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2026年湖南省长沙市高一下学期期中考试自编卷01
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.考试范围：人教A版必修二第六—八单元。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，点满足，若的面积为2，则BD的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．球与棱长为2的正四面体的棱，，均相切，且和平面相切，则正四面体三个侧面，，截球的截痕长度共为（ ）
A． B．
C． D．
5．设的三个顶点为复平面上的三点，，，满足，，，则内心的复数坐标的虚部所在区间是（ ）.
A． B． C． D．前三个选项都不对
6．复数的实部为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中正确的是（ ）
A．夹在两条平行线间的两个平面图形，被截得的线段总相等，则这两个平面图形的周长相等
B．经过长方体相对的两个面的中心的任意平面，把长方体分成体积相等的两个柱体
C．夹在两个平行平面间的棱柱和圆柱，若轴截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等
D．夹在两个平行平面间的任意几何体，只要截面面积相等，则体积相等
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知正方形的边长为2，动点在以为直径的半圆弧上（正方形内部，含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．若，则的最大值为
D．若为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为
10．已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则的最小值为
11．如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则（ ）

A．当时，直线与平面所成角的正弦值为
B．当二面角的大小为时，直线与所成角为
C．若，则三棱锥的外接球的体积为
D．若，则二面角的余弦值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．已知为复数，则的最小值为______．
13．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形，其中，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的有_____
①若，则 ②若，则
③ ④
14．已知在斜二测画法下的直观图(其中A与对应，B与对应)为下图所示的，其中，，则的面积为______；以该为底面的三棱锥中，，，则三棱锥的外接球半径为______.
解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)求的取值范围．
16．写出下列复数的三角形式．
(1)；
(2)．
17．如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：．
(1)如图2，在三棱锥中，点是点在平面上的射影，，连接，，，，，．
①利用三面角余弦定理求二面角的平面角的正弦值；
②求三棱锥体积的最大值；
(2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理．
18．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
(1)若，，求的值；
(2)若为锐角三角形，
①若，求的值；
②若，求的取值范围．
19．实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立．
(1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根；
(2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足，求内切圆半径；
(3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）．
试卷第1页，共3页
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2026年湖南省长沙市高一下学期期中考试自编卷01
数学试题（解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D A B D B ACD BCD
题号 11
答案 ABD
12．
13．①②④
14．
15．(1)
(2)
(3)
16．(1)
(2)
17．(1)①；②
（2）
过射线上一点在面作交于点，
在面内作交于点，连接，
则是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
两式相减得：，
则，
两边同除以，得
18．(1)
(2)①；②
19．(1)2，3．
(2)
(3)
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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