan 30°=(x+30).
8.(2025·达州)为了让莲花湖湿地公园的天更蓝,水更清,莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾.已知无人机悬停在湖面上的C处,工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°,工作人员沿正前方向划行30 m到达B处,测得无人机的仰角为45°,求无人机离湖面的高度.(结果不取近似值)
第8题图
解:过点C作CD⊥AB,垂足为D.设BD=x.
∵AB=30,
∴AD=AB+BD=(x+30).
在Rt△ACD中,∠CAD=30°,
在Rt△BCD中,∠CBD=45°,
∴CD=BD·tan 45°=x,
∴x=(x+30),
解得x=15+15,
∴CD=(15+15)m,
∴无人机离湖面的高度为(15+15)m.
9.第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示,会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH=1∶3,则sin∠ABE= (C)
A. B. C. D.
C
第9题图
10.(2025·南通)如图,网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线,把网格图分成了两个部分,其中△BMN的面积为3,则sin∠MNB的值为 　.

第10题图
11.(2025·广元)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,O是AC的中点,BO=2DO.已知AB=4,AD=2,tan∠ACD=,则AC= 　.
第11题图

12.核心素养·抽象能力材料阅读:
问题解答:
如图,矩形ABCD为盛满水的水槽,一束光线从点P射向水面上的点O,折射后照到水槽底部的点Q,测得∠NOQ=37°,NQ=12 cm.若P,O,C三点在同一条直线上,请依据相关材料求CQ的长.
光从空气进入水中时,传播方向发生了偏折,这种现象叫作光的折射.我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率(n),即n=,已知光线从空气进入水中时的折射率为.
第12题图
解:在Rt△ONQ中,∠NOQ=37°,NQ=12 cm,
∴ON=≈12×=16(cm).
由题意,得=,
∴sin∠POM=×sin 37°≈×=.
∵∠POM=∠CON,
∴sin∠POM=sin∠CON=.
在Rt△CON中,sin∠CON==,
∴设CN=4x,则OC=5x,
∴ON===3x,
∴3x=16,解得x=,
∴CN=4x= cm,
∴CQ=CN-NQ=-12=≈9.3(cm),
答:CQ的长约为9.3 cm.
13.核心素养·创新观念七巧板又称七巧图、智慧板,是我国民间广为流传的一种智力玩具,也被誉为“东方魔方”,它是由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成的.如图1是一个正方形纸板做成的七巧板.图2是由图1拼成的平行四边形ABCD,连接BD,则tan∠ABD= 　.
第13题图
(共11张PPT)
微专题　利用两个基本事实求线段最值
考向一　利用垂线段最短求最值
1.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8.若点P是对角线AC上一动点,则AP+BP+CP的最小值是 (A)
A.14.8 B.15 C.15.2 D.16
第1题图
A
　　
第2题图
2.如图,在△ABC中,AB=2,AC=,BC=.点P为边BC上一动点,过点P分别作PD⊥AB于点D,点F为AP的中点,连接DF,则线段DF的最小值为 (C)
A. B.
C. D.
C
3.如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,AB=2,BC=4,点E是直线BC上一点,点F是直线CD上一点,连接AF,AE,EF,点M,N分别是AF,EF的中点,连接MN,则MN的最小值是 (C)
A.1 B.-1 C. D.2-
第3题图
C
第4题图
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点P为边BC上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为 (C)
A.3 B.2.5
C.2.4 D.2
C
5.如图,已知线段AB=2,点C是线段AB上一动点,△DAC和△ECB都是等边三角形,点M是CD的中点,点N是BE的中点,则线段MN的最小值为 (D)
A. B. C.2 D.
第5题图
D
　　
第6题图
6.(2025·淮北一模)如图,在△ABC中,AB=6,BC=8,∠ABC=90°,点D是边BC上一动点,以AD为腰作等腰三角形ADE,使AE=AD,
∠DAE=∠BAC,连接BE,则BE的最小值为 (C)
A.2 B.
C. D.3
C
7.(2025·蜀山区三模)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=30°,
AC=4,点D为边AB上一动点(不与点A重合),△AED为等边三角形,过点D作DE的垂线,点F为垂线上任意一点,连接EF,点G为EF的中点,连接BG,则BG的最小值是 (A)
A.4 B.2 C.3 D.4
第7题图
A
8.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,
BD=6,点P是AC上一动点,点E是AB的中点,则PD+PE的最小值为 (A)
A.3 B.6
C.3 D.6
A
第8题图
考向二　利用两点之间线段最短求最值
9.如图,在△ABC中,AC=BC,AB=6,△ABC的面积为12,CD⊥AB于点D,直线EF垂直平分BC交AB于点E,交BC于点F,点P是线段EF上的一个动点,分别连接BP,PD,则△PBD的周长的最小值是 (B)
A.6 B.7 C.10 D.12
第9题图
B
　　
第10题图
10.如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),B(0,8),点C在y轴正半轴上,点D在x轴正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E,F,则线段EF的最大值为 (B)
A.3.6 B.4.8 C.3 D.3
B(共11张PPT)
第16讲　三角形及其性质
1.下列图形中有稳定性的是 (A)
A.三角形 B.平行四边形
C.长方形 D.正方形
A
2.若长度是4,6,a的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是 (B)
A.2 B.5
C.10 D.11
B
3.如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,
∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 (B)
A.65° B.75° C.85° D.95°
第3题图
B
　　
第4题图
4.(2025·南充)如图,把含有60°角的直角三角尺的斜边放在直线l上,则∠α的度数是 (D)
A.120° B.130°
C.140° D.150°
D
5.(2025·芜湖三模)如图,D,E两点分别在△ABC的两边AB,AC上,连接DE,已知∠1+∠2=α,则∠A为 (C)
A.α-90° B.180°-α C.α-180° D.360°-α
第5题图
C
6.(2025·宿松县三模)两个直角三角尺如图摆放,其中∠ACB=
∠EDC=90°,∠A=45°,∠E=30°,点B在DE上.若∠ACE=
2∠BCD,则∠ABE的大小为 (A)
A.75° B.45°
C.60° D.65°
A
第6题图
7.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则S△BEF=　1　cm2.
第7题图
　1
8.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点 E,F,G分别是AB,CD,AC的中点.若∠DAC=10°,∠ACB=66°,则∠FEG的度数是 (D)
A.76° B.56° C.38° D.28°
第8题图
D
9.如图,AD是△ABC的角平分线,点O在角平分线AD上,且OE⊥BC于点E,∠BAC=60°,∠C=80°,则∠EOD的度数是 (A)
A.20° B.30°
C.10° D.15°
A
第9题图
10.(2025·安庆宜秀区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(3,5),(1,1),(4,2).若存在点C,使得直线AP平分△ABC的面积,则(6,5),(6,6),(7,3),(7,4)这四个点中,可作为点C的有 (B)
第10题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B(共16张PPT)
第18讲　全等三角形
1.(2025·山西)如图,小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起,记中点为O,即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间的距离后,利用全等三角形的性质,可得花瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是 (B)
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
第1题图
B
2.如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上,AC∥DF,
AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是 (B)
A.BC=DE B.AE=DB
C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D
B
第2题图
3.(2025·凉山州)如图,AB=AC,AE=AD,点E在BD上,∠EAD=∠BAC,
∠BDC=56°,则∠ABC的度数为 (C)
A.56° B.60° C.62° D.64°
第3题图
C
4.如图,CA=CD,∠ACD=∠BCE,请添加一个条件
　CB=CE(答案不唯一)　,使△ABC≌△DEC.

　CB=CE(答案不唯一)
第4题图
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为BC的中点,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E.若AC=4,CE=5,则CD的长为 　.
第5题图

6.如图,△ABC是等边三角形,点D为AB延长线上一点,AE∥BC,且AE=AD.求证:△ABE≌△ACD.
第6题图
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠CBA.
∵AE∥BC,
∴∠CBA=∠BAE,
∴∠BAC=∠BAE,即∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD.(SAS).
7.如图,在四边形ABCD中,点E是边BC上一点,且BE=CD,∠B=
∠AED=∠C.
(1)求证:∠EAD=∠EDA.
第7题图
解:(1)证明:∵∠B=∠AED=∠C,
∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,
∴∠BAE=∠CED.
在△ABE和△ECD中,
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AE=ED,
∴∠EAD=∠EDA.
∴AE=AD=ED=4.
(2)若∠C=60°,DE=4,求△AED的面积.
第7题图
(2)∵∠AED=∠C=60°,AE=ED,
∴△AED为等边三角形,
如图,过点A点作AF⊥ED于点F,
∴EF=ED=2,
∴AF===2,
∴=ED·AF=×4×2=4.
8.如图,已知AB⊥CD,且AB=CD,CE⊥AD于点E,BF⊥AD于点F.若CE=8,BF=6,AD=10,则EF的长是 (A)
A.4 B. C.3 D.
第8题图
A
9.如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,点D是边BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为点E,F,则AE+BF的最大值是 (A)
A. B.2
C.2 D.3
A
第9题图
10.如图,在△ABD中,AB=3,∠BAD=60°,延长BD至点C,使得BC=
2BD,连接AC,在AC上截取AE=AB.若AD=CE,则BC=　 .
第10题图
　2
11.如图1,四边形ABCD是正方形,AB=2,点E是边BC上一点,连接AE,作∠DAE的平分线交CD于点F,连接EF.
(1)如图2,当点E跟点C重合时,求EF的长.
第11题图
解:(1)如图,过点F作FG⊥AC于点G.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ACD=45°,∠D=90°,CD=AB=2.
∵AF平分∠DAE,FG⊥AC,∠D=90°,
∴FG=FD,
∴EF=FG=FD.
设FD=x,EF=x,
∴CD=DF+EF,即x+x=2,解得x=2-2,
∴EF=(2-2)=4-2.
(2)当点E在BC上运动时:
①当点F为边DC的中点时,求证:AF⊥EF;
(2)①如图1,
由(1)和题意可得FC=FD=FG,
第11题图
∵∠D=∠C=∠FGA=∠FGE=90°,
AF=AF,EF=EF,
∴Rt△ADF≌Rt△AGF(HL),Rt△EGF≌Rt△ECF(HL),
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠AFE=90°,即AF⊥EF.
②求证:AE=BE+DF.
第11题图
②如图1,延长CB至点H使得BH=DF,连接AH.
∵AB=AD,∠ABH=∠D=90°,BH=DF,
∴△AHB≌△AFD(SAS),
∴∠H=∠AFD,∠BAH=∠DAF=∠EAF,
∴∠BAH+∠BAE=∠EAF+∠BAE,
∴∠HAE=∠BAF.
∵AB∥CD,
∴∠BAF=∠AFD,
∴∠HAE=∠AFD=∠H,
∴AE=HE,
∴AE=BE+BH=BE+DF.
12.(2025·绥化)在边长为7的等边三角形ABC中,点D在AB上,BD=2.点M是直线BC上的一个动点,连接MD,以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND,连接BN.当△BND为直角三角形时,CM的长是　6或8或9　.
　6或8或9(共20张PPT)
第17讲　等腰三角形与直角三角形
1.若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是 (C)
A.70° B.45°
C.35° D.50°
C
2.下列命题是假命题的是 (C)
A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合
C.若AB=BC,则点B是线段AC的中点
D.三角形三条边的垂直平分线的交点叫作这个三角形的外心
C
3.(2025·德阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,连接CD.若CD=1,则GE的长为 (B)
A.3 B.2 C.1 D.
第3题图
B
4.(2025·陕西)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为边AB上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有 (C)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
C
第4题图
5.如图,在锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD.下列命题中假命题是 (A)
第5题图
A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC
B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE
C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC
D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE
A
6.(2025·南充)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧,再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是 　.
第6题图

　　
第7题图
7.(2025·广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD= 1　.
-1
8.(2025·成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2.以点A为圆心,以AB长为半径作弧,再以点C为圆心,以BC长为半径作弧,两弧在AC上方交于点D,连接BD,则BD的长为 　.
第8题图

　　
第9题图
9.(2025·武汉)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=2,点D在边AC上,CD=3.若点E在边AB上,满足CE=BD,则AE的长是　7或9　.
　7或9
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF.
第10题图
解:(1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
由作图可得AE=AF.
在△ADE和△ADF中,
∴△ADE≌△ADF.
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
(2)∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线,
∴∠EAD=40°.
由作图可得AE=AD,∴∠ADE=70°.
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,
∴∠BDE=20°.
第10题图
11.数学文化清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:AD是锐角三角形ABC的高,则BD=.当AB=6,BC=5,AC=4时,AD的长为 　.

12.定义:我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,则△ABC中边AB的“中偏度值”为
　.
第12题图

13.(2025·安庆一模)如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,CE平分∠ACB交AD于点E.
(1)∠AEC=　112.5°　.
(2)若CE=,则AB的长为　2 +2　.
第13题图
　112.5°
　2+2
　　
第14题图
14.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D,E,F分别是边AB,BC,AC上一点,且∠DEF=∠B,DB=EC.
(1)若DE⊥AB,则DB= 　.
(2)线段DE的长的最小值为 　.


又∵BD=CE,∴△BCD≌△CAE(SAS),
∴CD=AE.
15.已知△ABC是等边三角形,点D,E分别是边AB,BC上的两个动点(与点A,B,C不重合),始终保持BD=CE.
图1 　图2
第15题图
(1)当点D,E运动到如图1所示的位置时,求证:CD=AE.
解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴BC=CA,∠B=∠ECA=60°.
(2)把图1中的△ACE绕着点A顺时针旋转60°到△ABF的位置(如图2),分别连接DF,EF.
①找出图中所有的等边三角形(△ABC除外),并对其中一个给予证明.
(2)①图中有2个等边三角形,分别是△BDF,△AFE.
证明:根据题意,得△ACE≌△ABF,
∴CE=BF,∠ECA=∠ABF=60°.
又∵BD=CE,∴BD=CE=BF,
∴BDF是等边三角形.
∵AF=AE,∠FAE=60°,
∴△AFE是等边三角形.
图1 　图2
第15题图
②试判断四边形CDFE的形状,并说明理由.
②四边形CDFE是平行四边形.
理由:∵∠FDB=∠ABC=60°,
∴FD∥EC.
又∵FD=FB=EC,
∴四边形CDFE是平行四边形.
16.(2025·巢湖模拟)“赵爽弦图”被称为“中国古代数学的图腾”,是数形结合的典型体现.如图,大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成.连接FH,DF,若FH=2,DF=,则大正方形ABCD的边长为 (D)
第16题图
A.5 B. C. D.
D(共20张PPT)
第19讲　相似三角形
1.(2025·贵州)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=2∶1,若DF=2,则AC的长为 (C)
第1题图
A.1 B.2
C.4 D.8
C
2.已知△ABC∽△DEF,=,若BC=2,则EF的长为 (A)
A.4 B.6
C.8 D.16
A
3.如图,点D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB.若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
第3题图
C
4.如图,在 ABCD中,点E是边BC上一点,AE,BD交于点G,已知△AGD与△BGE的周长之比为5∶2,则BE∶EC= (B)
A.1∶1 B.2∶3
C.3∶2 D.2∶5
B
第4题图
5.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,点D为AB的中点.若点E在边AC上,且=,则AE的长为 (D)
A.1 B.2 C.1或 D.1或2
第5题图
D
　　
第6题图
6.(2025·遂宁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,结合尺规作图痕迹提供的信息,求出线段AQ的长为 (A)
A.2 B.2
C.6 D.
A
7.(2025·广东)如图,把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似比是　1∶3 　.
第7题图
　1∶3
8.(2025·成都)若=3,则的值为　4　.
　4
9.(2025·安庆二模)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合),连接AP,DP,点E是线段AP上的一点,且∠ADE=∠APD,连接BE.
(1)求证:AD2=AE·AP.
第9题图
证明:(1)∵∠DAE=∠PAD,∠ADE=∠APD,
∴△ADE∽△APD,
∴=,
即AD2=AE·AP.
(2)求证:BE⊥AP.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠ABC=90°,
∴AB2=AE·AP,
∴=.
∵∠BAE=∠PAB,
∴△ABE∽△APB,
∴∠AEB=∠ABP=90°,
∴BE⊥AP.
10.已知一个三角形木架的三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,但只有长为60 cm,120 cm的两根木条.若要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有 (B)
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
B
11.已知,在△ABC中,点D为边BC的中点,过点D的直线交AB的延长线于点M,交AC于点N,记=m,=n,则m+n的值为 (A)
A.2 B.
C. D.1
第11题图
A
　　
第12题图
12.如图,在矩形ABCD中,点M是边AD的中点,BM⊥AC,交AC于点N,连接DN.下列结论中错误的是 (C)
A.CN=2AN B.DN=DC
C.tan∠CAD= D.△AMN∽△CAB
C
13.如图,在正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在边BC上运动(不与点B,C重合),连接PE,过点P作PQ⊥EP,交边CD于点Q,则CQ的最大值是　4　.
第13题图
　4
(1)求∠AEB的度数.
14.(2025·怀远县三模)如图1,在Rt△ABC中,点D为斜边AB的中点,在边AC外存在一点E使AE=CE,连接DE,CD,BE,BE与AC交于点F,与CD交于点G,且BE平分∠ABC.
第14题图
解:(1)∵点D为Rt△ABC斜边AB的中点,
∴∠ACB=90°,AD=CD=BD.
又∵AE=CE,
∴DE是AC的垂直平分线,
∴DE⊥AC,∴BC∥DE,∴∠BED=∠CBE.
∵BE平分∠ABC,
∴∠DBE=∠CBE,∴∠BED=∠DBE,∴ED=BD,
∴AD=BD=ED,
∴∠AED=∠DAE.
∵∠AED+∠DAE+∠BED+∠DBE=180°,
∴2∠AED+2∠BED=180°,
∴∠AED+∠BED=90°,
∴∠AEB=90°.
∵AC=BC,AD=BD,
∴△EGD∽△BGC,∴=.
(2)若AC=BC,
①如图2,当DE=5时,求的值;
(2)①由(1)及题意可知,
AD=BD=ED=CD=5,BC∥DE,
∴∠BDC=90°,
∴BC2=BD2+CD2=50,
∴BC=5.
设GD=x,则CG=CD-GD=5-x,
∴=,解得x=5(-1),
∴GD=5(-1),CG=10-5.
∵∠ACB=∠BDC=90°,
∴∠CBF+∠CFB=90°,∠DBG+∠BGD=90°.
又∠CBF=∠DBG,
∴∠BFC=∠BGD.
又∵∠CGF=∠BGD,
∴∠CFB=∠CGF,
∴CF=CG=10-5.
∴==.
②如图3,连接AG,并延长AG交BC于点H,求证:AH=2EC.
②证明:如图,延长AE,BC,交于点P.
∵AE=EC,
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠AEB=∠ACB=90°,
∴∠EAC+∠AFE=90°,∠CBE+∠BFC=90°.
又∵∠AFE=∠BFC,
∴∠EAC=∠CBE,
∴∠ACE=∠CBE.
∵AC=BC,AD=BD,
∴CD垂直平分AB,∴AG=BG.
又∵AC=BC,CG=CG,
∴△ACG≌△BCG(SSS),
∴∠CAG=∠CBE,
∴∠CAG=∠ECA,
∴EC∥AG,
∴=.
∵∠CAG=∠EAC,AC=AC,∠ACH=∠ACP=90°,
∴△ACP≌△ACH(SAS),
∴PC=CH,
∴=1,即PE=AE,
∴EC=AH,
∴AH=2EC.(共11张PPT)
第15讲　线段、角、相交线与平行线
1.如图,从学校A到书店B有①②③④四条路线,其中最短的路线是 (B)
A.① B.② C.③ D.④
第1题图
B
2.如图,点C,D是线段AB上的两点,且点D是线段AC的中点.若AB=10 cm,BC=4 cm,则AD的长是 (B)
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.6 cm
B
第2题图
3.(2025·广安)若∠A=25°,则∠A的余角为 (B)
A.25° B.65°
C.75° D.155°
B
4.(2025·陕西)如图,点O在直线AB上,OD平分∠AOC.若∠1=52°,
则∠2的度数为 (A)
A
A.76° B.74° C.64° D.52°
第4题图
　　
5.如图,直线l1∥l2,直线l3交直线l1于点A,交直线l2于点B,过点B的直线l4交直线l1于点C.若∠3=50°,∠1+∠2+∠3=240°,则∠4的度
数是 (B)
B
第5题图
A.80° B.70° C.60° D.50°
6.命题“如果+=0,那么a+b=0”的逆命题为
　如果a+b=0,那么 +=0　.
　如果a+b=0,那么+=0
7.(2025·常州)如图,AB∥CD,AC⊥AD,∠ACD=50°,则∠α=0°　.
第7题图
　40°
8.(2025·南通)上午9时整,钟表的时针和分针构成的角的度数为 (C)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
C
9.如图,EF与AB,BC,CD分别交于点E,G,F,且∠1=∠2=30°,EF⊥
AB,则下列结论中错误的是 (C)
第9题图
A.AB∥CD B.∠3=60°
C.FG=FC D.GF⊥CD
C
10.核心素养·抽象能力如图是集热板示意图,集热板与太阳光线垂直时,光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高,则集热板与水平面夹角α的度数是 (C)
第10题图
A.26° B.30° C.36° D.54°
C

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