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(共15张PPT)
第4讲　二次根式
1.若二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为 (C)
A　　　　　　　　 　B
C　　　　　　　　 　D
C
2.(2025·兰州)计算:×= (B)
A.6 B.
C. D.1
B
3.下列计算中正确的是 (C)
A.-=6 B.(-)2=9
C.=16 D.=±4
C
4.下列计算中正确的是 (C)
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
C
5.(2025·湖南)化简:=　2 　.
　2
6.计算:(+)(-)=　3　.
　3
7.计算:|-2|+=　 2+ 　.
　 2+
8.(2025·安徽名校之约第一次联考)已知实数x,y,若y=++5,则x-y=　-3　.
　-3
9.从-,,中任意选择两个数,分别填在算式(□+○)2÷里面的“□”与“○”中,计算该算式的结果是 案不唯一)　.
(只需写出一种结果)
-2(答案不唯一)
10.计算:+-+.
解:原式=2+1-+1+4
=6+.
11.已知的整数部分是x,小数部分是y,则y(x+)的值是 (A)
A.1 B.2
C.3 D.4
A
12.(2025·齐齐哈尔)若代数式+(x-2 025)0有意义,则实数x的取值范围是　x>3且x≠2 025　.
　x>3且x≠2 025
13.已知a=2-,则(7+4)a2+(2+)a+的值是　2+ 　.
　2+
14.数学文化《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白.与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代具有很高的数学水平,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从偶,开平方得积”.若把这段文字表述为数学语言,即为:在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则其面积为S=.
可利用其解决下列问题:如图,在△ABC中,
AB=,AC=,BC=5,则S△ABC= 　.

第14题图(共14张PPT)
第3讲　分　式
1.分式有意义的条件是 (B)
A.x=-3 B.x≠-3
C.x≠3 D.x≠0
B
2.(2025·乐山)计算+的结果为 (D)
A. B.
C.-1 D.1
D
3.化简+a-2的结果是 (B)
A.1 B.
C. D.
B
4.(2025·贵州)若分式的值为0,则实数x的值为 (A)
A.2 B.0
C.-2 D.-3
A
5.(2025·湖北)计算-x的结果是　2　.
　2
6.计算:÷-.
解:原式=·-
=-=.
7.(2025·广州)求代数式·的值,其中m=-1.
解:原式=·
=2(m+2)(m-2).
当m=-1时,
原式=2(-1+2)(-1-2)
=2(+1)(-3)
=2(3-3+-3)
=-4.
8.不论x取任何数,若分式总有意义,则m的取值范围是 (B)
A.m≥1 B.m>1
C.m≤1 D.m≠1
B
9.(2025·南充)已知===2,则的值是 (D)
A.2 B.3
C.4 D.6
D
10.已知分式的值为0,分式无意义,则x+y=　-3　.
　-3
11.已知a>b>0,且a2+b2=3ab,则÷的值是　 　.
　-
12.核心素养·运算能力先化简:÷,再从-解:原式=÷
=·=.
由分式有意义的条件可知,x不能取-1,0,1.
又∵-∴当x=2时,原式==.
13.(2025·北京)已知a+b-3=0,求代数式的值.
解:∵a+b-3=0,∴a+b=3.
原式== = =.(共25张PPT)
题型专题　规律探索
类型一　数式规律探索
1.观察以下等式:
第1个等式:12+32-2=8×1;
第2个等式:32+52-2=8×4;
第3个等式:52+72-2=8×9;
第4个等式:72+92-2=8×16;
……
按照以上规律,回答下列问题:
(1)写出第5个等式:　92+112-2=8×25　.
　92+112-2=8×25
(2)写出你猜想的第n个等式:　(2n-1)2+(2n+1)2-2=8n2　(用含n的等式表示),并证明.
解:(2)猜想:第n个等式为(2n-1)2+(2n+1)2-2=8n2.
证明:左边=(2n-1)2+(2n+1)2-2
=4n2-4n+1+4n2+4n+1-2
=8n2
=右边,
故猜想成立.
　(2n-1)2+(2n+1)2-2=8n2
2.观察以下等式:
第1个等式:×=;
第2个等式:×=;
第3个等式:×=;
第4个等式:×=;
第5个等式:×=;
……
根据以上规律,回答下列问题:
(1)写出第6个等式: ×=　.
×=
(2)写出你猜想的第n个等式:
　(用含n的等式表示),并证明.
解:(2)第n个等式:×=.
证明:∵左边=×=×=,右边=,
∴左边=右边,
∴猜想成立.
×=
3.观察以下等式:
①=5;
②=11;
③=19;
……
根据以上规律,回答下列问题:
(1)第⑤个等式为 　.
=41
证明:n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2,
∴=n2+3n+1.
(2)根据上述规律,猜测写出第 个等式,并加以证明.
解：(2)=n2+3n+1.
4.观察以下等式:
第1个等式:÷=1;
第2个等式:÷=;
第3个等式:÷=;
……
根据以上规律,回答下列问题:
(1)写出第5个等式: .
÷=
(2)写出你猜想的第n个等式: (用含n的等式表示),并证明.
解:(2)第n个等式:
÷=.
证明:∵左边=÷=
÷=·=,
右边=,
÷=
∴左边=右边,
∴猜想成立.
类型二　图形规律探索
5.核心素养·推理能力问题提出:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形
问题探究:不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形,为探究m与n之间的关系,我们可以先从特殊情况入手,通过试验、观察、类比,最后归纳、猜测得出结论.
探究一:
①用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形
此时,显然只能搭成一种等腰三角形.
∴当n=3时,m=1.
②用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形.
∴当n=4时,m=0.
③用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形;若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
∴当n=5时,m=1.
④用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形;若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
∴当n=6时,m=1.
综上所述,可得表①.
表①
n 3 4 5 6
m 1 0 1 1
探究二:
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形
若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒,则不能搭成三角形;若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形;若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
∴当n=7时,m=2.
(2)用8根、9根、10根相同的木棒分别搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形 (仿照上述探究方法,将结果填在表②中)
表②
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究.
解:探究二(2)①用8根相同的木棒搭一个三角形,只有一种情况,即分成2根木棒、3根木棒和3根木棒,
此时,能搭成1种等腰三角形,
∴当n=8时,m=1.
②用9根相同的木棒搭一个三角形,
n 7 8 9 10
m 2
若分成1根木棒、4根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形;
若分成3根木棒、3根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形;
此时,能搭成2种等腰三角形,
∴当n=9时,m=2.
③用10根相同的木棒搭一个三角形,
若分成2根木棒、4根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形;
若分成3根木棒、3根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形;
此时,能搭成2种等腰三角形,
∴当n=10时,m=2.
填表如下:
n 7 8 9 10
m 2 1 2 2
问题解决:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形 (设n分别等于4k-1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中)
表③
n 4k-1 4k 4k+1 4k+2
m
问题解决:由规律可知,
用4k-1根相同的木棒搭一个三角形,底边可以是1,3,5,…,2k-1根木棒,能搭成k种等腰三角形;
用4k根相同的木棒搭一个三角形,底边可以是2,4,6,…,2k-2根木棒,能搭成k-1种等腰三角形;
用4k+1根相同的木棒搭一个三角形,底边可以是1,3,5,…,2k-1根木棒,能搭成k种等腰三角形;
用4k+2根相同的木棒搭一个三角形,底边可以是2,4,6,…,2k根木棒,能搭成k种等腰三角形.
填表如下:
n 4k-1 4k 4k+1 4k+2
m k k-1 k k
问题应用:
∵2 025=4×506+1,
∴用2 025根相同的木棒搭一个三角形,能搭成506种不同的等腰三角形.故答案为506.
问题应用:用2 025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成　　　　种不同的等腰三角形.
6.核心素养·推理能力【观察思考】
一人巷是位于合肥市国家5A级旅游景区三河古镇风景区的一个著名景点,其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的,如图1所示.
第6题图
如图2是一层墙体,当中竖放1块方砖,就横放6块方砖(如图3);当中竖放2块方砖,就横放9块方砖(如图4);以此类推.
【规律发现】
(1)若一段墙一共竖放的方砖有n(n为正整数)块,则横放方砖的块数为　3n+3　(用含n的代数式表示).
　3n+3
(2)当竖放的方砖为1块时,墙体的长度为0.3×2+0.1;当竖放的方砖为2块时,墙体的长度为0.3×3+0.1×2;当竖放的方砖为3块时,墙体的长度为0.3×4+0.1×3……当竖放的方砖为n块时,墙体的长度为　0.4n+0.3　.
【规律应用】
(3)已知横放的方砖长为30 cm,竖放的方砖宽为10 cm.若需要砌一段长为42.3 m的一层墙体,则按照图中规律需要方砖多少块
解:(3)当0.4n+0.3=42.3时,
　0.4n+0.3
解得n=105,
∴竖放的方砖总数为105,横放的方砖总数为3n+3=3×105+3=318,
∴方砖的总数为105+318=423(块).
答:需要方砖423块.
7.观察如图中小黑点的个数与等式的关系,按照其图形与等式的规律,回答下列问题:
……
第7题图
(1)写出第5个等式:　25+30=50+5　.
(2)写出你猜想的第n个等式:　n2+n(n+1)=2n2+n　(用含n的等式表示).
　25+30=50+5
　n2+n(n+1)=2n2+n
类型三　图形与等式关系的规律探索
(3)若第n组图形中等号左右两边各有171个小黑点,求n的值.
解:(3)∵第n组图形中等号左右两边各有171个小黑点,
∴2n2+n=171,
解得n=9(负值舍去).
8.如图,每个图形都由同样大小的小正方形按照一定的规律组成,每个小正方形的面积都是1.
……　 ……
第8题图
根据图形与等式的关系,回答下列问题:
(1)写出图5反映的等式:　1 +2+3+4+5=　.
　1+2+3+4+5=
(2)猜想图n所反映的等式,并证明.
解：(2)图n所反映的等式为1+2+3+…+n=.
证明:设S=1+2+3+…+n,①
则S=n+(n-1)+(n-2)+…+1,②
①+②,得2S=n(n+1),
∴S=,故猜想成立.
解：(3)101+102+103+…+2 025+2 026=
(1+2+3+…+2 026)-(1+2+3+…+100)=
-=2 048 301.
(3)根据(2)的结论计算:101+102+103+…+2 025+2 026.(共21张PPT)
第2讲　整式与因式分解
1.(2025·上海)下列代数式中,能表示“x与y的差的平方”的是 (B)
A.x2-y2 B.(x-y)2
C.x2-y D.x-y2
B
2.(2025·济南)下列运算正确的是 (A)
A.m2·m3=m5 B.m6÷m2=m3
C.2m+3n=5mn D.(m2)3=m5
A
3.下列运算中正确的是 (D)
A.a2+a3=a6
B.(ab)2=ab2
C.(a+b)2=a2+b2
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
D
4.下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是 (C)
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)
C
5.某公司今年2月份的利润为x万元,3月份比2月份减少了8%,4月份比3月份增加了10%,则该公司4月份的利润为 (D)
A.(x-8%)(x+10%) B.(x-8%+10%)
C.(1-8%+10%)x D.(1-8%)(1+10%)x
D
6.核心素养·几何直观如图是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是 (A)
第6题图
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.(ab)2=a2b2
A
7.(2025·金寨县模拟)已知ab=1,a+b=-3,则代数式(a-1)(b-1)的值为 (B)
A.3 B.5
C.-3 D.-1
B
8.因式分解:x3-4x2+4x=　x(x-2)2　.
　x(x-2)2
9.某同学参加了7.5 km健康跑项目,他从起点开始以平均每分钟
x km的速度跑了10 min,此时他离健康跑终点的路程为　(7.5-10x)　km.(用含x的代数式表示)
　(7.5-10x)
10.(2025·长春)写出ab的一个同类项:　7ab(答案不唯一)　.
　7ab(答案不唯一)
11.已知x2-3x+1=0,则3x2-9x+5=　2　.
　2
12.(2025·乐山)已知am=3,an=2,则=　12　.
　12
13.先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b)2,其中a=-3,b=5.
解:原式=a2-2ab+a2+2ab+b2
=2a2+b2.
当a=-3,b=5时,原式=2×(-3)2+52=43.
14.(2025·马鞍山市一模)若x-2是ax2-bx+2的一个因式,则2a-b的值是 (B)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
B
15.设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片,长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张,如图所示,要拼一个边长为a+b的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形,则需要C类纸片的张数为 (C)
第15题图
A.6 B.7
C.8 D.9
C
16.(2025·亳州二模)若(2x+1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1+a3的值为 (C)
A.80 B.82
C.40 D.41
C
17.如图,四边形ABCD与四边形AEGF均为矩形,点E,F分别在线段AB,AD上.若BE=FD=2 cm,矩形AEGF的周长为20 cm,则图中阴影部分的面积为　 24 　cm2.
第17题图
　 24
18.数学文化勾股树是一个可以无限生长的树形图形,它既展示了数学中的精确与秩序,还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股树及它的形成过程,其中第1个图形是正方形,第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形,再以这个直角三角形的两条直角边为边长,分别向外生成两个新的正方形,重复上述步骤得到第3个图形……则第5个图形中共有　31　个正方形.
第18题图
　31
19.先化简,再求值:(2x+y)2-(3x-y)2+5(x+y)(x-y),其中x=,y=2.
解:原式=4x2+4xy+y2-(9x2-6xy+y2)+5(x2-y2)=4x2+4xy+y2-9x2+6xy-y2+5x2-5y2=10xy-5y2.
当x=,y=2时,
原式=10××2-5×22=10-20=-10.
20.新考法对多项式A,B,定义新运算“ ”:A B=2A+B;对正整数k和多项式A,定义新运算“ ”:k A=(按从左到右的顺序依次做“ ”运算).已知正整数m,n为常数,记M=m (x2+31xy),N=n (y2-14xy).若M N不含xy项,则mn=　5 　.
　15(共16张PPT)
第1讲　实　数
1.若将“收入50元”记作“+50元”,则“支出20元”记作 (B)
A.+20元 B.-20元
C.+30元 D.-30元
B
2.(2025·江西)下列各数中,是无理数的是 (B)
A.0 B.
C.3.14 D.
B
3.如图,数轴上点A表示的数为 (A)
第3题图
A.-2 B.2
C.±2 D.以上均不对
A
4.(2025·宜宾)2 025的相反数是 (A)
A.-2 025 B.2 025
C. D.-
A
5.(2025·连云港)-5的绝对值是 (A)
A.5 B.-5
C. D.
A
6.下列互为倒数的是 (A)
A.3和 B.-2和2
C.3和- D.-2和
A
7.(2025·南通)《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示,去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5 758亿元.将“5 758亿”用科学记数法表示为 (B)
A.5.758×1010 B.5.758×1011
C.0.575 8×1012 D.57.58×1010
B
8.(2025·山西)如表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温.比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况,下列说法正确的是 (A)
A.日最高气温的波动大 B.日最低气温的波动大
C.一样大 D.无法比较
日期 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高/ ℃ 12 6 10 9 8
最低/ ℃ 1 -2 -1 0 2
A
9.下列算法正确的是 (D)
A.(-5)+9=-(9-5) B.7-(-10)=7-10
C.(-5)×0=-5 D.(-8)÷(-4)=8÷4
D
10.(2025·浙江)|-5|+=　2　.
　2
11.(2025·上海)我国科技人员研究出了一种超皮秒工具,进行一次擦除仅仅需要400皮秒.已知1皮秒等于1×10-12秒,那么这个工具1秒可以擦除　2.5×109　次(用科学记数法表示).
　2.5×109
12.计算:(-1)×(-4)+22÷(7-5).
解:原式=(-1)×(-4)+4÷2
=4+2
=6.
13.(2025·成都)任意给一个数x,按下列程序进行计算.若输出的结果是15,则x的值为　3　.
第13题图
　3
14.计算:
(1)(2025·湖南)(-2 025)0+|-1|-tan 45°.
解:原式=1+1-1
=2-1
=1.
(2)(2025·连云港)(-2)×(-5)--.
解:原式=10-3-1
=7-1
=6.
解:原式=-+-2+8
=-1-2+-2+8
=5.
(3)(2025·上海)-+|2-|+.

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