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(共11张PPT)
微专题　四边形折叠问题
类型一　一次折叠
1.已知,△ABC是等边三角形,点D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿着DE折叠得到△FDE,点F落在边BC上.
第1题图
(1)如图1,当DF⊥BC时,∠ADE=　75°　.
(2)如图2,当BF∶CF=1∶4,AB=5时,AE的长为 　.
　75°

2.如图,在 ABCD中,∠A=45°,点E是AD上一动点,连接BE,将△ABE沿BE折叠,使点A'正好落在EC上.
第2题图
(1)若∠ECB=30°,则∠EBC=　75°　.
(2)若AB=4,BC=8,则DE=　4 -4　.
　75°
　4-4
3.如图,四边形ABCD是矩形纸片,AB=10,AD=8.在边BC上取一点E,将纸片沿AE折叠,使点B落在边CD上,点B的对应点为点F.
第3题图
(1)BE的长为　5　.
(2)如图2,作FH⊥AE,点M为DF的中点,则MH的长为 .
　5

4.如图,已知正方形纸片ABCD的边AB=4,点P在边AD上,将∠A沿BP折叠,点A的应点为A'.
第4题图
(1)若A'D∥BP,则PA的长为　2　.
(2)若点A'到边AD或BC的距离为1,则线段PA的长为 .
　2
或
类型二　二次折叠
5.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=4,点E是边CD上一点(不与点C,D重合),且CE的长是整数,将纸片沿过点A的一条直线折叠,点B落在点B'处,折痕交BC于点P,沿直线PE再折叠纸片,点C落在C'处,且B',C',P三点共线.
第5题图
(1)∠APE的度数为　90°　.
(2)线段BP的长为　1或3　.
　90°
　1或3
6.如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,AB=2,点E是边AB上一点,以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE,再折叠BE使BE落在直线EG上,点B的对应点为点H,折痕为EF且交BC于点F.
第6题图
(1)∠DEF=　90°　.
(2)若点E是AB的中点,则DF的长为 　.
　90°

7.(2025·铜陵三模)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,点D,F是AB上的点,沿CD,CF将△ABC折叠,使AC,BC叠合到CE处.
第7题图
(1)用含α的代数式表示∠DEF,则∠DEF=　180°-α　.
(2)若α=90°,=,则的值是 　.
　180°-α

8.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边AD上的一点,将△CDE沿着CE折叠,使得点D落在AC上,对应点为点F.
第8题图
(1)= +1　.
(2)如图2,点G是边BC上的一点,将△ABG沿着AG折叠,使得点B落在AC上,对应点为点H,连接FG,EH,则= 　.
+1

9.如图,在四边形纸片ABCD中,点E,F分别在边CD,BC上.将纸片沿直线EF折叠,点C恰好落在点A处,再将△ABF,△ADE分别沿AF,AE折叠,点B,D均落在EF上的点G处.
第9题图
(1)∠EAF=　 60°　.
(2)若四边形AECF是菱形,点G是EF的中点,且四边形纸片ABCD的面积是3,则AB= 　.
　 60°

类型三　三次折叠
10.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,CD上的点,将△ABE,△ADF分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好落在EF上的点G处,再将△CEF沿EF折叠,点C落在AF上的点H处,AG与EH交于点M.
第10题图
(1)sin∠DAF= 　.
(2)若DF=,则AM的长为　6 .

　6-2(共19张PPT)
第22讲　矩形、菱形和正方形
1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 (D)
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
D
2.如图,菱形ABCD的周长是4 cm,∠ABC=60°,则这个菱形的对角线AC的长是 (A)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第2题图
A
3.(2025·常州)如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长是 (B)
A.4 B.5
C.6 D.10
B
第3题图
4.(2025·绥化)一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是 (B)
A.25 B.25
C.25 D.50
B
5.(2025·自贡)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为5,边AB在y轴上,B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐标为 (A)
A.(-3,5) B.(5,-3) C.(-2,5) D.(5,-2)
第5题图
A
6.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件:　 AD=DC (答案不唯一) 　,使 ABCD是菱形.
　 AD=DC (答案不唯一)
第6题图
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点M,N分别是BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长是　16　.
第7题图
　16
8.如图,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,AF⊥EG.若AB=5,AE=DG=1,则BF= 　.

第8题图
9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点E为边AB上的一个动点,DE交AC于点F,当∠CFE=2∠ACB时,线段DF的长为　5　.
第9题图
　5
10.(2025·云南)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
第10题图
解:(1)证明:∵点O是AC的中点,
∴OA=OC.
∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长.
(2)∵记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3,
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,l3=2(AB+BC)=2(a+b)=28,
∴∴
∴AB=6,BC=8,
∴AC==10.
11.(2025·广东)如图,在矩形ABCD中,点E,F是边BC上的三等分点,连接DE,AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是 (B)
A. B. C. D.
第11题图
B
　
第12题图
12.如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),过点E作EF⊥AB交对角线AC于点F,连接DF.当△ADF是等腰三角形时,AE的长是　3 或3　.
　3或3
13.如图,在菱形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD上的点,且BE=BF=CG=AH,若菱形的面积等于24,BD=8,则EF+GH=
　 .
第13题图
　6
∵AE=AE,
14.如图1,在正方形ABCD中,点E为对角线AC上一点.
第14题图
(1)连接DE,BE.求证:BE=DE.
证明:(1)∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴AB=AD,∠BAE=∠DAE=45°.
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE.
(2)如图2,点F是DE延长线上一点,FB⊥BE,FE交AB于点G.
①求证:BF=FG;
(2)①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠GAD=90°,∴∠AGD+∠ADG=90°.
由(1)知,△ABE≌△ADE,
∴∠ADG=∠EBG,
∴∠AGD+∠EBG=90°.
∵FB⊥BE,∴∠EBF=90°,
∴∠FBG+∠EBG=90°,∴∠AGD=∠FBG.
∵∠AGD=∠FGB,∴∠FBG=∠FGB,
∴FG=FB.
②当BE=BF时,求证:GE=(-1)DE.
②∵FB⊥BE,∴∠FBE=90°.
在Rt△EBF中,BE=BF,
∴EF===BE.
由(1)知,BE=DE,
由①知,FG=BF,
∴FG=BF=BE=DE,
∴GE=EF-FG=BE-DE=DE-DE=(-1)DE.
A.2 B.π
C.4 D.2π
15.(2025·大庆)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在线段AB,BC上,AE=CF=,连接EF,AC.过点E,F分别作线段AC的垂线,垂足分别为G,H.动点P在△ACD内部及边界上运动,四边形EFHG,△PEG,△PEF,△PFH,△PGH的面积分别为S0,S1,S2,S3,S4.若点P在运动过程中始终满足3S0=S1+S2+S3+S4,则满足条件的所有点P组成的图形长度为 (A)
第15题图
A(共19张PPT)
第21讲　多边形与平行四边形
1.(2025·北京)若一个六边形的每个内角都是x°,则x的值为 (C)
A.60 B.90
C.120 D.150
C
2.如图,在 ABCD中,连接AC,∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD的度数为 (C)
A.80° B.100° C.120° D.140°
第2题图
C
　　
第3题图
3.(2025·湖北)如图, ABCD的对角线交点在原点.已知点A(-1,2),则点C的坐标是 (C)
A.(2,-1) B.(-2,1)
C.(1,-2) D.(-1,-2)
C
4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,AC,AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边形BDEF的周长是 (B)
A.28 B.14 C.10 D.7
第4题图
B
　　
第5题图
5.(2025·贵州)如图,在 ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交BC于点E,则EC的长为 (D)
A.5 B.4
C.3 D.2
D
6.如图,在五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=∠D,点F在边AB上.若∠AFE=45°,则∠AEF与∠AED的度数之比是　1∶4　.
第6题图
　1∶4
7.(2025·新疆)如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于点E.若AD=2,则BE=　2　.
第7题图
　2
8.如图,在 ABCD中,AB>AD,∠ABC为锐角,点O是对角线BD的中点.某学习小组要在BD上找两点E,F,使四边形AECF为平行四边形,现总结出如下甲、乙、丙三种方案,其中所有正确的方案是　甲、乙、丙　.
第8题图
　甲、乙、丙
在△ADF和△BEF中,
9.如图,在△ABC中,点D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使DF=EF,连接BE.求证:
(1)△ADF≌△BEF.
第9题图
证明:(1)∵点F是AB的中点,
∴AF=BF.
∴△ADF≌△BEF(SAS).
(2)四边形BCDE是平行四边形.
(2)∵点D,F分别为边AC,AB的中点,
∴DF∥BC,DF=BC.
∵EF=DF,∴EF=DE,
∴DF+EF=DE=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形.
10.如图,在 ABCD中,过点D作DE⊥AB,垂足为点E,过点B作BF⊥AC,垂足为点F.若AB=6,AC=8,DE=4,则BF的长为 (B)
A.4 B.3 C. D.2
第10题图
B
11.如图,在 ABCD中,AB=5,BC=8,点E是边BC的中点,点F是 ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交边CD于点G.若EF∥AB,则DG的长是 (D)
　　
第11题图
A. B.
C.3 D.2
D
12.如图,在 ABCD中,∠ABC=45°,点E,F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,∠EFC=30°,AB=1,则CF的长为 (A)
A.+ B.2 C.4 D.+
第12题图
A
　
第13题图
13.如图,在 ABCD中,AB=2,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E.若点E恰好在边AD上,则BE2+CE2的值是　16　.
　16
14.如图,在正六边形ABCDEF中,点M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;
④∠AMB=∠DNE.其中能使四边形AMDN是平行四边形的是　①②④　.(填序号)
第14题图
　①②④
15.(2025·安徽C20教育联盟中考试卷一)如图1,在 ABCD中,点E是边AB上的点,且BE=2AE,连接DE,点G在DE上,连接AG,作∠GEF=∠AGE交BD于点F,交CD于点H,EF=AG.
(1)求证:BF=DF.
第15题图
解:(1)证明:∵∠GEF=∠AGE,∴EF∥AG.
∵EF=AG,
∴四边形AEFG是平行四边形,∴AE∥FG,AE=FG,
∴△DFG∽△DBE,
∴=.
∵BE=2AE,∴BE=2FG,
∴BD=2FD,∴BF=DF.
(2)如图2,若∠ABC=90°,BD=AB+AE,求cos∠EAG的值.
(2)设AE=a,BE=2a,
则AB=AE+BE=3a.
∵BD=AB+AE,
∴BD=3a+a=4a.
由(1),得BF=DF,EF∥AG,
∴BF=BD=2a=BE,∠BEF=∠EAG.
∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=90°,BC∥AD,
∴∠BAD=90°.
∵AD===a,
∴DE==2a,
由(1),得=,
∴点G为Rt△DAE斜边DE的中点,
AG=EG=DE=a.
∵四边形AEFG是平行四边形,
∴EF=AG=a,
如图2,作BP⊥EH于点P,
∴BE=BF=2a,EP=EF=a,
∴cos∠EAG=cos∠BEP==.

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