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(共18张PPT)
专题三　二次函数性质综合题
类型一　与坐标有关的问题
1.在平面直角坐标系中,函数y=-x2+bx+c.
(1)函数图象过点A(m,1),B(m+3,1),
①当m=2时,求该函数的解析式;
解:(1)①当m=2时,函数图象过点A(2,1),B(5,1),
∴解得
∴该函数的解析式为y=-x2+7x-9.
②∵函数图象过点A(m,1),B(m+3,1),
∴
解得
∴该函数的解析式为y=-x2+(2m+3)x-m2-3m+1.
当x=m+4时,y=-(m+4)2+(2m+3)(m+4)-m2-3m+1=-3,
∴该函数的图象必过点(m+4,-3).
②证明该函数图象必过点(m+4,-3).
∴平移后所得抛物线的顶点坐标为(a,a-2),
∴平移后所得抛物线的解析式为y=-(x-a)2+a-2.
令x=0,则y=-a2+a-2,
∴平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标为-a2+a-2.
∵-a2+a-2=--≤-,
∴平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的取值范围为小于等于-.
(2)设平移后所得抛物线的顶点的横坐标为a.
∵顶点始终在直线y=x-2上,
(2)平移函数y=-x2+bx+c的图象,使其顶点始终在直线y=x-2上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的取值范围.
2.(2025·凤阳县二模)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),将点A,B的坐标分别代入,得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-x-4.
(2)①不存点P,使得BE=EF.理由如下:
如图,
(2)点P是直线BC下方抛物线上一点,过点P作PD⊥x轴于点D,交BC于点E,作PF⊥BC于点F.
①是否存在点P,使得BE=EF 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
∵抛物线的解析式为y=x2-x-4,
∴当x=0时,得y=-4,∴C(0,-4).
∵B(4,0),
∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°.
∵PF⊥BC,PD⊥AB,
∴∠DEB=45°=∠PEF=∠FPE,
∴BE=DE,EF=PF=PE.
∵BE=EF,∴DE=PE,∴PE=2DE.
设直线BC为y=kx-4,∴4k-4=0,解得k=1,
∵B(4,0),C(0,-4),
∴直线BC为y=x-4.
设P,则E(x,x-4),
∴DE=4-x,PE=x-4-x2+x+4=-x2+2x,
∴-x2+2x=2(4-x),解得x1=x2=4,∴P(4,0),
此时P,B重合,不符合题意.
故不存点P,使得BE=EF.
∵-(+1)<0,
∴当x=-=2时,△PEF的周长最大,
最大值为-(+1)×(4-8)=2+2,
此时yP=×22-2-4=-4,
∴P(2,-4).
②由①,得EF=PF=PE,PE=-x2+2x,
∴△PEF周长=EF+PF+PE=(+1)PE=-(+1)(x2-4x).
②求△PEF的周长的最大值及此时点P的坐标.
类型二　与线段有关的问题
3.如图,抛物线y=x2+(k2+1)x+k+1的对称轴是直线x=-1,且顶点在x轴上方.设点M是直线x=-1左侧抛物线上的一个动点,过点M作x轴的垂线MG,垂足为点G,过点M作直线x=-1的垂线MN,垂足为点N,直线x=-1与x轴交于点H.若点M的横坐标为x,矩形MNHG的周长为l.
(1)求k的值.
第3题图
解:(1)对称轴x=
-=-=-1,
则k2+1=2,解得k=±1.
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴k+1>0,则k=1.
(2)由(1),得抛物线的解析式为y=x2+2x+2.
(2)求l关于x的函数解析式.
第3题图
∵点M的横坐标为x,且点M在抛物线上,
∴点M的纵坐标为x2+2x+2,MG=x2+2x+2.
∵对称轴是直线x=-1,且点M在直线x=-1左侧,
∴GH=-x-1,
∴矩形MNHG的周长l=2(GH+MG)=2(-x-1+x2+2x+2)=2(x2+x+1),
故l关于x的函数解析式为l=2x2+2x+2.
(3)矩形MNHG的周长
l=2=2=
2+.
(3)是否存在点M,使矩形MNHG的周长最小 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
∵x<-1,∴不存在点M.
第3题图
4.(2025·德阳)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式.
解:(1)∵点A(-1,0),B(3,0).在二次函数y=-x2+bx+c的图象上,
设该二次函数为y=-(x-x1)(x-x2),
∴y=-(x+1)(x-3),∴y=-x2+2x+3.
第4题图
(2)①把x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3,∴C(0,3).
如图2,延长DC与x轴相交于点G,
∵B(3,0),C(0,3),∴OB=OC=3.
∵∠COB=90°,∴∠CBO=45°.
∵∠DCB=90°=∠BCG,
∴∠CGB=90°-∠CBO=90°-45°=45°,
(2)如图2,连接BC,过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D.
①求点D的坐标;
第4题图
∴∠GCO=180°-∠COG-∠CGB=180°-90°-45°=45°,
∴OG=OC=3,∴G(-3,0).
设直线CG的解析式为y=kx+m(k≠0),
把C(0,3),G(-3,0)代入,
得解得
∴直线CG的解析式为y=x+3.
∵点D是直线CG与二次函数的图象的交点,
∴联立解得或
∴D(1,4).
②如图3,点E,F为线段BC上两个动点(点E在点F的右侧),且EF=,连接OF,DE.求OF+DE的最小值.
第4题图
②如图3,过点D作二次函数的图象的对称轴平行于y轴,过点O作OH∥EF交二次函数的图象的对称轴于点H,且OH=EF=,连接HE,设DH交x轴于点G.
∵OH∥EF,且OH=EF,
∴四边形OFEH是平行四边形,
∴OF=EH.
∵∠CBO=45°,
∴∠BOH=45°,
∴△OGH为等腰直角三角形,
∴OG=GH.
∵OH=EF=,OG2+GH2=OH2,
∴OG=GH=1,
∴H(1,-1).
∵DE+EH≥DH,
∴当DE+EH=DH时,DE+EH最小.
∵D(1,4),H(1,-1),
∴DH=5,此时D,E,H三点共线且DH⊥x轴,
∴点F的坐标为(0,3)与点C重合,满足EF在线段BC上,
∴DE+OF的最小值为5.
5.如图,直线y=2x-8分别交x轴,y轴于点A,B,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A,且顶点Q在直线AB上.
(1)求a,b的值.
类型三　与面积有关的问题
第5题图
解:(1)∵直线y=2x-8分别交x轴,y轴于点A,B,
∴点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,-8).
∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A,O,
∴抛物线的对称轴为直线
x=2.
当x=2时,y=2x-8=-4,
∴抛物线顶点Q的坐标为(2,-4).
将A(4,0),Q(2,-4)代入y=ax2+bx,得
解得
(2)点P是第四象限内抛物线上的一点,连接OP,AP,BP.设点P的横坐标为t,△OAP的面积为S1,△OBP的面积为S2,记S=S1+S2.求S的最值.
第5题图
(2)由(1),得抛物线的解析式为y=x2-4x.
∵点P的横坐标为t,
∴点P的坐标为(t,t2-4t),
∴S1=×4×(4t-t2)=8t-2t2,S2=×8×t=4t,
∴S=S1+S2=-2t2+12t=-2(t-3)2+18.
∵-2<0,且0∴当t=3时,S取得最大值,最大值为18.
6.(2025·淮南二模)在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与抛物线y=ax2+bx-4交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)当x1=-1,x2=2时,求抛物线的解析式.
解:(1)当x1=-1时,y1=2×(-1)=-2,
当x2=2时,y2=2×2=4,
∴将 A(-1,-2),B(2,4)代入y=ax2+bx-4,
得解得
∴抛物线的解析式是y=2x2-4.
(2)过点P作PQ⊥x轴交直线y=2x于点Q.
设点P(t,2t2-4),则Q(t,2t),
∴PQ=2t-2t2+4,
∴S△PAB=S△PAQ+S△PBQ
=PQ(xB-xA)
=-3t2+3t+6=-3(t-)2+,
∴当t=时,S△PAB有最大值,
(2)在(1)的条件下,当△PAB面积最大时,求点P的坐标.
∴P(,-).
(3)证明:当x1=m,x2=n,且m将A(m,2m),B(n,2n)代入y=ax2+bx-4,
得2m=am2+bm-4①,
2n=am2+bn-4②,
①-②,得2(m-n)=a(m+n)(m-n)+b(m-n),
∴a(m+n)+b=2,
∴n=-m=--m.
∵n≥,
(3)设抛物线顶点的横坐标为h,当x1=m,x2=n且n≥时,求证:h≥.
∴--m≥,
∴m≤-,
∴≤-,即h≥.(共19张PPT)
热点题型　综合与实践题
类型一　阅读类
1.综合与实践
问题情境:
图形变换包括平移、旋转、对称、位似等,其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动,其中“旋”是过程,“转”是结果.旋转的性质则是解决实际问题的关键.数学活动课上,老师让同学们根据如下问题情境,发现并提出问题.如图1,△ABC与△EDC都是等腰直角三角形,点E,D分别在AC和BC上,连接BE.将线段EB绕点B顺时针旋转90°,得到的对应线段为BF.连接DE,DF,AB与DF交于点Q.“兴趣小组”提出了两个问题:①AE=BD,AE⊥BD;②DF=AB,DF⊥AB.
解决问题:
(1)请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题.
第1题图
解:(1)证明:∵△ABC与△EDC为等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=DC,∴AE=DB.
∵∠AEB=∠C+∠EBC,∠DBF=∠EBF+∠EBC,∠C=∠EBF=90°,∴∠AEB=∠DBF.
∵EB=BF,∴△AEB≌△DBF(SAS),∴AB=DF,∠ABE=∠DFB.
∵∠ABE+∠ABF=90°,∴∠DFB+∠ABF=90°,
∴∠BQF=90°,即AB⊥DF.
探索发现:
(2)“实践小组”在图1的基础上,将△EDC绕点C顺时针旋转角度α(0°<α<90°),其他条件保持不变,得到图2.
①请你帮助“实践小组”探索:“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(2)成立.证明:①如图2,延长AE,交BD于点P,交BC于点O.
∵∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACE=∠DCB.
∵AC=BC,CE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.
∵∠AOC=∠BOP,∠AOC+∠CAO=90°,
∴∠CBD+∠BOP=90°,∴∠APB=90°,即AE⊥BD.
∵∠AEB=∠APB+∠EBD,∠DBF=∠EBF+∠DBE,∠APB=∠EBF=90°,
∴∠AEB=∠DBF.
∵EB=BF,∴△AEB≌△DBF(SAS),∴AB=DF,∠ABE=∠DFB.
∵∠ABE+∠ABF=90°,∴∠DFB+∠ABF=90°,∴∠AQF=90°,即AB⊥DF.
第1题图
②如图3,当AD=AF时,请求出此时旋转角α的大小.
第1题图
②∵AD=AF,AB⊥DF,
∴AB垂直平分DF,∴BD=BF=BE.
∵EC=DC,BC=BC,∴△BEC≌△BDC(SSS),
∴∠ECB=∠DCB=∠ECD=45°,
∴旋转角α的大小为90°-45°=45°.
类型二　规律类
2.新情境综合与实践
【发现】数学兴趣小组在讨论对于一个个位数和9相乘的问题时,发现可以用10个手指直观地展示出来,如计算3×9,将两手平伸,手心向上,从左边开始数至第3个手指,将它弯起,此时它的左边有2个手指,右边有7个手指,27正是3×9的结果.
【应用】
(1)填空:若计算5×9,从左边开始数至第　5　个手指,将它弯起,此时它的左边手指个数为　4　,右边手指个数为　5　,结果为　45　.
　5
　4
　5
　45
解:(1)计算5×9,从左边开始数至第5个手指,将它弯起,
此时它的左边手指个数为4,
右边手指个数为5,
结果为45.
故答案为5,4,5,45.
【探究】
(2)从左边开始数至第n个手指,将它弯起,此时它的左边手指个数为　n-1　,右边手指个数为　10-n　,用所学的数学知识证明上面的发现.
第2题图
　n-1
　10-n
(2)从左边开始数至第n个手指,将它弯起,
此时它的左边手指个数为n-1,
右边手指个数为10-n,
故答案为n-1,10-n.
证明:由题意可知,10(n-1)+(10-n)=9n,
即为9乘n的结果.
3.综合与实践
【问题情境】
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉,为了确定售价,小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况,记录如下:
售价/(元/盆) 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【数据整理】
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理,填写在下表中.
售价/(元/盆) 18　 20　 22　 26　 30　
日销售量/盆 54　 50　 46　 38　 30　
18
20
22
26
30
54
50
46
38
30
【模型建立】
(2)分析数据的变化规律,找出日销售量与售价间的关系.
解:
(2)观察表格可知日销售量是售价的一次函数.
设日销售量为y盆,售价为x元/盆,y=kx+b,
把(18,54),(20,50)代入,得
解得∴y=-2x+90.
故售价每盆上涨2元,日销售量减少4盆.
(3)①∵每天获得400元的利润,
∴(x-15)(-2x+90)=400,解得x=25或x=35,
∴要想每天获得400元的利润,应定价为25元或35元.
【拓广应用】
(3)根据以上信息,小莹妈妈在销售该种花卉时,
①要想每天获得400元的利润,应如何定价
②当售价定为多少时,每天能够获得最大利润
②设每天获得的利润为w元.
根据题意,得w=(x-15)(-2x+90)=-2x2+120x-1 350=-2(x-30)2+450.
∵-2<0,∴当x=30时,w取最大值,最大值为450,
∴当售价定为30元时,每天能够获得最大利润.
4.某校“综合与实践”小组为了了解全校3 600名学生的读书情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,形成了如下调查报告(不完整).
类型三　统计类
××中学学生读书情况调查报告
调查主题 ××中学学生读书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
数据的收集、整理与描述 第一项 您平均每周阅读课外书的时间大约是(　　)(只能单选,每项含最小值,不含最大值) A.8 h及以上 B.6~8 h C.4~6 h D.0~4 h 请根据以上调查报告,回答下列问题:
(1)求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数.
数据的收集、整理与描述 第二项 您阅读的课外书的主要来源是(　　)(可多选)
E.自行购买
F.从图书馆借阅
G.免费数字阅读
H.向他人借阅
调查结论 …… 解:(1)∵平均每周阅读课外书的时间大约是0~4 h的人数为33,占抽样学生人数的11%,
∴参与本次抽样调查的学生人数为33÷11%=300.
∵从图书馆借阅的人数占总人数的62%,
∴选择“从图书馆借阅”的人数为300×62%=186.
答:参与本次抽样调查的学生人数为300,选择“从图书馆借阅”的人数为186.
(2)估计该校3 600名学生中,平均每周阅读课外书时间在“8 h及以上”的人数.
(3)该小组要根据以上调查报告在全班进行交流,假如你是小组成员,请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息.
(2)∵平均每周阅读课外书时间在“8 h及以上”的人数占比为32%,
∴3 600×32%=1152(人).
答:该校3 600名学生中,平均每周阅读课外书时间在“8 h及以上”的人数约为
1152.
(3)答案不唯一,例如:
由第一项可知,阅读时间为“4~6 h”的人数最多,“0~4 h”的人数最少;
由第二项可知,阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多,“向他人借阅”的人数最少.
5.综合与实践
【问题背景】
如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,点E为边BC上一点,沿直线DE将矩形折叠,使点C落在边AB上的点C'处.
【问题解决】
(1)填空:AC'的长为　3　.
　3
类型四　探究类
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,AB=CD=5,BC=AD=4.
由折叠的性质,得C'D=CD=5,∴AC'===3.
故答案为3.
第5题图
(2)如图2,展开后,将△DC'E沿线段AB向右平移,使点C'的对应点与点B重合,得到△D'BE',D'E'与BC交于点F,求线段EF的长.
(2)由(1),得AC'=3,∴BC'=AB-AC'=2.
由折叠的性质,得C'E=CE.
设BE=x,则C'E=CE=4-x.
在Rt△BEC'中,BE2+BC'2=C'E2,即x2+22=(4-x)2,解得x=,
即BE=,CE=4-=.
连接EE',如图2所示.
由平移的性质,得E'E=BC'=2,EE'∥AB∥CD,D'E'∥DE,
∴△FEE'∽△FCD'∽△ECD,
∴===,∴EF=EE'=1.
第5题图
(3)如图1,将△DC'E绕点C'旋转至A,C',E三点共线时,请直接写出CD的长.
第5题图
【拓展探究】
(3)如图3,当点E在线段AC'上时,过点D作DM⊥BC交CB的延长线于点M.
由(2),得BC'=2,C'E=,BE=C'E+BC'=.
由旋转的性质,得∠DC'E=90°,∴∠DC'B=90°.
∵∠DC'B=∠C'BM=∠DMB=90°,
∴四边形BC'DM是矩形,
∴DM=BC'=2,BM=C'D=5,∴CM=9,
∴CD==.
如图4,当点E在线段AC'的延长线上时,
过点D作DN⊥BC交BC的延长线于点N,
易证四边形BC'DN是矩形,则DN=BC'=2,BN=C'D=5,∴CN=1,∴CD==.
综上所述,CD的长为或.
类型五　函数类
6.(2025·兰州)综合与实践
在学校项目化学习中,某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料,解决“数学建模”中的问题.
第6题图
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽,也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题,可以借助数学模型进行解决.
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素,以生长素浓度x(标准单位)为自变量,种子的发芽率y(%)为因变量,进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验,获得相关数据:
生长素浓度x(标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y(%) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图,小组成员以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系描出相应的点.
说明:①当生长素浓度x=0时,种子的发芽率为自然发芽率;
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时,该生长素抑制种子发芽;
③当生长素抑制种子发芽,使得发芽率减小到0时,停止实验.
【数学建模】请你结合所学知识回答下列问题:
(1)观察上述各点的分布规律,判断y关于x的函数类型,并求出该函数的解析式.
解:(1)观察上述各点的分布规律,y关于x的函数是二次函数,
设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
将(0,35),(1,56),(2,63)的坐标代入,得解得
∴该二次函数的解析式为y=-7x2+28x+35.
(2)当x=0时,y=35,
∴种子自然发芽率为35%,
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围.
∴当y=35时,-7x2+28x+35=35,
解得x1=0,x2=4.
当y=0时,-7x2+28x+35=0,
解得x1=-1(舍去),x2=5,
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4微专题　手拉手模型
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
模型一　等腰三角形共顶点
1.已知△ABC是等腰三角形.
(1)如图1,若△ABC,△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC,DE分别是底边.求证:△ABD≌△ACE.
第1题图
解:(1)证明:∵△ABC,△ADE均是顶角为42°
的等腰三角形,BC,DE分别是底边,
∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)如图2,若△ABC为等边三角形,将线段AC绕点A逆时针旋转90°,得到AD,连接BD,∠BAC的平分线交BD于点E,连接CE.
①求∠AED的度数.
(2)①∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
由旋转知,AC=AD,∠CAD=90°,
∴AB=AD,∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°,
∴∠D=(180°-∠BAD)=15°.
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠BAC=30°,
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=120°,
∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=45°.
②试探究线段AE,CE,BD之间的数量关系,并证明.
②BD=2CE+AE.
证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC.
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=∠CAE.
又∵AE=AE,∴△BAE≌△CAE(SAS),
∴BE=CE.
过点A作AF⊥AE交DE于点F,∴∠EAF=90°.
由旋转知,∠CAD=90°,∴∠CAE=∠DAF.
由①知,∠AED=45°,
∴∠AFE=45°=∠AEF,∴AE=AF,
∴EF=AE.
又∵AC=AD,
∴△ACE≌△ADF(SAS),∴DF=CE,
∴BD=BE+EF+DF=CE+AE+CE=2CE+AE.
2.如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,点P为BD,射线CE的交点.
(1)如图1,若AD=AE,AB=AC.
①BD与CE的数量关系为　BD=CE　;
②∠BPC的度数为　 90°　.
　BD=CE
　 90°
第2题图
(2)如图2,若∠ADE=∠ABC=30°,则(1)中的结论是否成立 若成立,请说明理由;若不成立,请写出正确结论.
解:(2)(1)中的结论①不成立,BD=CE;结论②成立.
理由如下:
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴AB=AC.
在Rt△ADE中,∠ADE=30°,∴AD=AE,∴=.
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,∴△ADB∽△AEC.
∴∠ABD=∠ACE,==,∴BD=CE.
∵∠BPC=180°-∠ABD-∠ABC-∠BCP=180°-30°-(∠BCP+∠ACE),∴∠BPC=90°.
(3)在(1)的条件中,若AB=3,AD=1,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,直接写出PB的长.
(3)①如图3,当点E在AB上时,BE=AB-AE=2.
∵∠EAC=90°,∴CE===.
同(1)可证△ADB≌△AEC,∴∠DBA=∠ECA.
又∵∠PEB=∠AEC,∴△PEB∽△AEC,
∴=,∴=,∴PB=.
图3
②如图4,当点E在BA的延长线上时,
BE=AB+AE=4.
∵∠EAC=90°,∴CE=.
同(1)可证△ADB≌△AEC,∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA,∴△PEB∽△AEC,
∴=,∴=,∴PB=.
综上所述,PB的长为或.
图4
模型二　相似三角形共顶点
3.如图1,在△ABD和△ACE中,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE.
(1)①求证:△ABC∽△ADE;
解:(1)①证明:∵∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,
∴△ABD∽△ACE,
∴=,即=.
又∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
第3题图
②若AB=AC,试判断△ADE的形状,并说明理由.
②△ADE是等腰三角形.理由如下:
由①知,=,
∵AB=AC,
∴AD=AE,
∴△ADE是等腰三角形.
(2)证明:∵∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,
∴△BAC∽△DAE,
∴=,∴=.
又∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD∽△CAE,
∴∠B=∠ACE.
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
(2)如图2,旋转△ADE,使点D落在边BC上,若∠BAC=∠DAE=90°,∠B=∠ADE.求证:CE⊥BC.
∴∠ACE+∠ACB=90°,
∴∠BCE=90°,
∴CE⊥BC.
4.如图1,已知等腰三角形ABC和等腰三角形ADE有公共的顶点A,且AB=AC,AD=AE,∠EAC=∠DAB,点E恰好落在边BC上(与点B,C不重合),连接BD.
　　　
第4题图
(1)求证:BD=CE.
解:(1)证明:在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
(2)若AB与DE相交于点F,求证:CE·BE=CA·BF.
(2)证明:∵∠EAC=∠DAB,
∴∠EAC+∠EAB=∠DAB+∠EAB,
即∠BAC=∠DAE.
∵AB=AC,AD=AE,
即=,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠AED=∠C.
∵∠AED+∠BEF=∠C+∠CAE,
∴∠BEF=∠CAE.
∵∠EBF=∠C,
∴△BEF∽△CAE,
∴=,
∴CE·BE=CA·BF.
(3)如图2,若∠BAC=90°,AC=4,且=,求DE的长.
(3)∵∠BAC=90°,AC=AB=4,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠C=45°,BC=AC=4.
∵=,
∴CE=,BE=3.
由(1),得△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠C=45°,BD=CE=,
∴∠DBE=∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°.
在Rt△BDE中,∵BD=,BE=3,
∴DE==2.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ACB=90°,
∠AED=∠B=45°,
∴△ADE是等腰直角三角形.
∵DE∥BC,EF∥CD,∠ACB=90°,
5.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E分别在边AC,AB上,且DE∥BC.
第5题图
(1)的值为 　.

解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠B=45°.
如图1,过点E作EF∥CD交BC于点F.
∴四边形DCFE是矩形,
∴CD=EF,∠EFC=90°,∴sin B==sin 45°=,
∴∠EFB=180°-90°=90°,∴=.
故答案为.
(2)将△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,旋转角为α(45°<α<
90°),连接CD,BE,求的值.
(2)由(1)知,△ADE∽△ACB,
∴==,∠CAB=∠DAE,
∴∠CAB+∠BAD=∠DAE+∠BAD,
即∠CAD=∠BAE,
∴△ACD∽△ABE,
∴==.
(3)将△ADE绕点A旋转,当∠DEB=90°,AC=5,AD=时,请直接写出线段CD的长.
(3)①如图,当∠DEB=90°,位于AC右侧时,过点A作AF⊥BE,交BE的延长线于点F.
∵∠DEB=90°,∠AFE=90°,∠ADE=90°,AD=DE,
∴四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE=EF=AF=.
∵AC=5,∴AB=AC=5,
∴BF===3,
∴BE=BF-EF=3-=2.
∵==,∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB,
即∠CAD=∠BAE,
∴△ACD∽△ABE,
∴==,
∴CD=BE=×2=.
②如图,当∠DEB=90°,位于AC左侧时,过点A作AF⊥BE,交BE于点F.
∵∠DEB=90°,∠AFE=90°,∠ADE=90°,AD=DE,
∴四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE=EF=AF=.
∵AC=5,
∴AB=AC=5,
∴BF===3,
∴BE=BF+EF=3+=4.
∵==,∠CAB+∠EAC=∠DAE+∠EAC,
即∠CAD=∠BAE,
∴△ACD∽△ABE,
∴==,
∴CD=BE=×4=2.
综上所述,线段CD的长为或2.
∴AG⊥BD,即AE⊥BD.
6.在△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,BC=k·AC,CD=k·CE.
第6题图
(1)如图1,当k=1时,探索AE与BD的关系.
解:(1)当k=1时,结论:AE=BD,AE⊥BD.理由如下:
∵∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BCD=∠ACE.
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.
如图1,延长AE交BD于点G.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°.
在△ABG中,∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠AGB=90°,
(2)如图2,当k≠1时,请探索AE与BD的关系,并证明.
(2)当k≠1时,结论:BD=kAE,AE⊥BD.理由如下:
∵BC=k·AC,CD=k·CE,
∴==k.
在△ACE与△BCD中,∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BCD=∠ACE,
∴△ACE∽△BCD,
∴∠CAE=∠CBD.
如图2,延长AE交BD于点G.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°.
在△ABG中,∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠AGB=90°,
∴AG⊥BD,即AE⊥BD.
(3)如图3,在(2)的条件下,分别在BD,AE上取点M,N,使得BD=m·MD,AE=m·NE,试探索CN与CM的关系,并证明.
(3)结论:CM=kCN,CN⊥CM.理由如下:
由(2)得△ACE∽△BCD,
∴∠CDB=∠CEA,
∴=.
又∵BD=m·MD,AE=m·NE,
∴=,∴=.
在△CNE和△CMD中,=,∠CDB=∠CEA,
∴△CNE∽△CMD,
∴∠MCD=∠NCE,===,
∴CM=kCN,
∴∠BCM=∠ACN,
∴∠NCM=∠BCN+∠ACN=∠ACB=90°,
即∠NCM=90°,∴CN⊥CM.(共9张PPT)
微专题　一线三等角模型
又∵∠ACB=90°,
1.(2025·滁州三模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CE是∠ACB内的一条射线,分别过点A,B作AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为点D,E.
第1题图
(1)如图1,求证:AD=BE+DE.
解:(1)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠CEB=∠ADC=90°.
∴∠BCE+∠ACD=∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BCE=∠CAD.
在△ACD和△CBE中,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE,CD=BE,
∴AD=CE=CD+DE=BE+DE.
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵∠ACB=90°,AC=BC,点O是AB的中点,
(2)如图2,AB与CE交于点G,点O是AB的中点,连接OD,OE.
①求证:OD=OE;
(2)①证明:如图2,连接OC.
在△BEG和△COG中,∠BEG=∠COG=90°,∠BGE=∠CGO,
∴∠EBG=∠OCG.
由(1)可知△ACD≌△CBE,
∴CD=BE.
在△OBE和△OCD中,
∴△OBE≌△OCD(SAS),
∴OD=OE.
②如图3,点G是OB的中点,求tan∠BCE的值.
②由(1)知△ACD≌△CBE,
∴AD=CE.
∵点G是OB的中点,点O是AB的中点,
∴OB=OA,BG=OG,
∴=.
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴BE∥AD,
∴△BEG∽△ADG,
∴==.
∵AD=CE,
∴=.
在Rt△BCE中,tan∠BCE==.
2.在矩形ABCD的边CD上取一点E,将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在边AD上的点F处.
第2题图
(1)如图1,若BC=2AB,求∠CBE的度数.
图1 图2 图3
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°.
∵将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在边AD上的点F处,
∴BC=BF,∠FBE=∠EBC,∠C=∠BFE=90°.
∵BC=2AB,∴BF=2AB,∴∠AFB=30°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠AFB=∠CBF=30°,
∴∠CBE=∠CBF=15°.
∴∠BFE=∠C=90°,CE=EF.
∵∠AFB+∠DFE=90°,∠DEF+∠DFE=90°,
(2)如图2,当AB=5,且AF·FD=10时,求BC的长.
(2)∵将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在边AD上的点F处,
又∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°.
∴∠AFB=∠DEF,∴△FAB∽△EDF,
∴=,
∴AF·FD=AB·DE.
∵AF·FD=10,AB=5,∴DE=2,
∴CE=DC-DE=5-2=3,∴EF=3.
在Rt△DEF中,DF===,
∴AF==2,
∴BC=AD=AF+FD=2+=3.
(3)如图3,延长EF,与∠ABF的平分线交于点M,BM交AD于点N.当NF=AN+FD时,求的值.
解:(3)过点N作NG⊥BF于点G.
∵NF=AN+FD,∴NF=AD=BC.
∵BC=BF,∴NF=BF.
∵∠NFG=∠AFB,∠NGF=∠BAF=90°,
∴△NFG∽△BFA,
∴===.
设AN=x,
∵BN平分∠ABF,AN⊥AB,NG⊥BF,
∴AN=NG=x,AB=BG=2x.
设FG=y,则AF=2y.
∵AB2+AF2=BF2,
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2,
解得y=x,
∴BF=BG+GF=2x+x=x,
∴===.(共21张PPT)
专题二　几何探究题
类型一　与全等三角形有关的问题
1.(2025·亳州二模)综合与实践:在通过构造全等三角形解决的问题中,有一种方法叫倍长中线法.
(1)如图1,AD是△ABC的中线,AB=8,AC=5,求AD的取值范围.
解:(1)如图1,延长AD至点P,使AD=DP,连接BP.
∵AD是△ABC的中线,∴CD=BD.
∵∠ADC=∠PDB,∴△ADC≌△PDB(SAS),
∴BP=AC=5.
∵AB-BP∵DP=AD,
∴AP=2AD,∴3<2AD<13,解得1.5即AD的取值范围为1.5(2)如图2,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°,点D为BC的中点,求证:EF=2AD.
(2)证明:如图2,延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD.
∵点D为BC的中点,∴CD=BD.
在△ADC和△GDB中,
∴△ADC≌△GDB(SAS),
∴∠C=∠GBD,AC=BG,
∴AC∥BG,∴∠ABG+∠BAC=180°.
∵AC=AF,∴BG=AF.
∵∠BAE=∠CAF=90°,∴∠EAF+∠BAC=180°,
∴∠ABG=∠EAF.
在△EAF和△ABG中,
∴△EAF≌△ABG(SAS),
∴AG=EF,∴EF=2AD.
(3)如图3,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,点F是BC的中点,∠CEF=∠ADB,∠BAC+∠BAD=180°,试探究BD与EF的数量关系,并说明理由.
(3)BD=2EF.理由如下:
如图3,延长EF到点G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到点H,使得AH=AD,连接BH.
∵点F是BC的中点,
∴CF=BF.
∵∠EFB=∠CFG,
∴△BEF≌△CGF(SAS),
∴BE=CG,∠G=∠BEF,
∴CG∥BE,
∴∠BEH=∠GCE.
∵∠BAC+∠BAH=180°,∠BAC+∠BAD=180°,
∴∠BAH=∠BAD.
在△BAH和△BAD中,
∴△BAH≌△BAD(SAS),
∴BH=BD,∠H=∠ADB.
∵∠ADB=∠CEF,
∴∠H=∠CEF,
∴△HBE≌△EGC(AAS),
∴EG=BH=BD=2EF,
即BD=2EF.
2.如图1,△ABC是等边三角形,点E在边AC上,点D是边BC上的一个动点,以DE为边作等边△DEF,连接CF.
(1)当点D与点B重合时,如图2,求证:CD=CE+CF.
解:(1)证明:如图2,
∵△ABC与△BEF都为等边三角形,
∴∠ABC=∠EBF=60°,AB=BC=CD,EB=BF,
∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC,
即∠ABE=∠CBF.
在△ABE和△CBF中,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴AE=CF,
则CD=AC=CE+AE=CE+CF.
(2)当点D运动到图3的位置时,猜想CE,CF,CD之间的等量关系,并说明理由.
(2)CE=CF+CD.理由如下:过点D作DG∥AB,交AC于点G.
∵DG∥AB,
∴∠CGD=∠CDG=60°,△CDG为等边三角形.
∵△DEF为等边三角形,
∴∠EDF=∠GDC=60°,ED=FD,GD=CD,
∴∠EDF-∠GDF=∠GDC-∠GDF,
即∠EDG=∠FDC.
在△EDG和△FDC中,
∴△EDG≌△FDC(SAS),
∴EG=FC,
则CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD.
∵△EDF为等边三角形,
∴∠EDF=∠GDC=60°,
(3)只将条件“点D是边BC上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”,如图4,猜想CE,CF,CD之间的等量关系为　CF=CE+CD　(不必证明).
　CF=CE+CD
(3)CF=CE+CD.理由如下:过点D作DG∥AB,交AC的延长线于点G.
∵GD∥AB,
∴∠GDC=∠DGC=60°,即△GCD为等边三角形.
∴∠EDG=∠CDF.
在△EGD和△FCD中,
∴△EGD≌△FCD(SAS),
∴EG=FC,
则FC=EC+CG=EC+CD.
故答案为CF=CE+CD.
类型二　与相似三角形有关的问题
3.如图1,已知△ABC,点D是BC上一点,EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,连接AD,AD与EF交于点G.
(1)求证:=.
解:(1)证明:∵EF∥BC,
∴△AEG∽△ABD,△AFG∽△ACD,
∴=,=,
∴=.
(2)如图2,连接ED,GC,FD,四边形EBDF和四边形EDCG都是平行四边形,BD=2.
①求EG的长;
(2)①∵四边形EBDF和四边形EDCG都是平行四边形,
∴BD=EF,EG=CD.
由(1),得=.
∵GF=EF-EG=BD-EG=2-EG,
∴=,
∴EG=-1+或EG=-1-(舍去).
②如图3,延长CG交AB于点H,连接HD,求证:HD∥AC.
②证明:由①,得=,
∴=,
∴=.
∵四边形BDFE是平行四边形,
∴EF∥BC,DF∥AB,
∴△HEG∽△HBC,△FDG∽△EAG,
∴=,=,
∴=.
∵四边形EDCG是平行四边形,
∴EG=CD,
∴=,
∴=.
∵∠HGD=∠CGA,
∴△HDG∽△CAG,
∴∠DHG=∠ACG,
∴HD∥AC.
4.如图1,在正方形ABCD中,点E在直线BC上,CE=BC,过点B作BG⊥DE于点G,交DC的延长线于点H.
(1)求证:BH=DE.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=∠BCH=90°,CD=CB.
∵BG⊥DG, ∴∠BGE=∠DCE=90°.
∵∠BEG=∠CED, ∴∠CDE=∠CBH,
∴△DCE≌△BCH(ASA), ∴BH=DE.
图1
(2)连接AG交DC的延长线于点F,求证:=.
(2)证明:如图1,设BE=EC=m,则BC=CD=2m.
∵∠CDE=∠CBH, ∴tan∠CBH=tan∠CDE=,
∴=,∴EG=m,BG=m,DE==m.
∵CH=EC=m,
∴DH=DC+CH=3m,DG=DE+EG=m,
∴GH===m.
∵AB∥FH, ∴△FHG∽△ABG,∴=,
∴=, ∴FH=3m, ∴DF=6m,CF=4m, ∴==.
图1
(3)如图2,若点E在BC的延长线上,连接AG交DC于点F,求的值.
(3)如图2,同法可证△DCE≌△BCH,
∴EC=CH.
设CE=CH=n,则BC=CD=AB=2n.
∵∠CDE=∠CBH, ∴tan∠CBH=tan∠CDE=,
∴=,∴GH=n,BH==n,
∴GB=GH+BH=n.
∵FH∥AB, ∴△GFH∽△GAB, ∴=, ∴=,∴FH=n,
∴DF=DH-FH=n-n=n,
CF=CH+FH=n+n=n,
∴==.
图2
∴AB=AC,∠B=∠C=45°.
∵△ABC为等腰直角三角形,
5.(2025·合肥45中一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E是边BC上的两点,过点D,E分别作DM⊥AB,EN⊥AC,垂足为点M,N,MD与NE的延长线交于点F,连接AD,AE.
(1)若BD=CE.
①求证:AD=AE;
类型三　与全等和相似三角形有关的问题
第5题图
∴四边形AMFN为矩形.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE.
解:(1)①证明:∵FM⊥AB,FN⊥AC,∠BAC=90°,
②试判断四边形AMFN是什么特殊的四边形,并说明理由.
②四边形AMFN是正方形.
理由如下:∵△ABD≌△ACE,
∴∠BAD=∠CAE.
在△AMD和△ANE中,
∴△AMD≌△ANE(AAS),
∴AM=AN,∴矩形AMFN为正方形,
∵∠E'BA=45°,∠ABC=45°,
(2)如图,将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABE',则CE=BE',∠E'BA=∠C=45°,
连接DE'.当∠DAE=45°时,∠DAE'=∠DAM+∠EAN=90°-45°=45°,AE=AE',AD=AD,
(2)若BD≠CE,∠DAE=45°,=,求的值.
∴△ADE≌△ADE'(SAS),∴DE'=DE.
∴∠DBE'=90°,∴BE'2+BD2=DE'2,
∴CE2+BD2=DE'2,即CE2+BD2=DE2.
∵∠DAE=45°,∠C=45°,∴∠DAE=∠C.
∵∠EDA=∠ADC,∴△ADE∽△CDA,
∴=,∴AD2=DE·CD.
设DE=x,AD=2x,
∴CD=x,
∴====.
第5题图
∠ABC=∠ADC=60°,
∵AE=CF,∴△BAE≌△ACF(SAS),
6.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点M为边AD的中点,连接BM,交AC于点E,在边CB上取一点F,使得CF=AE,连接AF,交BM于点G,连接CG.
(1)求∠BGF的度数.
第6题图
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60°,
∴AB=BC=CD=AD,
∴△ABC,△ADC都是等边三角形,
∴∠ABE=∠CAF,
∴∠BGF=∠ABE+∠BAG=∠CAF+∠BAG=∠BAC=60°.
∴AB=AC,∠BAE=∠ACF=60°.
∵AM=MD=AD=AB,∴=.
(2)求的值.
(2)∵∠BAG+∠ABG=∠ABG+∠CBM=60°,
∴∠BAG=∠CBM.
∵AD∥CB,∴∠AMB=∠CBM,
∴∠BAG=∠BMA.
∵∠ABG=∠ABM,∴△BAG∽△BMA,
∴=,∴=.
∴BG=x,∴==.
(3)求证:BG⊥CG.
(3)证明:连接CM,设AM=DM=x.
∵△ACD是等边三角形,∴CM⊥AD,
∴CM=AM=x.
∵AD∥CB,∴CM⊥BC,∴∠BCM=90°.
∵AD=BC=2x,∴BM==x.
∵△BAG∽△BMA,
∴=,∴=.
∵∠CBG=∠CBM,∴△CBG∽△MBC,
∴∠BGC=∠BCM=90°,∴BG⊥CG.(共16张PPT)
微专题　十字模型
类型一　正方形中的十字模型
1.(2025·芜湖三模)如图1,在正方形ABCD中,点E是边CD上一点,作DF⊥AE交BC于点F,交AE于点G.
第1题图
(1)求证:△ADE≌△DCF.
解:(1)证明:在正方形ABCD中,DF⊥AE,
AD=DC,∠ADE=90°,
∴∠DAE+∠AED=∠CDF+∠AED=90°,
∴∠DAE=∠CDF.
在△ADE和△DCF中,
∴△ADE≌△DCF(ASA).
(2)如图2,作∠GAH=45°,交BC边于H,交DF延长线于点I,连接EH.求证:BH+CF=EH.
(2)证明:如图2,延长CB到点P使BP=DE,连接AP,则AB=AD,∠ABP=∠ABC=∠ADE,
∴△ADE≌△ABP(SAS),
∴∠DAE=∠BAP,AE=AP.
又∵∠GAH=45°,
∴∠DAE+∠BAH=∠BAP+∠BAH=∠PAH=45°.
又∵AH=AH,
∴△EAH≌△PAH(SAS),
∴EH=PH=PB+BH=DE+BH.
由(1)可知DE=CF,
∴BH+CF=EH.
(3)在(2)的条件下,若CF=4,FH=1,求IH的长.
(3)设BH=x.
由(2)可知,EH=x+4.
又CF=4,HF=1,CE=(x+4+1)-4=x+1,
∴在Rt△EHC中,CH2+CE2=EH2,
即52+(x+1)2=(x+4)2,
解得x=.
BC=AD=x+5=,AE==.
∵cos∠DAE==,
∴AG==.
∵∠AGI=90°,∠IAG=45°,
∴∠AIG=∠IAG=45°,
∴AG=IG,
∴△AGI是等腰直角三角形,
∴AI=AG=.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得
AH==,
∴IH=AI-AH=-=.
2.在正方形ABCD中,点E,F,G分别为AB,AD,BC边上的一点,FG垂直平分DE,垂足为点H.
(1)如图1,求证:DE=FG.
解:(1)证明:如图1,过点A作AN∥FG交BC于点N,交DE于点M.
在正方形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BAD=∠B=90°,
∴四边形FGNA是平行四边形,∴AN=FG.
∵FG垂直平分DE,∴∠FHD=90°.
∵AN∥FG,
∴∠DMA=∠FHD=90°,
∴∠NAE+∠AED=90°.
∵∠ADE+∠AED=90°,
∴∠NAE=∠ADE.
在△BNA和△AED中,
∴△BNA≌△AED(ASA),
∴AN=DE,∴DE=FG.
第2题图
(2)如图2,连接AC,交FG于点M,连接DM,EM.
①求证:△DME是等腰直角三角形;
(2)①证明:如图2,过点M作MP⊥AD于点P,MQ⊥AB于点Q,
∴∠MPA=∠MQA=∠PAQ=90°,
∴四边形MPAQ为矩形.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠PAM=∠QAM=45°=∠PMA,
∴PA=PM,
∴四边形MPAQ为正方形,
∴MP=MQ,∠PMQ=90°.
∵FG垂直平分DE,∴DM=ME,
∴Rt△DMP≌Rt△EMQ(HL),
∴∠DMP=∠EMQ,
∴∠DME=∠DMP+∠PME=∠EMQ+∠PME=∠PMQ=90°,
∴△DEM为等腰直角三角形.
②当FM=DM时,求的值.
②如图2,过点M作MP⊥AD于点P,MQ⊥AB于点Q,延长QM交CD于点N.
∵DM=FM,
∴∠MFD=∠MDF,
∴∠FDH=90°-∠MFD=90°-∠MDF=∠DMP,
即∠ADE=∠DMP.
由①知,Rt△DMP≌Rt△EMQ,
∴∠DMP=∠EMQ,∴∠ADE=∠EMQ.
∵∠DAE=90°=∠MQE,
∴△ADE∽△QME,∴=.
∴=,∴=.
设MQ=t=AP,则AD=t,
∴DP=(-1)t,AM=MQ=t.
∵∠NDA=∠DAQ=∠AQN=90°,
∴∠QND=90°=∠QNC,
∴四边形DPMN是矩形,△CMN是等腰直角三角形,
∴MN=DP=(-1)t,CM=MN=(2-)t,
∴==-1,
∴的值是-1.
由①知△DEM为等腰直角三角形,
类型二　矩形中的十字模型
3.在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD上的点,DE与CF交于点G.
第3题图
(1)如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF.求证:△ADE∽△DCF.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°,
∴∠ADE+∠CDG=90°.
又∵DE⊥CF,∴∠CDG+∠DCF=90°,
∴∠ADE=∠DCF,
∴△ADE∽△DCF.
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,当∠B与∠EGC满足什么关系时,=成立 并证明你的结论.
解:(2)当∠B+∠EGC=180°时,=成立.
证明:如图所示,在AD的延长线上取点M,使CM=CF,则∠CMF=∠CFM.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠A=∠CDM,∠FCB=∠CFM.
∵∠B+∠EGC=180°,
∴∠BEG+∠FCB=360°-(∠B+∠EGC)=180°.
又∵∠BEG+∠AED=180°,
∴∠AED=∠FCB,
∴∠CMF=∠AED,∴△ADE∽△DCM,
∴=,即=.
(3)如图3,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF.请直接写出的值: 　.

∴AB∥DC,AD∥BC,
4.(1)如图1,在矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别交边AB,CD于点E,F,GH分别交边AD,BC于点G,H.求证:=.
解:(1)证明:如图1,过点A作AP∥EF交边CD于点P,过点B作BQ∥GH交边AD于点Q,交AP于点T.
∵四边形ABCD是矩形,
∴四边形AEFP和四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,BQ=GH.
∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,∴∠QAT+∠AQT=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,∴=,∴=.
(2)如图2,在满足(1)的条件下,AM⊥BN,点M,N分别在边BC,CD上.若=,求的值.
(2)∵EF⊥GH,AM⊥BN,
∴由(1)中的结论可得,=,=,
∴==.
(3)如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN,点M,N分别在边BC,AB上.求的值.
(3)如图3,过点D作AB的平行线,交BC的延长线于点E,过点A作AF⊥AB交ED的延长线于点F,则BE⊥EF.
∵∠BAF=∠B=∠E=90°,
∴四边形ABEF是矩形.
连接AC.
∵AD=AB,AC=AC,CD=BC,
∴△ADC≌△ABC,
∴∠ADC=∠ABC=90°,∴∠1+∠2=90°.
又∵∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.
又∵∠E=∠F=90°,∴△ADF∽△DCE,
∴===.
设DE=x,则AF=2x,DF=10-x.
在Rt△ADF中,∵AF2+DF2=AD2,
∴+=100,
解得x1=4,x2=0(舍去),∴AF=2x=8,
∴===.

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